階梯教室座位設(shè)計(jì)問題.docx

數(shù)科三班馬萍201211131910階梯教室座位設(shè)計(jì)問題摘要 本文研究的是階梯教室座位設(shè)計(jì)問題，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是學(xué)生眼睛到黑板上、下邊緣的夾角，越大越好；仰角是學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引不舒適感，一般要求不超過30度。而對(duì)于本題中的問題一、問題二和問題三則需要實(shí)際情況，分側(cè)重點(diǎn)考慮視角和仰角的影響。對(duì)問題一，在地板線傾角給定的情況下建立仰角與某個(gè)學(xué)生到階梯教室黑板水平距離的函數(shù)，在=30度的情況下，求的最佳座位。對(duì)于問題二，在=30度時(shí)，通過求解多組值所對(duì)應(yīng)的最佳座位位置，發(fā)現(xiàn)最佳座位位置在一個(gè)固定位置附近擺動(dòng)，并且此固定位置距離首排座位較近，在此距離中的學(xué)生滿意程度隨的增大而逐漸增大，所以所有學(xué)生的平均滿意程度主要取決于視角的值。僅對(duì)視角進(jìn)行討論，得出結(jié)果。問題三在問題二的基礎(chǔ)上做進(jìn)一步的改進(jìn)，通過分析得知在問題二中的固定位置之前的學(xué)生迫切要求其座位再高一些，所以可以讓他們的座位從前往后豎直方向變化的速度大于水平方向的速度；而固定位置之后的學(xué)生要求座位靠前一些，所以可以讓他們的座位水平方向的變化速度大于豎直方向的速度。而固定位置附近的坡度變化緩慢，綜合得出進(jìn)一步提高學(xué)生滿意程度的方案關(guān)鍵字 階梯教室座位設(shè)計(jì) 最佳位置 平均滿意程度 問題的重述 下圖為階梯教室的剖面示意圖，座位的滿意程度主要取決于視角和仰角。視角是學(xué)生眼睛到黑板上、下邊緣視線的夾角，越大越好；仰角是學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角，太大使人的頭部過分上仰，引起不舒適感，一般要求不超過30o。 設(shè)階梯教室黑板高h(yuǎn), 上邊緣距地面高h(yuǎn)，地板線傾角，第一排和最后一排座位與黑板水平距離分別為d和d, 學(xué)生平均坐高為c（指眼睛到地面的距離）。已知參數(shù) h=1.8， h=5，d=4.5 ，d=19，c=1.1（單位：m）。(如圖所示) (1) 地板線傾角10o，問最佳座位在什么地方。 (2) 求地板線傾角（一般不超過20o），使所有學(xué)生的平均滿意程度最大。(3) 地板線設(shè)計(jì)成什么形狀可以進(jìn)一步提高學(xué)生的滿意程度模型的假設(shè) 1、假設(shè)學(xué)生可以按照比例近似為一段線段 2、假設(shè)設(shè)計(jì)過程中沒有學(xué)生數(shù)額要求 3、假設(shè)階梯教室的地面是水平的；符號(hào)的說明 h黑板上邊緣到地面的距離。 d-最后一排到黑板的水平距離 h-黑板的高度 c-學(xué)生平均座高 d-第一排到黑板的水平距離 -學(xué)生眼睛與黑板上下邊緣的夾角 -學(xué)生眼睛到黑板上邊緣視線與水平線的夾角 -地板線傾角 m-學(xué)生腳底到水平線的垂直距離 m-任意一位學(xué)生的座位位置 a-黑板上邊緣的位置點(diǎn) b-黑板下邊緣的位置點(diǎn) o-學(xué)生座位到黑板的水平線與黑板所在豎直線的交點(diǎn) -學(xué)生座位到黑板的水平距離問題的分析 問題一： 題中給出了地板線與水平面的具體夾角，要求求出最佳座位。根據(jù)題中已知條件，算出首排學(xué)生的仰角位為38.62度，可知在給定的情況下，學(xué)生的最佳座位應(yīng)該在=30度的位置上。為此要找到與某一變量的函數(shù)關(guān)系式，求此關(guān)系式函數(shù)所對(duì)應(yīng)的圖像，如圖一，進(jìn)一步說明了這一點(diǎn)。具體找關(guān)系式是在題中所給的圖中可以看出在一個(gè)三角形中。因此我們用余弦定理找出角度與每個(gè)邊的關(guān)系。題目要求最佳座位，我們?cè)O(shè)學(xué)生與黑板之間.的水平距離，運(yùn)用簡單的幾何關(guān)系，我們得出了與的函數(shù)關(guān)系式。最終得出的最大值，即找出最佳座位。 圖一問題二： 在問題二中，要求解出一個(gè)值，使得所有的學(xué)生的平均滿意程度最大。在第一題的結(jié)果中，我們知道，隨著的增大， 的值單調(diào)遞增，且為一銳 角，則的值逐漸減小。同樣由第一問可知的值在整個(gè)過程中是逐漸減小的，在計(jì)算的過程中，隨著q的變化，最佳位置總在某一點(diǎn)附近擺動(dòng)，在=30度時(shí)，取定此位置，在此位置右側(cè)=30度，最佳位置只受的影響，左側(cè)同時(shí)受和的影響，但隨著q值從0度到20度變化，逐漸變大，逐漸減小，并考慮到此點(diǎn)距首位置較近，因此可以忽略的影響，從全局考慮的影響即可。又由于首座位的值固定，故末位置值取得最大值即可求得此時(shí)角的大小，列出末位置cos的函數(shù)關(guān)系，用excel處理，由函數(shù)圖像求得所求值。 問題的求解: 在=30度時(shí)，由公式： tan30=5-(x-4.5)*tan+1.1/x 求得:=5時(shí)，=6.432； =10時(shí)，=6.225； =15時(shí)，=6.020； =20時(shí)，=5.820； 取其平均值得x=6.123；模型的建立與求解 問題一： 在階梯教室座位設(shè)計(jì)問題上，根據(jù)題中給出的簡易的平面幾何圖（如下圖圖二），加之在問題一的分析的基礎(chǔ)上，我們將此問題歸結(jié)為在幾何圖中求最大值的問題。而最大值對(duì)應(yīng)的位置，即是最佳座位位置。為此我們?cè)陬}中的圖中做了標(biāo)點(diǎn)、找到與的關(guān)系式。（如下圖圖二） 圖二由圖二的幾何關(guān)系得出 m=4.5tan10，oa=3.9-m， ob=|m-2.1|。 在abm中am= 3.9m bm= 2.1-m , 故用余弦定理得 cos= 23.9m2.1-m1.8 23.9m 2.1-m 運(yùn)用excel軟件得出cos與的關(guān)系做出了cos與圖像，即圖一。根據(jù)圖像得出是根據(jù)的增大而減小的，由此知道的最大值在=30處取得。根據(jù)值求的最佳座位的值即為6.225m。問題二： 由上圖圖二可得 ： oa=3.9-14.5*tan; ob=14.5*tan-2.1; am=sqrt(192+(3.9-14.5*tan)2); bm=sqrt(192+(14.5*tan-2.1)2); ab=1.8; 綜上可求的得： cos=2*192+(3.9-14.5*tan)2+(14.5*tan -2.1)2-1.82/2*sqrt(192+(3.9-14.5*tan)2)*sqrt(192+(14.5*tan-2.1)2); 由excel軟件，得出圖三，如下 圖三由圖經(jīng)過計(jì)算，可得最佳大小約為12.1度。問題三： 問題三要求設(shè)計(jì)地板線的形狀，進(jìn)一步提高學(xué)生的滿意程度，可在問題二的基礎(chǔ)上進(jìn)一步設(shè)計(jì)地板線形狀，進(jìn)而提高學(xué)生的滿意程度。由問題二可知，同一角時(shí)，在x=6.123附近的學(xué)生滿意程度最佳，在其左側(cè)的學(xué)生渴望更高一些，而右側(cè)的學(xué)生則渴望離黑板更近一些，在附近位置的座位變化須盡量小。 問題上的求解 有分析可知，在x=6.123左側(cè)的座位變化需滿足：豎直方向的變化大于水平方向的變化，則其形狀應(yīng)呈現(xiàn)凸行增長；而在x=6.123右側(cè)的座位變化需滿足：豎直方向的變化小于水平方向的變化，則其形狀應(yīng)呈現(xiàn)凹形增長。 綜合以上分析。地板線應(yīng)設(shè)計(jì)