高中數(shù)學(xué)單元質(zhì)量評估（三）（含解析）新人教A版.docx

單元質(zhì)量評估(三) (第三章)(120分鐘150分)一、選擇題(本大題共12個小題,每小題5分,共60分.在每小題給出的四個選項中,只有一項符合題目要求)1.設(shè)正弦函數(shù)y=sinx在x=0和x=附近的瞬時變化率為k1,k2,則k1,k2的大小關(guān)系為()A.k1k2B.k1k2.2.若f(x0)=-3,則=()A.-12B.-9C.-6D.-3【解析】選A.因為=+3=f(x0)+3f(x0)=4f(x0),所以=-12.3.函數(shù)f(x)=2x-cosx在(-,+)上()A.單調(diào)遞增B.單調(diào)遞減C.有最大值D.有最小值【解析】選A.f(x)=2+sinx0恒成立,所以f(x)在(-,+)上單調(diào)遞增.4.設(shè)函數(shù)g(x)=x(x2-1),則g(x)在區(qū)間0,1上的最小值為()A.-1B.0C.-239D.33【解析】選C.g(x)=x3-x,由g(x)=3x2-1=0,解得x1=,x2=-(舍去).當(dāng)x變化時,g(x)與g(x)的變化情況如下表:x01g(x)-0+g(x)0極小值0所以當(dāng)x=時,g(x)有最小值g=-.5.已知函數(shù)f(x)=ax3-x2+x-5在(-,+)上既有極大值,也有極小值,則實數(shù)a的取值范圍為()A.a13B.a13C.a13且a0D.a13且a0【解題指南】函數(shù)有極大值、極小值說明該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)值等于0至少有兩個根,由一元二次方程根的判別式即可求解.【解析】選C.f(x)=3ax2-2x+1,函數(shù)f(x)在(-,+)上有極大值,也有極小值,等價于f(x)=0有兩個不等實根,即解得a且a0.6.(2016沈陽高二檢測)三次函數(shù)f(x)=mx3-x在(-,+)上是減函數(shù),則m的取值范圍是()A.m0B.m0,即有m-0,解得m.9.若存在正數(shù)x使2x(x-a)1成立,則a的取值范圍是()A.(-,+)B.(-2,+)C.(0,+)D.(-1,+)【解析】選D.因為2x(x-a)x-.令f(x)=x-,所以f(x)=1+2-xln20.所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增,所以f(x)f(0)=0-1=-1,所以a的取值范圍為(-1,+).10.如果圓柱的軸截面周長為定值4,則圓柱體積的最大值為()A.827B.1627C.89D.169【解題指南】先確定一個變量,再確定一個函數(shù)關(guān)系式,求導(dǎo)確定函數(shù)的最值,并注意自變量的取值范圍.【解析】選A.設(shè)圓柱橫截面圓的半徑為R,圓柱的高為h,則2R+h=2.因為V=R2h=R2(2-2R)=2R2-2R3,所以V=2R(2-3R).令V=0,則R=0(舍)或R=.經(jīng)檢驗知,當(dāng)R=時,圓柱體積最大,此時h=,Vmax=.11.(2015全國卷)設(shè)函數(shù)f(x)是奇函數(shù)f(x)(xR)的導(dǎo)函數(shù),f(-1)=0,當(dāng)x0時,xf(x)-f(x)0成立的x的取值范圍是()A.(-,-1)(0,1)B.(-1,0)(1,+)C.(-,-1)(-1,0)D.(0,1)(1,+)【解析】選A.記函數(shù)g(x)=,則g(x)=,因為當(dāng)x0時,xf(x)-f(x)0時,g(x)0,所以g(x)在(0,+)上單調(diào)遞減;又因為函數(shù)f(x)(xR)是奇函數(shù),故函數(shù)g(x)是偶函數(shù),所以g(x)在(-,0)上單調(diào)遞增,且g(-1)=g(1)=0.當(dāng)0x0,則f(x)0;當(dāng)x-1時,g(x)0,綜上所述,使得f(x)0成立的x的取值范圍是(-,-1)(0,1).12.已知y=f(x)是(0,+)上的可導(dǎo)函數(shù),滿足(x-1)2f(x)+xf(x)0(x1)恒成立,f(1)=2,若曲線f(x)在點(1,2)處的切線為y=g(x),且g(a)=2016,則a等于()A.-500.5B.-501.5C.-502.5D.-503.5【解析】選C.令F(x)=x2f(x),則F(x)=2xf(x)+x2f(x)=x2f(x)+xf(x),當(dāng)x1時,F(x)0,F(x)在(1,+)上遞增;當(dāng)0x1時,F(x)0,又x1.所以f(x)的單調(diào)增區(qū)間為(-,1),(1,+).答案:(-,1),(1,+)16.(2016青島高二檢測)已知函數(shù)f(x)=x-1x+1,g(x)=x2-2ax+4,若對于任意x10,1,存在x21,2,使f(x1)g(x2),則實數(shù)a的取值范圍是.【解析】由于f(x)=1+0,因此函數(shù)f(x)在0,1上單調(diào)遞增,所以x0,1時,f(x)min=f(0)=-1.根據(jù)題意可知存在x1,2,使得g(x)=x2-2ax+4-1,即x2-2ax+50,即a+能成立,令h(x)=+,則要使ah(x)在x1,2能成立,只需使ah(x)min,又函數(shù)h(x)=+在x1,2上單調(diào)遞減,所以h(x)min=h(2)=,故只需a.答案:三、解答題(本大題共6個小題,共70分.解答時應(yīng)寫出必要的文字說明、證明過程或演算步驟)17.(10分)已知f(x)=x2+ax+b,g(x)=x2+cx+d,又f(2x+1)=4g(x),且f(x)=g(x),f(5)=30.求g(4).【解析】由f(2x+1)=4g(x),得4x2+2(a+2)x+(a+b+1)=4x2+4cx+4d.于是有由f(x)=g(x),得2x+a=2x+c,所以a=c,由f(5)=30,得25+5a+b=30.由可得a=c=2,由得b=-5,再由得d=-,所以g(x)=x2+2x-.故g(4)=16+8-=472.18.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-3x及y=f(x)上一點P(1,-2),過點P作直線l.(1)求使直線l和y=f(x)相切,且以P為切點的直線方程.(2)求使直線l和y=f(x)相切,且切點異于P的直線方程.【解題指南】(1)由已知可得斜率函數(shù)為f(x)=3x2-3,進而求出所過點的切線的斜率,代入點斜式公式即可.(2)設(shè)另一切點為(x0,y0),求出該點切線方程,再由條件計算.【解析】(1)由f(x)=x3-3x,得f(x)=3x2-3,過點P以P(1,-2)為切點的直線的斜率f(1)=0,所以所求直線方程為y=-2.(2)設(shè)過P(1,-2)的直線l與y=f(x)切于另一點(x0,y0),則f(x0)=3x02-3,又直線過(x0,y0),P(1,-2),故其斜率可表示為=,又=3x02-3,即x03-3x0+2=3(x02-1)(x0-1).解得x0=1(舍去),或x0=,故所求直線的斜率為k=3=-.所以直線l的方程為y-(-2)=-(x-1).即9x+4y-1=0.【規(guī)律方法】用導(dǎo)數(shù)求切線方程的關(guān)鍵在于求出切點P(x0,y0)及斜率,其求法為:設(shè)P(x0,y0)是曲線y=f(x)上的一點,則以P的切點的切線方程為:y-y0=f(x0)(x-x0).若曲線y=f(x)在點P(x0,f(x0)的切線平行于y軸(即導(dǎo)數(shù)不存在)時,由切線定義知,切線方程為x=x0.【補償訓(xùn)練】已知函數(shù)f(x)=x2+xlnx.(1)求f(x).(2)求函數(shù)f(x)圖象上的點P(1,1)處的切線方程.【解題指南】(1)直接使用求導(dǎo)公式和法則得結(jié)果.(2)由導(dǎo)數(shù)的幾何意義,求切線斜率,再由點斜式得切線方程.【解析】(1)f(x)=(x2)+(xlnx)=2x+1lnx+x=2x+lnx+1.(2)由題意可知切點的橫坐標(biāo)為1,所以切線的斜率是k=f(1)=21+ln1+1=3,所以切線方程為y-1=3(x-1),即3x-y-2=0.19.(12分)已知函數(shù)f(x)=x3-ax2,其中xR,a為參數(shù).(1)記函數(shù)g(x)=16f(x)+lnx,討論函數(shù)g(x)的單調(diào)性.(2)若曲線y=f(x)與x軸正半軸有交點且交點為P,曲線在點P處的切線方程為y=g(x),求證:對于任意的正實數(shù)x,都有f(x)g(x).【解題指南】(1)整理函數(shù)g(x)解析式,求得其導(dǎo)函數(shù)g(x),結(jié)合函數(shù)定義域?qū)?shù)a的范圍加以討論,從而得到g(x)的正負,確定函數(shù)的單調(diào)性.(2)將證明不等式f(x)g(x)轉(zhuǎn)化為求函數(shù)h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3的最小值問題,從而借助于導(dǎo)數(shù)求解.【解析】(1)函數(shù)g(x)的定義域是(0,+),f(x)=3x2-2ax,g(x)=(3x2-2ax)+lnx,g(x)=(6x-2a)+=x+-2-.當(dāng)a6時,則2-0,所以g(x)0,所以函數(shù)g(x)在定義域(0,+)上單調(diào)遞增,當(dāng)a6時,令g(x)=0,則x1=,x2=.可知函數(shù)g(x)在上單調(diào)遞增,在單調(diào)遞減,在上單調(diào)遞增.(2)令f(x)=0,則x=0或x=a.若曲線y=f(x)與x軸正半軸有交點,則a0且交點坐標(biāo)為P(a,0).又f(x)=3x2-2ax,則f(a)=a2,所以曲線在點P處的切線方程為y=a2(x-a),即g(x)=a2x-a3,令h(x)=f(x)-g(x)=x3-ax2-a2x+a3,h(x)=3x2-2ax-a2=(3x+a)(x-a),函數(shù)h(x)在區(qū)間(0,a)上單調(diào)遞增,在區(qū)間(a,+)上單調(diào)遞減,所以當(dāng)x=a時,h(x)有最小值,所以h(x)0,則f(x)g(x).20.(12分)(2015全國卷)已知f(x)=lnx+a(1-x).(1)討論f(x)的單調(diào)性.(2)當(dāng)f(x)有最大值,且最大值大于2a-2時,求a的取值范圍.【解析】(1)f(x)的定義域為(0,+),f(x)=-a.若a0,則f(x)0,所以f(x)在(0,+)上單調(diào)遞增.若a0,則當(dāng)x時,f(x)0;x時,f(x)0時,f(x)在x=處取得最大值,最大值為f=ln+a=-lna+a-1.因此f2a-2等價于lna+a-10,令g(a)=lna+a-1,則g(a)在(0,+)上單調(diào)遞增,g(1)=0.于是,當(dāng)0a1時,g(a)1時,g(a)0.因此,a的取值范圍是(0,1).21.(12分)若函數(shù)f(x)=ax3-bx+4,當(dāng)x=2時,函數(shù)f(x)有極值-43.(1)求函數(shù)的解析式.(2)若方程f(x)=k有3個不同的根,求實數(shù)k的取值范圍.【解析】f(x)=3ax2-b.(1)由題意得解得故所求函數(shù)的解析式為f(x)=x3-4x+4.(2)由(1)可得f(x)=x2-4=(x-2)(x+2),令f(x)=0,得x=2或x=-2.當(dāng)x變化時,f(x),f(x)的變化情況如下表:x(-,-2)-2(-2,2)2(2,+)f(x)+0-0+f(x)-43因此,當(dāng)x=-2時,f(x)有極大值283,當(dāng)x=2時,f(x)有極小值-,所以函數(shù)f(x)=x3-4x+4的圖象大致如圖所示.若f(x)=k有3個不同的根,則直線y=k與函數(shù)f(x)的圖象有3個交點,所以-k283或k1.【解題指南】(1)先代入m=1,對f(x)求導(dǎo)數(shù),再算出f(1),f(1),進而可得曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程.(2)利用(1)中結(jié)論進行放縮可先構(gòu)造函數(shù)g(x)=ex-lnx-2,再利用導(dǎo)數(shù)可得g(x)的最小值,進而可證當(dāng)m1時,f(x)1.【解析】(1)當(dāng)m=1時,f(x)=ex-lnx-1,所以f(x)=ex-.所以f(1)=e-1,f(1)=e-1.所以曲線y=f(x)在點(1,f(1)處的切線方程為y-(e-1)=(e-1)(x-1),即y=(e-1)x.(2)當(dāng)m1時,f(x)=mex-lnx-1ex-lnx-