高中數(shù)學(xué)第三章三角恒等變換3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式3.1.1兩角差的余弦公式學(xué)案.docx

3.1兩角和與差的正弦、余弦和正切公式31.1兩角差的余弦公式學(xué)習(xí)目標(biāo)1.了解兩角差的余弦公式的推導(dǎo)過程.2.理解用向量法導(dǎo)出公式的主要步驟.3.熟記兩角差的余弦公式的形式及符號特征，并能利用該公式進(jìn)行求值、計(jì)算知識(shí)點(diǎn)一兩角差的余弦公式的探究思考1如何用角，的正弦、余弦值來表示cos()呢？有人認(rèn)為cos()coscos，你認(rèn)為正確嗎，試舉出兩例加以說明答案不正確例如：當(dāng)，時(shí)，cos()cos，而coscoscoscos，故cos()coscos；再如：當(dāng)，時(shí)，cos()cos，而coscoscoscos，故cos()coscos.思考2計(jì)算下列式子的值，并根據(jù)這些式子的共同特征，寫出一個(gè)猜想cos45cos45sin45sin45_；cos60cos30sin60sin30_；cos30cos120sin30sin120_；cos150cos210sin150sin210_.猜想：coscossinsin_，即_答案10cos()cos()coscossinsin知識(shí)點(diǎn)二兩角差的余弦公式思考1單位圓中(如圖)，AOx，BOx，那么A，B的坐標(biāo)是什么？與的夾角是多少？答案A(cos，sin)，B(cos，sin)與的夾角是.思考2請根據(jù)上述條件推導(dǎo)兩角差的余弦公式答案|cos()cos()，coscossinsin.cos()coscossinsin.梳理C()：cos()coscossinsin.(1)適用條件：公式中的角，都是任意角(2)公式結(jié)構(gòu)：公式右端的兩部分為同名三角函數(shù)的積，連接符號與左邊角的連接符號相反1存在角，使得cos()coscos.()提示如，cos()coscos，coscoscoscos，滿足cos()coscos.2任意角，cos()coscossinsin.()提示由兩角差的余弦公式可知不正確3任意角，cos()coscossinsin.()類型一利用兩角差的余弦公式化簡求值例1計(jì)算：(1)cos(15)；(2)cos15cos105sin15sin105.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值解(1)方法一原式cos(3045)cos30cos45sin30sin45.方法二原式cos15cos(4530)cos45cos30sin45sin30.(2)原式cos(15105)cos(90)cos900.反思與感悟利用兩角差的余弦公式求值的一般思路(1)把非特殊角轉(zhuǎn)化為特殊角的差，正用公式直接求解(2)在轉(zhuǎn)化過程中，充分利用誘導(dǎo)公式，構(gòu)造兩角差的余弦公式的右邊形式，然后逆用公式求值跟蹤訓(xùn)練1化簡cos15cos45cos75sin45的值為()A.B.CD考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案B解析cos15cos45cos75sin45cos15cos45sin15sin45cos(1545)cos(30).類型二給值求值例2(1)已知sinsin1，coscos，則cos()等于()ABC.D.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案D解析因?yàn)閟insin1，coscos，所以(coscos)2，(sinsin)2.兩式相加，得22cos()2.所以cos().(2)已知，均為銳角，sin，cos()，求cos的值考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值解因?yàn)?，sin，所以0.又因?yàn)?，cos()，所以.所以cos，sin()，所以coscos()coscos()sinsin().反思與感悟給值求值問題的解題策略(1)從角的關(guān)系中找解題思路：已知某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，要注意觀察已知角與所求表達(dá)式中的角的關(guān)系，根據(jù)需要靈活地進(jìn)行拆角或湊角的變換(2)常見角的變換：()；2()()；2()()跟蹤訓(xùn)練2已知sinsin，coscos，求cos()的值考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值解(sinsin)22，(coscos)22，以上兩式展開兩邊分別相加，得22cos()1，cos().類型三給值求角例3已知cos，cos()，且，求的值考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求角解，且cos，cos()，(0，)，sin，sin().又()，coscos()cos()cossin()sin.又，.引申探究若本例條件中的“cos()”改為“sin()”，則的值是什么？解，(0，)，cos，sin()，sin ，cos()，當(dāng)cos()時(shí)，coscos()cos()cossin()sin ，；當(dāng)cos()時(shí)，coscos()cos()cossin()sin ，即0，與已知矛盾，舍去，所以.反思與感悟求解給值求角問題的一般步驟(1)求角的某一個(gè)三角函數(shù)值(2)確定角的范圍(3)根據(jù)角的范圍寫出所求的角跟蹤訓(xùn)練3已知sin()，cos()，0，求角的大小考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求角解因?yàn)閟in()，所以sin.因?yàn)?，所以cos.因?yàn)閏os()，且0，所以0，所以sin().所以coscos()coscos()sinsin().因?yàn)?，所以.1計(jì)算coscoscossin的值是()A0B.C.D.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案C解析coscoscossincoscossinsincoscos.2cos44cos14sin44sin14的值為()A.BC.D考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案C解析原式cos(4414)cos30.3設(shè)，都是銳角，且cos，sin()，則cos等于()A.B.C.或D.或考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案A解析依題意得sin，cos().又，均為銳角，所以0cos()因?yàn)?，所以cos().于是coscos()cos()cossin()sin.4cos(35)cos(25)sin(35)sin(25)_.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式化簡答案解析原式cos(35)(25)cos(60)cos60.5已知向量a(cos，sin)，b(cos，sin)，(0，)且ab，求的值考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式化簡解因?yàn)閍b，所以abcoscossin sin cos()0.因?yàn)?，所以?1“給式求值”或“給值求值”問題，即由給出的某些函數(shù)關(guān)系式或某些角的三角函數(shù)值，求另外一些角的三角函數(shù)值，關(guān)鍵在于“變式”或“變角”，使“目標(biāo)角”換成“已知角”注意公式的正用、逆用、變形用，有時(shí)需運(yùn)用拆角、拼角等技巧2“給值求角”問題，實(shí)際上也可轉(zhuǎn)化為“給值求值”問題，求一個(gè)角的值，可分以下三步進(jìn)行：(1)求角的某一三角函數(shù)值(2)確定角所在的范圍(找區(qū)間)(3)確定角的值確定用所求角的哪種三角函數(shù)值，要根據(jù)具體題目而定一、選擇題1cos295sin70sin115cos110的值為()A.BC.D考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案A解析原式cos115cos20sin115sin20cos65cos20sin65sin20cos(6520)cos45.2已知cos，0，則cos等于()A.B.C.D.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案A解析，sin.coscoscoscossinsin.3(2017廣東肇慶三模)已知為銳角，為第三象限角，且cos，sin，則cos()的值為()ABC.D.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案A解析為銳角，且cos，sin.為第三象限角，且sin，cos，cos()coscossinsin.故選A.4已知點(diǎn)P(1，)是角終邊上一點(diǎn)，則cos等于()A.B.CD.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案A解析由題意可得sin，cos，coscoscossinsin.5已知點(diǎn)A(cos80，sin80)，B(cos20，sin20)，則|等于()A.B.C.D1考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案D解析|1.6若cos()，cos2，并且，均為銳角且，則的值為()A.B.C.D.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求角答案C解析，2(0，)，sin()，sin2，cos()cos2()cos2cos()sin2sin()，(0，)，.7化簡sin(xy)sin(yx)cos(xy)cos(xy)的結(jié)果為()Asin2yBcos2yCcos2yDsin2y考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式化簡答案C解析原式cos(xy)(xy)cos2y，故選C.二、填空題8已知cos，cos()，2，則cos_.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值答案1解析由條件知sin，sin()，coscos()coscos()sinsin()1.9已知sinsinsin0，coscoscos0，則cos()的值是_考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)兩角差的余弦公式的綜合應(yīng)用答案解析由22，得22(sinsincoscos)1，即cos().10化簡_.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式化簡答案解析原式.11(2017廣東深圳中學(xué)同步練習(xí))函數(shù)f(x)sin2xsincos2xcos在上的單調(diào)遞增區(qū)間為_考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)兩角差的余弦公式的綜合應(yīng)用答案解析f(x)sin2xsincos2xcossin2xsincos2xcoscos.當(dāng)2k2x2k(kZ)，即kxk(kZ)時(shí)，函數(shù)f(x)單調(diào)遞增取k0，得x，故函數(shù)f(x)在上的單調(diào)遞增區(qū)間為.三、解答題12已知cos(2)，sin(2)，且，0，求cos()考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)利用兩角差的余弦公式求值解因?yàn)椋?，所以2.因?yàn)閏os(2)，所以2，所以sin(2).因?yàn)椋?，所以2.因?yàn)閟in(2)，所以02，所以cos(2).所以cos()cos(2)(2)cos(2)cos(2)sin(2)sin(2)0.13已知向量a(sin，2)與b(1，cos)互相垂直，其中.(1)求sin和cos的值；(2)若5cos()3cos，0，求cos的值考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)兩角差的余弦公式的綜合應(yīng)用解(1)因?yàn)閍b，所以absin2cos0，即sin2cos.又因?yàn)閟in2cos21，所以4cos2cos21，即cos2，所以sin2，又，所以sin，cos.(2)因?yàn)?cos()5(coscossinsin)cos2sin3cos，所以cossin，所以cos2sin21cos2，即cos2.因?yàn)?，所以cos.四、探究與拓展14函數(shù)ycosxcos，x0，的最小值為()AB.CD.考點(diǎn)兩角差的余弦公式題點(diǎn)兩角差的余弦公式