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第二章,概率和概率分布,Probability and probability distribution,本 章 內(nèi) 容,第一節(jié) 概率的基本概念,第二節(jié) 隨機(jī)變量、概率分布 及總體特征數(shù),一、有關(guān)的概念,第一節(jié) 概率的基本概念,必然事件,不可能事件,隨機(jī)事件,出現(xiàn)概率為1的事件。 P = 1,出現(xiàn)概率為0到1的事件。 0 P 1,出現(xiàn)概率為0的事件。 P = 0,概率論：研究偶然現(xiàn)象本身規(guī)律性的科學(xué)。 統(tǒng)計(jì)學(xué)：基于實(shí)際觀測結(jié)果，利用概率論得出的規(guī)律，揭示偶然性中所寄寓的必然性的科學(xué)。 概率論是統(tǒng)計(jì)學(xué)的基礎(chǔ)，統(tǒng)計(jì)學(xué)是概率論得出的規(guī)律在各領(lǐng)域中的實(shí)際應(yīng)用。,試驗(yàn)（trial）：一組綜合條件的實(shí)現(xiàn)。,小概率事件：事件發(fā)生的概率P0.05（5）或P 0.01（1）的事件，習(xí)慣上稱為小概率事件。統(tǒng)計(jì)學(xué)上認(rèn)為在一次試驗(yàn)中小概率事件是幾乎不可能發(fā)生。,隨機(jī)試驗(yàn)（random trial）：在試驗(yàn)中，做完一次觀測并不能準(zhǔn)確得知下一次結(jié)果的試驗(yàn)。,基本事件（elementary event）：試驗(yàn)的每一最基本的結(jié)果，用小寫拉丁字母a, b, 表示。,事件（event）：基本事件的集合，用大寫拉丁字母A, B, 表示。,二、事件的幾種基本運(yùn)算：, 事件的和 A、B兩任意事件至少發(fā)生一個(gè) ABA發(fā)生，或B發(fā)生，或A與B都發(fā)生, 事件的交 A、B兩任意事件同時(shí)發(fā)生 ABA和B同時(shí)發(fā)生, 互不相容事件 A、B兩事件的交是不可能事件 ABAB,【例2.1】,設(shè)是每網(wǎng)捕魚1015的事件，是每網(wǎng)捕魚813的事件，那么,三、概率的統(tǒng)計(jì)定義,1、頻率（frequency）：實(shí)際發(fā)生率稱為頻率。設(shè)在相同條件下，某隨機(jī)試驗(yàn)共進(jìn)行k次，事件A出現(xiàn)了l 次，則k次隨機(jī)試驗(yàn)中事件A出現(xiàn)的頻率為l / k。,2、概率（probability）：隨機(jī)事件發(fā)生的可能性大小。設(shè)在相同條件下，某隨機(jī)試驗(yàn)共進(jìn)行k次，事件A出現(xiàn)l次；隨著k的增大，頻率l/k將圍繞某一確定的常數(shù)p做平均幅度愈來愈小的波動(dòng)，p即為事件A的概率。用P(A)表示，取值0,1。,表2-1 不同樣本含量的抽樣試驗(yàn),0.0500.350,0.1450.265,0.1910.212,3、頻率與概率的關(guān)系, 頻率是事件在試驗(yàn)結(jié)果中出現(xiàn)的實(shí)際發(fā)生率；概率是事件在試驗(yàn)結(jié)果中出現(xiàn)可能性大小的定量計(jì)量，是事件固有的屬性。, 頻率總是圍繞概率上下波動(dòng)。, 樣本含量越大，頻率波動(dòng)幅度越小，頻 率越接近概率。,四、概率的古典定義,2、概率（古典定義）：在滿足古典概型的情況下，事件A中所包含的基本事件數(shù)（m）與基本事件總數(shù)（n）的比值m/n就是事件A的概率。,1、古典概型：滿足隨機(jī)試驗(yàn)的全部可能的結(jié)果（基本事件數(shù)）是有限的；各基本事件間是互不相容且等可能的，對于這類隨機(jī)現(xiàn)象的概率類型，稱為古典概型。,P（A）=m/n,在有兩個(gè)孩子的家庭中，兩個(gè)孩子都是男孩 第一個(gè)是男孩 兩個(gè)孩子中至少有一個(gè)是男孩的概率分別是多少。, A2=第一個(gè)是男孩 m=2 P( A2)=2/4=0.50,【例2.1】,解：,兩個(gè)孩子性別組成共有四種類型，即男男、男女、女男、女女， n=4, A1=兩個(gè)男孩 m=1 P( A1)=1/4=0.25, A3=兩個(gè)孩子中至少有一個(gè)是男孩 m=3 P( A3)=3/4=0.75,五、概率的一般運(yùn)算（基于概率的古典定義）,（一）概率加法法則 A、B兩事件和的概率： P(AB)P(A)+P(B)-P(AB) A、B是互不相容事件，它們和的概率： P(AB)P(A)+P(B) 有限個(gè)事件兩兩互不相容，它們和的概率： P(A1A2 An)P(A1)+P(A2)+ + P(An) 事件A的概率和它的對立事件A的概率的關(guān)系： P(A)1-P(A),（二）條件概率 (conditional probability),在事件B已經(jīng)發(fā)生的條件下，事件A發(fā)生的概率，稱為已知事件B發(fā)生的條件下事件A發(fā)生的條件概率，記為P(AB)。,P(AB)= P(AB)/ P(B),把沒有附加條件時(shí)的概率，稱為無條件概率。,（三）概率乘法法則,P(AB)= P(B) P(AB) 或 P(AB)= P(A) P(BA),兩事件交的概率等于其中一事件(其概率必須不為0)的概率乘以另一事件在已知前一事件發(fā)生條件下的條件概率。,（四）獨(dú)立事件 (independent event),P(BA)= P(B) 或 P(AB) = P(A),若事件A的發(fā)生并不影響事件B發(fā)生的概率，稱A和B是獨(dú)立事件。,對于獨(dú)立事件，概率乘法公式為： P(AB) = P(A) P(B),【例2.2】,施用甲、乙兩種不同藥物殺滅螟蟲，結(jié)果見下表，現(xiàn)計(jì)算以下各概率：從200只蟲中任取一只，這只是死蟲的概率；從200只蟲中任取一只，這只接受了甲藥物的概率；接受甲藥物且死亡的概率；死亡者中接受甲藥物的條件概率。, P(B)=120/200=0.60, P(A)=160/200=0.80, P(BA)=96/200=0.48 =P(B)P(A|B)=120/20096/120 =0.48,解：, P(B|A)=96/160=0.60 =P(AB)/P(A)=0.48/0.80=0.60,（五）貝葉斯定理 (Bayes theorem),設(shè)事件B能且只能與互不相容事件 A1，A2， Ai， Ak 之一同時(shí)發(fā)生，那么，在事件B已發(fā)生的條件下，Ai發(fā)生的概率,【例2.3】,假定在中年男性人群中，肥胖者占20，標(biāo)準(zhǔn)體重的占50，低體重的占30。這三類人群中出現(xiàn)動(dòng)脈硬化的概率分別為30、10和1。從這個(gè)假設(shè)的中年男性群體中隨機(jī)抽出一人，他恰恰是動(dòng)脈硬化的患者。問這個(gè)人從肥胖組、標(biāo)準(zhǔn)體重和低體重組中抽取的概率各是多少？,則 P(A1)=0.20, P(A2)=0.50, P(A3)=0.30,解：,P(B|A1)=0.30, P(B|A2)=0.10, P(B|A3)=0.01,用B表示抽到動(dòng)脈硬化患者的事件。用A1、A2、A3分別表示抽到肥胖者、標(biāo)準(zhǔn)體重者和低體重者的事件。,第二節(jié) 隨機(jī)變量、概率分布 及總體特征數(shù),一、隨機(jī)變量,每次拋兩枚硬幣，記錄正面數(shù)結(jié)果。結(jié)果可記錄為：,隨機(jī)變量(random variable)：在隨機(jī)試驗(yàn)中被測 定的量，以大寫字母如X、Y 、 U等表示。,硬幣1正面朝上，硬幣2正面朝上； 2個(gè)正面 硬幣1正面朝上，硬幣2反面朝上； 1個(gè)正面 硬幣1反面朝上，硬幣2正面朝上； 1個(gè)正面 硬幣1反面朝上，硬幣2反面朝上； 0個(gè)正面,正面數(shù)是一隨機(jī)變量。,觀測值(observation)：隨機(jī)變量所取得的值，以小 寫字母如xi、yi等表示，下標(biāo)i表示第i次觀測值。,1、隨機(jī)變量概念,2、隨機(jī)變量類型, 離散型隨機(jī)變量（discrete random variable）：隨機(jī)變量取得的數(shù)值為有限個(gè)或可數(shù)無窮個(gè)孤立的數(shù)值。例如拋兩枚硬幣，正面數(shù)的可能取值為0、1、2。, 連續(xù)型隨機(jī)變量（continous random variable)：隨機(jī)變量可取某一區(qū)間內(nèi)的任何數(shù)值。例如身高、體重、血清膽固醇含量,依據(jù)隨機(jī)變量取值的特點(diǎn)分為：,二、概率分布 probability distribution,概率分布：把隨機(jī)變量Y一切可能值yi 以及取得這些值的對應(yīng)概率P(Y=yi)以表格、圖形或公式的形式排列表示出來，稱為概率分布。分為離散型概率分布和連續(xù)型概率分布兩類。,1、基本概念,Y,Y,p(yi),p(y),離散型隨機(jī)變量概率分布圖, 離散型概率分布,概率函數(shù)：把離散型隨機(jī)變量Y所取得值y的概率P(Y=y)寫成y的函數(shù)p(y)，這樣的函數(shù)稱為隨機(jī)變量Y的概率函數(shù)。,分布函數(shù)(累積分布函數(shù))：隨機(jī)變量取得小于等于某一可能值（y0）的概率。,2. 概率分布類型, 連續(xù)型概率分布,分布函數(shù)(累積分布函數(shù))：是指隨機(jī)變量Y 取得小于y0的值的概率。,密度函數(shù)：連續(xù)型隨機(jī)變量Y的值落在區(qū)間長度趨向于0的區(qū)間內(nèi)的概率的極限，表示隨機(jī)變量Y在點(diǎn)y處的概率密度，用f(y)表示，稱f(y)為隨機(jī)變量Y的密度函數(shù)。,分布曲線：概率密度的圖形。,x0,3. 概率分布與頻率分布的關(guān)系,頻率分布是實(shí)際發(fā)生的統(tǒng)計(jì)分布或經(jīng)驗(yàn)分布，對應(yīng)于各個(gè)樣本；對于不同的頻率分布，都有相應(yīng)的理論分布。,概率分布是理論分布或總體分布，是頻率分布的理想化數(shù)學(xué)模型，對應(yīng)于總體。,三、總體特征數(shù),統(tǒng)計(jì)量(statistic)：由樣本數(shù)據(jù)計(jì)算出來的，表示樣本特征的量稱為統(tǒng)計(jì)量，用拉丁字母表示，y：樣本平均數(shù)；s2：樣本方差；s:樣本標(biāo)準(zhǔn)差。,參數(shù)（parameter）：表示總體特征的恒定的量，稱為參數(shù)，用希臘字母表示，m：數(shù)學(xué)期望（理論平均數(shù)，總體平均數(shù)）； 2：總體方差；：總體標(biāo)準(zhǔn)差。,總體特征數(shù)：定量描述總體概率分布特征的量。主要包括隨機(jī)變量的數(shù)學(xué)期望、方差。,總體平均數(shù)：隨機(jī)變量