概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)CH5.ppt

第五章,大數(shù)定律與中心極限定理,一、大數(shù)定律,二、中心極限定理,本章是關(guān)于隨機(jī)變量序列的極限理論。,目的是從理論上對第一章中提出的“頻率的,穩(wěn)定性”給出嚴(yán)格的數(shù)學(xué)證明。,大數(shù)定律：對于隨機(jī)變量序列,描述其平均值,在什么條件下以什么形,式呈現(xiàn)出穩(wěn)定性。,中心極限定理：對于隨機(jī)變量序列,其部分和,在什么條件下以正態(tài)分布為極限,分布。,大數(shù)定律,第五章,第一節(jié),一、 切比雪夫Chebyshev不等式,二、幾個(gè)常見的大數(shù)定律,定義1,請注意 :,或,不等式,成立，,則稱此式為切比雪夫不等式。,存在，則對任意,證明 設(shè) X 為連續(xù)性（離散型類似），其密度為,設(shè)隨機(jī)變量X 的數(shù)學(xué)期望,命題 （切比雪夫Chebyshev不等式）,則,注：Chebyshev不等式對隨機(jī)變量在以,的一個(gè)鄰域外取值的概率給出了一個(gè)上界,為中心,可見D(X) 越小，事件,的概率越接近1。,X 的值密集在其數(shù)學(xué)期望附近的概率越大。,例如：對未知分布X，取,例1 一電網(wǎng)有1萬盞路燈，,晚上每盞燈開的概率為0.7.,求同時(shí)開的燈數(shù)在6800至7200之間的概率至少為多少?,解 設(shè)X 為同時(shí)開的燈數(shù)。,由二項(xiàng)分布,用切比雪夫不等式,已知正常男性成人血液中，每一毫升白細(xì)胞數(shù),解 設(shè)每毫升白細(xì)胞數(shù)為X,依題意，EX =7300,DX =7002,所求為,由切比雪夫不等式,估計(jì)每毫升白細(xì)胞數(shù)在 52009400 之間的概率 .,平均是7300，均方差是700， 利用切比雪夫不等式,例2,即每毫升白細(xì)胞數(shù)在5200-9400之間的概率不小于8/9。,大數(shù)定律的客觀背景,大量的隨機(jī)現(xiàn)象中平均結(jié)果的穩(wěn)定性,大量拋擲硬幣 正面出現(xiàn)頻率,字母使用頻率,生產(chǎn)過程中的 廢品率,幾個(gè)常見的大數(shù)定律,定理1（切比雪夫大數(shù)定律）,則,即對任意的 0，,設(shè) X1 , X2 , 是一列相互獨(dú)立的隨機(jī)變量序列，,它們都有相同的數(shù)學(xué)期望,證明,由切比雪夫不等式得：,所以,其取值接近于其數(shù)學(xué)期望的概率接近于1.,當(dāng)n充分大時(shí)，,差不多不再是隨機(jī)的了，,注：,定理2（辛欽定律）,辛欽大數(shù)定律中，隨機(jī)變量的方差可以不存在，只要,獨(dú)立同分布就可以了。,定理3（伯努利大數(shù)定律）,證明 引入隨機(jī)變量,顯然,且,又由于各次試驗(yàn)相互獨(dú)立，所以,獨(dú)立同分布,則由辛欽大數(shù)定律可得,例3 如何測量某一未知的物理量a ,使得誤差較??？,解 在相同的條件下測量n 次，其結(jié)果為,，它們可看成是相互獨(dú)立、相同分布的,隨機(jī)變量，并且有數(shù)學(xué)期望為a . 于是由辛欽大數(shù)定律,可知，當(dāng),時(shí)，有,因此我們可取 n 次測量值,的算術(shù)平均值,作為a 得近似值，即,當(dāng)n充分大時(shí)誤差很小。,例4 如何估計(jì)一大批產(chǎn)品的次品率 p ？,由伯努利大數(shù)定律可知，當(dāng) n 很大時(shí)，可取頻率,作為次品率 p 的估計(jì)值。,大數(shù)定律以嚴(yán)格的數(shù)學(xué)形式表達(dá)了隨機(jī)現(xiàn)象最根本的性質(zhì)之一：,平均結(jié)果的穩(wěn)定性,中心極限定理,第五章,第二節(jié),中心極限定理的客觀背景:,常常需要考慮許多隨機(jī)因素所產(chǎn)生的綜合影響.,在實(shí)際問題中，,則這種量X 一般都服從或近似服從正態(tài)分布。,觀察表明：,如果一個(gè)量是由大量相互獨(dú)立的隨機(jī)因素的影響所,造成，,而每一個(gè)別因素在總影響X 中所起的作用不大。,正態(tài)分布。,中心極限定理。,這就是下面要介紹的,的極限分布是標(biāo)準(zhǔn),所以,定理1（獨(dú)立同分布的中心及限定理）,且服從同一分布，,即獨(dú)立同分布，且具有相同的期望和方差,則,設(shè) 相互獨(dú)立，,，即,或,之和總可以近似服從正態(tài)分布.,此定理表明，無論,原來服從什么,分布，,當(dāng)n充分大時(shí)，,例1 某人要測量甲、乙兩地之間的距離。,限于測量,工具，他分成 1200 段來測量。,每段測量誤差（單位,厘米）服從于（-0.5,0.5)上的均勻分布。求總距離誤,差的絕對值超過20厘米的概率。,解 設(shè)第k 段的測量誤差為,且,是獨(dú)立同分布的隨機(jī)變量。且,累計(jì)誤差即總距離誤差為,，由獨(dú)立同分布的中,心極限定理可得,即,則所求概率為,根據(jù)以往經(jīng)驗(yàn)，某種電器元件的壽命服從均值為100小時(shí)的指數(shù)分布. 現(xiàn)隨機(jī)地取16只，設(shè)它們的壽命是相互獨(dú)立的. 求這16只元件的壽命的總和大于1920小時(shí)的概率.,由題給條件知，諸Xi 獨(dú)立，,16只元件的壽命的總和為,解 設(shè)第i 只元件的壽命為Xi , i=1,2, ,16,E( Xi ) =100, D( Xi ) =10000,依題意，所求為P(Y 1920),例2,由于E(Y )=1600,D(Y )=160000,由中心極限定理,近似N (0,1),1-,下面介紹定理1 的特殊情況。,定理2（棣莫佛-拉普拉斯定理）De Moivre-Laplace,設(shè)隨機(jī)變量 服從參數(shù)為,的二項(xiàng)分布,即,或,證 因?yàn)?所以,其中,相互獨(dú)立，且都服從（0-1）分布。,由獨(dú)立同分布的中心極限定理可得,注：此定理表明正態(tài)分布是二項(xiàng)分布的極限分布，,當(dāng)n 充分大時(shí)，可以利用正態(tài)分布計(jì)算二項(xiàng)分布的概率。,推論：,設(shè)隨機(jī)變量,當(dāng)n充分大時(shí)有：,這個(gè)公式給出了n 較大時(shí)二項(xiàng)分布的概率計(jì)算方法。,例3 報(bào)童沿街向行人兜售報(bào)紙，假設(shè)每位行人買報(bào),的概率為0.2,且他們是否買報(bào)是相互獨(dú)立的。求報(bào)童,向100位行人兜售之后，賣掉1530份報(bào)紙的概率。,解 設(shè)報(bào)童賣掉報(bào)紙的份數(shù)為X ，,例4 有100臺車床彼此獨(dú)立地工作。每臺車床的實(shí),際工作時(shí)間占全部工作時(shí)間的80，求下列事件的,概率。,1、任一時(shí)刻有7086臺車床工作。,2、任一時(shí)刻有80臺以上車床工作。,解 設(shè)任一時(shí)刻工作的車床臺數(shù)為X 。,例5 某單位有200臺電話分機(jī)，每臺分機(jī)有5%的時(shí)間,要使用外線通話。假定每臺分機(jī)是否使用外線是相互獨(dú),立的，問該單位總機(jī)要安裝多少條外線，才能以90%以,上的概率保證分機(jī)用外線時(shí)不等待？,解 設(shè)有X 部分機(jī)同時(shí)使用外線，則有,設(shè)有N 條外線。由題意有,由德莫佛-拉普拉斯定理得,其中,故 N 應(yīng)滿足條件,設(shè)它們是互相獨(dú)立的隨機(jī)變量，且都在區(qū)間(0,10)上,一加法器同時(shí)收到20個(gè)噪聲電壓,服從均勻分布，記,求 PV 105 的近似值。,例6,解,由定理1 知,例7 利用 契比雪夫不等