計算方法第一章誤差.ppt

數(shù)值計算方法,授課老師：涂泳秋 Email：tyq_,數(shù)值計算方法,上課時間： 1-18周周三上午三、四節(jié) 上課地點： 第4，8，12，16周：1班4#機房，2班5#機房 其余周次：A1-403 考試方式： 閉卷 成績計算方法： 筆試60%，平時20%，上機20% 實驗工具：MatLab,數(shù)值分析,數(shù)值分析是數(shù)學(xué)與計算機技術(shù)結(jié)合的 一門學(xué)科，是利用計算機解決數(shù)學(xué)問題的理論和方法，是計算數(shù)學(xué)的一個重要分支。,現(xiàn)代復(fù)雜工程技術(shù)問題的解決步驟,工程問題,上機計算,數(shù)學(xué)模型,結(jié)果分析,問題解答,設(shè)計算法,數(shù)值分析涉及的主要內(nèi)容,計算機只能進行加減乘除四則運算和一些簡單的函數(shù)計算（即使函數(shù)也是通過數(shù)值分析方法處理，轉(zhuǎn)化為四則運算而形成的小型軟件包） 數(shù)值代數(shù)：求解線性方程組和非線性方程組的解法，分直接方法和間接方法 插值和數(shù)值逼近。離散的點上的函數(shù)值，想辦法得到點之間的值 數(shù)值微分和數(shù)值積分。很多函數(shù)無法求出積分，利用數(shù)值方法求解 常微分方程和偏微分方程的數(shù)值解法,數(shù)值分析需要考慮哪些問題,計算速度 例如：求解一個20階線性方程組，20個未知量，用加減消原法需3000次乘法運算，用行列式求解需進行9.7*1020次運算，如果用每秒1億次乘法運算的計算機要30萬年。 說明了算法方法的重要性 2. 存儲量。大型問題有必要考慮 例如算法所需要保留的中間結(jié)果比較少，則可以省下為保留中間結(jié)果所需要的額外的存儲空間。,數(shù)值分析需要考慮哪些問題,數(shù)值穩(wěn)定性 在大量計算中，舍入誤差是積累還是能控制，這與算法有關(guān)。 例：一元二次方程,其精確解為,如用求根公式：,和字長為8位的計算器求解，有,又,數(shù)值分析需要考慮哪些問題,誤差的來源和基本概念,誤差的來源 模型誤差：在建立數(shù)學(xué)模型過程中，不可能將所有因素都考慮，必然要進行必要的簡化，帶來了與實際問題的誤差。不是數(shù)值方法考慮的問題 測量誤差：測量已知參數(shù)時，數(shù)據(jù)帶來的誤差。也不是數(shù)值方法考慮的問題 截斷誤差：在設(shè)計算法時，必然要近似處理，尋求簡化。這是計算數(shù)學(xué)考慮問題 舍入誤差：計算機的字長是有限的，每一步運算均需四舍五入，由此產(chǎn)生的誤差稱舍入誤差。 數(shù)值分析主要討論截斷誤差。測量誤差看成初始的舍入誤差，數(shù)值分析也要從整體上討論舍入誤差的影響,誤差的基本概念,絕對誤差和絕對誤差限 X*是精確值，x是它的一個近似值，稱e=x-x*是近似值x的絕對誤差，簡稱誤差。絕對誤差可正可負，是有量綱的。誤差是無法計算的，但可以估計出它的一個上界。即 ：,相對誤差和相對誤差限,相對誤差和相對誤差限,記作,相對誤差是個相對數(shù)，是無量綱的，也可正,可負。相對誤差的估計,，即：,實際計算中，x*未知，用x代替，兩者的差為：,例：重力加速度常數(shù)g。,兩者均有三位有效數(shù)字,后者的絕對誤差大，而相對誤差分別為,兩者相等，與量綱的選取無關(guān),有效數(shù)字,若近似值x的絕對誤差限是某一位數(shù)的半個單位，則說 x 精確到該位，若從該位到 x的左面第一位非零數(shù)字一共有n位，則稱近似值x有n位有效數(shù)字。,例：,3.14有三位有效數(shù)字,；3.1416有五位有效數(shù)字，,誤差限為0.00005,又例：0.003529是四位有效數(shù)字，0.00352900,是六位有效數(shù)字。前者的誤差限為,，,后者為,，寫成標準的浮點數(shù)為：,當,其中，有效數(shù)字的個數(shù)是l,即,有效數(shù)字：由絕對誤差決定,有效數(shù)字與相對誤差,此定理說明，相對誤差限是由有效數(shù)字決定。,數(shù)值計算中誤差的傳播,1. 對函數(shù)的計算：,數(shù)值計算中誤差的傳播,2. 對多元函數(shù)的計算：,數(shù)值計算中誤差的傳播,3. 四則運算中誤差的傳播：,證明第二條如下：,數(shù)值計算中的若干準則,關(guān)于數(shù)值穩(wěn)定性的算法 一個程序往往需要進行大量的四則運算才能得出結(jié)果，每一步的運算均會產(chǎn)生舍入誤差。在運算過程中，舍入誤差能控制在某個范圍內(nèi)的算法稱之為數(shù)值穩(wěn)定的算法，否則就稱之為不穩(wěn)定的算法。,數(shù)值計算中的若干準則,結(jié)果只有一位有效數(shù)字，有效數(shù)字大量損失，造成,相對誤差擴大。這是由兩個比較接近的數(shù)相減造成的,結(jié)果仍然有四位有效數(shù)字。這說明算法設(shè)計的重要性,2. 注意避免兩個相近數(shù)的減法,數(shù)值計算中的若干準則,3. 簡化計算步驟，減少運算次數(shù),例：計算 的值。,只需14次乘法。,又如：,采用“秦九韶算法”,例：計算多項式,只需n次乘法和n次加法。,一般要注意，能在循環(huán)外