能量法與超靜定結(jié)構(gòu).ppt

第九章 能量法 Energy method,9.1 概述 9.2 應(yīng)變能 余能 9.3 卡氏定理 9.4 能量法解超靜定系統(tǒng) 9.5 虛位移原理及單位力法,9.1 概述,能量法: 固體力學(xué)中，把一個(gè)和功、能的概念有關(guān)的理論和方法 統(tǒng)稱為能量法,恒力功:,9.2 應(yīng)變能 余能,1 功: 力作用于物體，力在其作用方向上發(fā)生位移，則該 力對(duì)物體做了功,變形功:,在線彈性范圍內(nèi),廣義力,廣義位移,軸向拉伸時(shí)外力做功,扭轉(zhuǎn)時(shí)外力做功,彎曲時(shí)外力做功,統(tǒng)一表示為,2 能（應(yīng)變能或變形能）,應(yīng)變能密度：?jiǎn)挝惑w積內(nèi)積蓄的應(yīng)變能,若微元各邊分別為,若整個(gè)體積內(nèi) 相同,根據(jù)能量守恒定律。貯存在物體中的應(yīng)變能 等于外力在物體變形過(guò)程中所做的功W。,三 卡氏第一定理,為最后位移 的函數(shù),卡氏第一定理 應(yīng)變能對(duì)于構(gòu)件上某一位移之變化率，就等于與該位移相應(yīng)的荷載。,由于 改變了 ，外力功相應(yīng)改變量為,四 余功、余能及卡氏第二定理,與外力功 之和等于矩形面積,與余功相應(yīng)的能稱為余能,線彈性范圍內(nèi)外力功等于余功，能等于余能。,試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在荷載 作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩桿的 長(zhǎng)度均為 ，橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力 應(yīng)變曲線如圖所示。,解：由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程，可得兩桿的軸力為,于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為,由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為,由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得,余能密度為,9.3 卡氏第二定理,表明余能為一系列荷載 的函數(shù),由于 改變了 ，外力余功相應(yīng)改變量為,余能定理 桿件的余能對(duì)于桿件上某一荷載的變化率就等于與該荷載相應(yīng)的位移。,在線彈性范圍內(nèi),卡氏第二定理 線彈性范圍內(nèi)，桿件的應(yīng)變能對(duì)于桿件上某一荷載的變化率，就等于與該荷載相應(yīng)的位移。,試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在荷載 作用下C點(diǎn)的豎向位移，結(jié)構(gòu)中兩桿的 長(zhǎng)度均為 ，橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖所示。,解：由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程，可得兩桿的軸力為,于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為,由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為,由非線性彈性材料的應(yīng)力應(yīng)變關(guān)系曲線可得,余能密度為,五 能量法解超靜定,1.簡(jiǎn)單超靜定問(wèn)題及其解法,未知力個(gè)數(shù)等于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目,則僅由平衡方程即可解出全部未知力,這類問(wèn)題稱為靜定問(wèn)題,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為靜定結(jié)構(gòu).,未知力個(gè)數(shù)多于獨(dú)立的平衡方程數(shù)目,則僅由平衡方程無(wú)法確定全部未知力,這類問(wèn)題稱為超靜定問(wèn)題或靜不定問(wèn)題,相應(yīng)的結(jié)構(gòu)稱為超靜定結(jié)構(gòu)或靜不定結(jié)構(gòu).,所有超靜定結(jié)構(gòu),都是在靜定結(jié)構(gòu)上再加一個(gè)或幾個(gè)約束,這些約束對(duì)于特定的工程要求是必要的,但對(duì)于保證結(jié)構(gòu)平衡卻是多余的,故稱為多余約束.,未知力個(gè)數(shù)與平衡方程數(shù)之差,稱為超靜定次數(shù)或靜不定次數(shù).,求解超靜定問(wèn)題,需要綜合考察結(jié)構(gòu)的平衡,變形協(xié)調(diào)和物理三個(gè)方面.,一鉸接結(jié)構(gòu)如圖示,在水平剛性橫梁的B端作用有載荷F 垂直桿1,2的抗拉壓剛度分別為E1A1,E2A2,若橫梁AB的 自重不計(jì),求兩桿中的內(nèi)力.,變形協(xié)調(diào)方程,試計(jì)算圖示結(jié)構(gòu)在荷載 作用下的余能，結(jié)構(gòu)中兩斜桿的長(zhǎng)度均為 ，橫截面面積均為A材料在單軸拉伸時(shí)的應(yīng)力應(yīng)變曲線如圖所示。求各桿內(nèi)力。,解：由結(jié)點(diǎn)C的平衡方程，得兩斜桿軸力為,于是兩桿橫截面上的應(yīng)力為,由于軸向拉伸桿內(nèi)各點(diǎn)應(yīng)變狀態(tài)均相同，因此，結(jié)構(gòu)在荷載作用下的余能為