(好資料)2008_1010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題兩套

2008年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽試題（福建）及參考答案 一、選擇題（共5小題，每小題6分，滿分30分，以下每道小題均給出了代號(hào)為A、B、C、D的四個(gè)選項(xiàng)，期中有且只有一個(gè)選項(xiàng)是正確的，請(qǐng)將正確選項(xiàng)的代號(hào)填入題后的括號(hào)里，不填、多填或錯(cuò)填都得0分）1、已知實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（）。A、7B、C、D、5答A解：因?yàn)?，0，由已知條件得，所以2、把一枚六個(gè)面編號(hào)分別為1，2，3，4，5，6的質(zhì)地均勻的正方體骰子先后投擲2次，若兩個(gè)正面朝上的編號(hào)分別為m，n，則二次函數(shù)的圖象與x軸有兩個(gè)不同交點(diǎn)的概率是（）。A、B、C、D、答C解：基本事件總數(shù)有6636，即可以得到36個(gè)二次函數(shù)，由題意知0，即通過(guò)枚舉知，滿足條件的，有17對(duì)，故3、有兩個(gè)同心圓，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)，小圓周上有2個(gè)不同的點(diǎn)，則這6個(gè)點(diǎn)可以確定的不同直線最少有（）。A、6條B、8條C、10條D、12條答B(yǎng)ABCDEOF（第3題答案圖）解：如圖，大圓周上有4個(gè)不同的點(diǎn)A、B、C、D，兩兩連線可以確定6條不同的直線；小圓周上的兩個(gè)點(diǎn)E、F中，至少有一個(gè)不是四邊形ABCD的對(duì)角線AC與BD的交點(diǎn)，則它與A，B，C，D的連線中，至少有兩條不同于A，B，C，D的兩兩連線，從而這6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線不少于8條。當(dāng)這6個(gè)點(diǎn)如圖所示放置時(shí)，恰好可以確定8條直線，所以，滿足條件的6個(gè)點(diǎn)可以確定的直線最少有8條。4、已知AB是半徑為1的圓O的一條弦，且AB1，以AB為一邊在圓O內(nèi)作正ABC，點(diǎn)D為圓O上不同于點(diǎn)A的一點(diǎn)，且DBAB，DC的延長(zhǎng)線交圓O于點(diǎn)E，則AE的長(zhǎng)為（）。ABCODE（第4題答案圖）A、B、1C、D、答B(yǎng)解：如圖，連接OE，OA，OB，設(shè)D，則ECA120EAC又因?yàn)锳BO所以ACEABO，于是AEOA15、將1，2，3，4，5這五個(gè)數(shù)字排成一排，最后一個(gè)數(shù)是奇數(shù)，且使得其中任意連續(xù)三個(gè)數(shù)之和都能被這三個(gè)數(shù)中的第一個(gè)數(shù)整除，那么滿足要求的排法有（）。A、2種B、3種C、4種D、5種答D解：設(shè)是1，2，3，4，5的一個(gè)滿足要求的排列，首先，對(duì)于，不能有連續(xù)的兩個(gè)都是偶數(shù)，否則，這兩個(gè)之后都是偶數(shù)，與已知條件矛盾。又如果（1i3）是偶數(shù)，是奇數(shù)，則是奇數(shù)，這說(shuō)明一個(gè)偶數(shù)后面一定要接兩個(gè)或兩個(gè)以上的奇數(shù)，除非接的這個(gè)奇數(shù)是最后一個(gè)數(shù)。所以只能是：偶，奇，奇，偶，奇，有如下5種情形滿足條件：2，1，3，4，5；2，3，5，4，1；2，5，1，4，3；4，3，1，2，5；4，5，3，2，1。二、填空題（共5小題，每小題6分，滿分30分）6、對(duì)于實(shí)數(shù)u，v，定義一種運(yùn)算“”為：uvuvv，若關(guān)于x的方程有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，則滿足條件的實(shí)數(shù)的取值范圍是。答0，或1解：由，得，依題意有解得，0，或17、小王沿街勻速行走，發(fā)現(xiàn)每隔6分鐘從背后駛過(guò)一輛18路公交車，每隔3分鐘從迎面駛來(lái)一輛18路公交車，假設(shè)每輛18路公交車行駛速度相同，而且18路公交車總站每隔固定時(shí)間發(fā)一輛車，那么發(fā)車間隔的時(shí)間是分鐘。答4。解：設(shè)18路公交車的速度是x米/分，小王行走的速度是y米/分，同向行駛的相鄰兩車的間距為s米。每隔6分鐘從背后開(kāi)過(guò)一輛18路公交車，則每隔3分鐘從迎面駛來(lái)一輛18路公交車，則由，可得，所以即18路公交車總站發(fā)車間隔的時(shí)間是4分鐘。8、如圖，在ABC中，AB7，AC11，點(diǎn)M是BC的中點(diǎn)，AD是ABCDMF（第8題）BAC的平分線，MFAD，則FC的長(zhǎng)為。答9。解：如圖，設(shè)點(diǎn)N是AC的中點(diǎn)，連接MN，ABCDMF（第8題答案圖）N則MNAB又MFAD，所以FMNBADDACMFN，所以FNMNAB，因此FCFNNCAB9。9、ABC中，AB7，BC8，CA9，過(guò)ABC的內(nèi)切圓圓心l作DEBC，分別與AB、AC相交于點(diǎn)D，E，則DE的長(zhǎng)為。ABCDEIrha（第9題答案圖）答解：如圖，設(shè)ABC的三邊長(zhǎng)為，內(nèi)切圓l的半徑為r，BC邊上的高為，則，所以，因?yàn)锳DEABC，所以它們對(duì)應(yīng)線段成比例，因此所以DE故DE。10、關(guān)于x，y的方程的所有正整數(shù)解為。答解：因?yàn)?08是4的倍數(shù)，偶數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為0，奇數(shù)的平方數(shù)除以4所得的余數(shù)為1，所以x，y都是偶數(shù)。設(shè)：則，同上可知，都是偶數(shù)，設(shè)，則，所以，都是偶數(shù)，設(shè)，則，于是，其中都是偶數(shù)。所以所以13可能為1，3，5，7，9，進(jìn)而為337,329,313,289,257，故只能是289，從而137，于是因此三、解答題（共4題，每題15分，滿分60分）11、已知一次函數(shù)，二次函數(shù)，是否存在二次函數(shù)，其圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,2），且對(duì)于任意實(shí)數(shù)x的同一個(gè)值，這三個(gè)函數(shù)所對(duì)應(yīng)的函數(shù)值，都有成立？若存在，求出函數(shù)的解析式；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：存在滿足條件的二次函數(shù)。因?yàn)椋?，?dāng)自變量x取任意實(shí)數(shù)時(shí)，均成立。由已知，二次函數(shù)的圖象經(jīng)過(guò)點(diǎn)（5,2），得25當(dāng)時(shí)，有，由于對(duì)于自變量取任實(shí)數(shù)時(shí)，均成立，所以有22，故由，得，所以5分當(dāng)時(shí)，有，即所以，二次函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以當(dāng)時(shí)，有，即，所以，二次函數(shù)對(duì)于一切實(shí)數(shù)x，函數(shù)值大于或等于零，故即所以綜上，所以，存在二次函數(shù)，在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)，對(duì)于x的同一個(gè)值，都有成立。15分12、是否存在質(zhì)數(shù)，使得關(guān)于x的一元二次方程有有理數(shù)根？解：設(shè)方程有有理數(shù)根，則判別式為平方數(shù)。令，其中是一個(gè)非負(fù)整數(shù)，則，5分由于1且與同奇偶，故同為偶數(shù)。因此，有如下幾種可能情形：消去n，解得，10分對(duì)于第1,3種情形，從而；對(duì)于第2,5種情形，從而（不合題意，舍去）；對(duì)于第4種情形，是合數(shù)（不合題意，舍去）。又當(dāng)時(shí)，方程為2，它的根為，它們都是有理數(shù)。綜上有述，存在滿足題設(shè)的質(zhì)數(shù)。15分13、是否存在一個(gè)三邊長(zhǎng)恰是三個(gè)連續(xù)正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角2倍的ABC？證明你的結(jié)論。解：存在滿足條件的三角形。當(dāng)ABC的三邊長(zhǎng)分別為時(shí)，A2B，5分如圖，當(dāng)A2B時(shí)，延長(zhǎng)BA至點(diǎn)D，使ADACb，連接CD，則ACD為等腰三角形。ABCD（第13題答案圖）因?yàn)锽AC為ACD的一個(gè)外角，所以BAC2D，由已知，BAC2B，所以BD，所以CBD為等腰三角形。又D為ACD與CBD的一個(gè)公共角，有ACDCBD，于是，即，所以10分而所以此三角形滿足題設(shè)條件，故存在滿足條件的三角形。15分說(shuō)明：滿足條件的三角形是唯一的。若A2B，可得，有如下三種情形；(i)當(dāng)時(shí)，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有；(ii)當(dāng)時(shí)，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，解得，有，此時(shí)不能構(gòu)成三角形；(iii)當(dāng)時(shí)，設(shè)（為大于1的正整數(shù)），代入，得，即，此方程無(wú)整數(shù)解。所以，三邊長(zhǎng)恰為三個(gè)連續(xù)的正整數(shù)，且其中一個(gè)內(nèi)角等于另一個(gè)內(nèi)角的2倍的三角形存在，而且只有三邊長(zhǎng)分別為4，5，6構(gòu)成的三角形滿足條件。14、已知有6個(gè)互不相同的正整數(shù)，且，從這6個(gè)數(shù)中任意取出3個(gè)數(shù)，分別設(shè)為，其中，記。證明：一定存在3個(gè)不同的數(shù)組，其中，使得對(duì)應(yīng)著的3個(gè)兩兩之差的絕對(duì)值都小于0.5。證明：在6個(gè)正整數(shù)中任意取出3個(gè)數(shù)共有20種取法，從而確定了20個(gè)數(shù)組，由于05分把數(shù)軸上的點(diǎn)0到點(diǎn)分成如下9個(gè)部分；0，10分由于20922，由抽屜原則知，在上述9個(gè)部分中，一定有一個(gè)至少含有3個(gè)，從而，這3個(gè)兩兩之差的絕對(duì)值都小于0.5。15分2010年全國(guó)初中數(shù)學(xué)競(jìng)賽復(fù)賽試題及參考答案（湖南）一、選擇題（57=35）1、已知3m1 和m7是數(shù) p的平方根，則p的值為（ ）A，100 B，25 C.10或5 D. 100或252、若，則的值為（ ）A. B C D 3、一列武廣高速列車和一列普通列車的車身長(zhǎng)分別為400米和600米，它們相向勻速行駛在平行的軌道上，若坐在高速列車上的乘客看見(jiàn)普通列車駛過(guò)窗口的時(shí)間是3秒，則坐在普通列車上的乘客看見(jiàn)高速列車駛過(guò)窗口的時(shí)間是（ ）A 2秒 B 3秒 C 4秒 D 4.5秒4、如圖，一個(gè)半徑為3的圓O1經(jīng)過(guò)一個(gè)半徑為3的圓O2的圓心，則圖中陰影部分的面積為（ ）A B 9 C D 5、若實(shí)數(shù)a、b滿足，則a的取值范圍是（ ）A a2 B a4 C a2或a4 D 2a4二、填空題（57=35）6、若干名同學(xué)制作迎國(guó)慶卡通圖片，他們制作的卡通圖片張數(shù)的條形統(tǒng)計(jì)圖如圖所示，設(shè)他們制作的卡通圖片張數(shù)的平均數(shù)為a ,中位數(shù)為b，眾數(shù)為c，則a 、b、c的大小關(guān)系為 7、一副三角板如圖所示疊放在一起，則如中BDF的度數(shù)是 8、已知關(guān)于x 的方程有一個(gè)根為1，設(shè)這個(gè)方程另一個(gè)根為m，則的值為 。9、如圖，將一張邊長(zhǎng)分別為4和2的矩形紙片ABCD折疊，使點(diǎn)C與點(diǎn)A重合，則折痕EF的長(zhǎng)為 交于點(diǎn)E，且DEBC，已知AE=，AE=，BC=6，則圓O的半徑是 三、解答題（其中1114小題每題15分，第15題20分，共80分）11、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，正方形ABCD的中點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為A（1,1）， y軸上一點(diǎn)P（0,2）繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180得到點(diǎn)P1，點(diǎn)P1繞點(diǎn)B旋轉(zhuǎn)180得到點(diǎn)P2，點(diǎn)P2繞點(diǎn)C旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P3，點(diǎn)P3繞點(diǎn)D旋轉(zhuǎn)180得點(diǎn)P4，。重復(fù)操作依次得到點(diǎn)P1，P2，P3，（1）、求點(diǎn)P1、P2、P3的坐標(biāo)；（2）、求點(diǎn)P2010的坐標(biāo)。12、一輛貨車、一輛客車和一輛小轎車在一條筆直的公路上朝同一方向勻速行駛，在某一時(shí)刻，貨車在前。小轎車在后，客車在貨車與小轎車的中間，過(guò)了10分鐘，小轎車追上了客車；又過(guò)了5分鐘，小轎車追上了貨車；再過(guò)t分鐘，客車追上了貨車，求t的值.13、如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOY中，多邊形OABCDE的頂點(diǎn)坐標(biāo)分別是O(0,0),A(0,6),B(4,6),C(4,4),D(6,4),E(6,0).若直線l經(jīng)過(guò)點(diǎn)M(2,3),且將多邊形OABCDE分割成面積相等的兩部分，求直線l的函數(shù)表達(dá)式。14、如圖，謝線AM,BN都垂直于線段AB，點(diǎn)E為AM上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)A作BE的垂線AC分別交BE、BN于點(diǎn)F、C，過(guò)頂C作品AM的垂線CD，垂足為D。若CD=CF，求的值。15、如圖，拋物線（a0）與雙曲線相交于點(diǎn)A，B，已知點(diǎn)A 的坐標(biāo)為（1,4），點(diǎn)B在第三象限內(nèi)，且AOB的面積為3（O為原點(diǎn)）。（1）、求實(shí)數(shù)a、b、k的值；（21）、過(guò)拋物線上點(diǎn)A作直線ACx軸，交拋物線于另一點(diǎn)C，求所有滿足EOCAOB的點(diǎn)E的坐標(biāo)。參考答案1、D、3m-1和m-7 是數(shù)p的平方根，則3m-1=m-7或3m-1+m-7=0 m=3 或m=2當(dāng)m=-3時(shí),3m-1=-10 p=100當(dāng)m=2時(shí),3m-1=5 p=252、D、a=20b,b=10c a=200c3、A、設(shè)高速列車和普通列車的車速分別為x米8秒、y米/秒，則x+y=6003=200（米/秒） 所以坐在普通列車上的乘客看見(jiàn)高速列車駛過(guò)窗口的時(shí)間是：400200=2（秒）4、C、連結(jié)O1O2,O1A,O1B,O2A,O2BO1O2=O1A=3,O2A=O2O1A=90同理O2O1B=90點(diǎn)A、O1、B在同一條直線上，并且AO2B=90AB是圓O1的直徑S陰影=S1S弓形AO1B=S1(S扇形AO2BSAO2B)=95、C、方程變形為：，b為實(shí)數(shù)=0 化簡(jiǎn)得0(a-4)(a+2) 0 a4或a26、bac共有4+3+3=10名同學(xué)制作圖片，制作的張數(shù)為4,4,4,4,4,5,5,5,6,6,6平均數(shù)a=4.9, 中位數(shù)b=5，眾數(shù)c =47、 75ABC=45DEF=30 BDE=ABCDEF=15BDF=EDFBDE=9015=758、 根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得：1+m= 1+m=1m=1,a= 9、 C與A重合 EF是AC的垂直平分線CG=可證：CFGAEG FG=EG=可證：CFGCAD FG:AD=CG:CD FG:2=:4FG= EF=10、 延長(zhǎng)AC交O于點(diǎn)F，連結(jié)DFDEBC DEF=180ACB=90DF是O的直徑 AB=DEBC DE:BC=AD:AB=AE:AC DE:6=AD: = DE=4,AD=AD是切線 AF=DF=O的半徑R=11、（1）連結(jié)PA并延長(zhǎng)交x軸于點(diǎn)M，則直線PA的解析式是：y=-x+2 點(diǎn)M的坐標(biāo)是M（2,0）同時(shí)MA=PA= 說(shuō)明點(diǎn)A是PM的中點(diǎn) 即點(diǎn)M是點(diǎn)P繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)180得到點(diǎn)M就是點(diǎn)P1P1(2,0) 同樣：P2(0,-2) P3(-2,0)(2)重復(fù)操作依次是：P4=P8=P,P5=P9=P1,P5=P10=P2,P7=P11=P32010=4502+2P2010=P2 P2010（0，-2）12、設(shè)在某一時(shí)刻，貨車與客車、小轎車的距離均為S千米，小轎車、貨車、客車的速度分別為a、b、c（千米/分），并設(shè)貨車經(jīng)x分鐘追上客車，由題意可得： 10(a-b)=S (1) 15(a-c)=2S (2) x(b-c)=S有（1）（2）得 30（b-c）=S S=30t =30105=15(分) 13、如圖，延長(zhǎng)BC交x軸于點(diǎn)F，連結(jié)OB，DF，且相交于點(diǎn)N有已知得點(diǎn)M（2,3）是OB、AF的中點(diǎn)，即點(diǎn)M為矩形ABFO的中心，所以直線l把矩形ABFO分成面積相等的兩部分又因?yàn)辄c(diǎn)N（5,2）是矩形CDEF的中心，所以過(guò)點(diǎn)N（5,2）的直線把矩形CDEF分成面積相等的兩部分。于是，直線MN即為所求的直線L設(shè)直線l的解析式為y=kx+b 則2k+b=3 5k+b=2K= b= 因此所求直線l的函數(shù)表達(dá)式是：14、如圖，設(shè)CF=m,AF=n易證：RTAFBRTABC又FC=CD=AB=n 即 或（舍去） 又RTAFERTCFB 即15、解：（1）因?yàn)辄c(diǎn)A（1，4）在雙曲線上，所以k=4. 故雙曲線的函數(shù)表達(dá)式為.設(shè)點(diǎn)B（t，），AB所在直線的函數(shù)表達(dá)式為，則有 解