(好資料)2009-2012年高考數(shù)學(xué)ι輪精品教案及其練習(xí)精析_《簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞,全稱量詞與存在量詞》

第2講 簡單的邏輯聯(lián)結(jié)詞,全稱量詞與存在量詞 知 識(shí) 梳理 1.“或”,“且”, “非”稱為邏輯聯(lián)結(jié)詞_ , 不含邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為簡單命題_；含有邏輯聯(lián)結(jié)詞的命題稱為_復(fù)合命題_ ,復(fù)合命題有三種形式且、或、非2用邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來.就得到一個(gè)新命題,記作，讀作_且_ 3用邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”把命題和命題聯(lián)結(jié)起來.就得到一個(gè)新命題,記作_，讀作_ 或_ 4 對(duì)一個(gè)命題的全盤否定, 就得到一個(gè)新的命題, 記作_p _，讀作_非_5三種復(fù)合命題的真值表：（1）“p且q”： 一假即假（2）“p或q”： 一真即真（3）“非p”： 真假相反 特別提醒： 命題的“否定”與“否命題”是不同的概念，對(duì)命題p的否定（即非p）是否定命題p所作的判斷，而“否命題”是 “若p則 q ”6短語“_對(duì)所有的”、“對(duì)任意一個(gè)” 邏輯中稱為全稱量詞，并用符號(hào)“_” 表示。 7短語“存在一個(gè)”、“_至少有一個(gè)” 邏輯中稱為存在量詞，并用符號(hào)“” 表示。 8含有全稱量詞的命題稱為全稱命題_；含有存在量詞的命題稱為_特稱命題_.9全稱命題形式：；特稱命題形式：。 其中M為給定的集合， 特別提醒：全稱命題p：的否定p：；全稱命題的否定為特稱命題特稱命題p：的否定p：；特稱命題的否定為全稱命題其中p(x)是一個(gè)關(guān)于的命題。 重 難 點(diǎn) 突 破 1.重點(diǎn)：判斷復(fù)合命題“p且q”、“p或q”、“非p”的真假；判斷全稱命題與特稱命題真假2.難點(diǎn)：對(duì)邏輯聯(lián)結(jié)詞“或”、“且”和“非”的含義的理解；寫出全稱命題與特稱命題否定3.重難點(diǎn)：.(1) 理解邏輯聯(lián)結(jié)詞 “非”的含義問題1：你能寫出下列命題p的非(否定)嗎?（1）p：100既能被4整除又能被5整除（2）p：三條直線兩兩相交（3）p：一元二次方程至多有兩個(gè)解（4）p：解: （1）p：100不能被4整除，或不能被5整除（2）p：三條直線不都兩兩相交（3）p：一元二次方程至少有三個(gè)解（4）p：或點(diǎn)撥: “且”的否定形式是“或”，而“或”的否定形式是“且”. 寫出命題的非（否定），需要對(duì)其正面敘述的詞語進(jìn)行否定，常用正面敘述詞語及它的否定列舉如下：正面詞語且小于（）都是都不是至少n個(gè)至多n個(gè)否定詞語或不小于（）不都是至少有一個(gè)是至多n1個(gè)至少n+1個(gè)正面詞語任意的所有的有無窮多個(gè)存在唯一的對(duì)任意p，使恒成立否定詞語某個(gè)某些只有有限多個(gè)不存在或至少存在兩個(gè)至少有一個(gè)p，使不成立（2）命題的否定與命題的否命題的區(qū)別問題2: 寫出命題：“若，則”的否定與否命題，并加以區(qū)別。解析:命題的否定：若，則命題的否命題：若，則點(diǎn)撥: 命題的否定，是對(duì)整個(gè)命題進(jìn)行否定，側(cè)重于對(duì)命題結(jié)論的否定.如具體到“若則”而言，命題的否定是只否定結(jié)論不否定條件.而命題的否命題則是既否定條件又否定結(jié)論.（3）全稱量詞與存在量詞問題3：寫出命題“若，則”的否定解析：“若，則”顯然兩個(gè)命題都是假命題，這就與復(fù)合命題中的真值表相矛盾.那么問題出在哪呢？實(shí)際上命題是省略了全稱量詞，命題里的“”是指“對(duì)于任意的”.所以原命題的否定形式就是：“存在，使得”.這時(shí)原命題是假命題，而否定形式就是真命題.所以在判斷復(fù)合命題的形式時(shí)，要準(zhǔn)確理解命題的本質(zhì)含義，尤其注意在一些表述中命題所隱含的全稱量詞.點(diǎn)撥：全稱量詞有時(shí)會(huì)被省略。如：不少學(xué)生認(rèn)為命題：“不等式的解為或”是“或”形式的復(fù)合命題：不等式的解為：不等式的解為顯然假假，但“或”確為真，這與真值表相矛盾.實(shí)際上問題還是與上面的一樣，命題里的“解”是指“所有的解”，這樣“或”就是一個(gè)整體，所以上面的命題不是“或”形式的復(fù)合命題，應(yīng)該是個(gè)簡單命題. 熱 點(diǎn) 考 點(diǎn) 題 型 探 析考點(diǎn)一： 復(fù)合命題及其真假判斷題型1. 指出復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題，反之能寫出“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題例1 分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題: （1）3是質(zhì)數(shù)或合數(shù). （2）他是運(yùn)動(dòng)員兼教練員. （3）相似三角形不一定是全等三角形.解題思路：根據(jù)組成上述各復(fù)合命題的語句中所出現(xiàn)的邏輯聯(lián)結(jié)詞，“且”“或”“非”進(jìn)行命題結(jié)構(gòu)的判斷.解析： (1) 這個(gè)命題是“p或q”形式，其中p：3是質(zhì)數(shù)，q：3是合數(shù). (2) 這個(gè)命題是“p且q”形式，其中p：他是運(yùn)動(dòng)員，q：他是教練員.(3) 這個(gè)命題是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形.例2 分別寫出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題： （1）p：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2整除， q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被3整除.（2）p：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形， q：對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形. 解題思路：在由簡單命題寫出復(fù)合命題時(shí)，本例的（1）、（2）可直接使用邏輯聯(lián)結(jié)記詞，而（3）中的“p或q”“p且q”“非p”，寫復(fù)合命題時(shí)，關(guān)鍵要搞清“且”“或”“非”的意義.解析： （1）根據(jù)真值表，復(fù)合命題可以寫成簡單形式： p或q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2或能被3整除. p且q：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積能被2且能被3整除. 非p：連續(xù)的三個(gè)整數(shù)的乘積不能被2整除. 連續(xù)的三整數(shù)中有一個(gè)（或兩個(gè)）是偶數(shù)，而有一個(gè)是3的倍數(shù)， （2）根據(jù)真值表，只能用邏輯聯(lián)結(jié)詞聯(lián)結(jié)兩個(gè)命題，不能寫成簡單形式： p或q：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形或?qū)蔷€互相平分的四邊形是菱形.p且q：對(duì)角線互相垂直的四邊形是菱形且對(duì)角線互相平分的四邊形是菱形.非p：對(duì)角線互相垂直的四邊形不一定是菱形. 【名師指引】要理解邏輯聯(lián)結(jié)詞“且”、“或”和 “非”的含義， “且”是指必須兩個(gè)都選，“或”是指兩個(gè)中至少選一個(gè)，“非”是指否定的意思，尤其要注意理解和掌握常見正面詞語的否定詞語. 【新題導(dǎo)練】1分別指出下列復(fù)合命題的形式及構(gòu)成它的簡單命題: （1）3是質(zhì)數(shù)或合數(shù). （2）他是運(yùn)動(dòng)員兼教練員. （3）相似三角形不一定是全等三角形.解: (1) 這個(gè)命題是“p或q”形式，其中p：3是質(zhì)數(shù)，q：3是合數(shù). (2) 這個(gè)命題是“p且q”形式，其中p：他是運(yùn)動(dòng)員，q：他是教練員.(3) 這個(gè)命題是“非p”形式，其中p：相似三角形一定是全等三角形.2分別寫出下列各組命題構(gòu)成的“p或q”“p且q”“非p”形式的復(fù)合命題： （1）p：是無理數(shù)，q： 大于是2 （2）p：，q： （3）p： ， q： 解： （1）p或q：是無理數(shù)或大于2 p且q： 是無理數(shù)且大于2非p： 不是無理數(shù)（2）p或q：或 p且q： 且非p： （3）p或q：或 p且q： 且 非p： 題型2。判斷復(fù)合命題的真假例3 寫出由下述各命題構(gòu)成的“p或q”，“p且q”，“非p”形式的復(fù)合命題，并指出所構(gòu)成的這些復(fù)合命題的真假。（1）p：5是17的約數(shù)，q：5是15的約數(shù).（2）p：方程x21=0的解是x=1, q：方程x21=0的解是x=1,（3）p：不等式的解集為R，q：不等式的解集為解題思路：寫三種形式的復(fù)合命題時(shí)，在命題p或命題q的語句中，由于中文表達(dá)的習(xí)慣常常會(huì)有些省略，這種情況下應(yīng)作詞語上的調(diào)整。判斷復(fù)合命題真假時(shí)，關(guān)鍵是判斷簡單命題的真假，再按真值表來判斷即可.解析：（1）p或q：5是17或15的約數(shù)； p且q：5是17與15的公約數(shù)，（或?qū)懗桑?是17的約數(shù)，且9是15的約數(shù)）； 非p：5不是17的約數(shù). p假，q真，“p或q”為真，“p且q” 為假，而“非p”為真.（2）p或q：方程x21=0的解是x=1,或方程x21=0的解是x=1（注意，不能寫成“方程x21=0的解是x=1”，這與真值表不符）；p且q：方程x21=0的解是x=1,且方程x21=0的解是x=1；非p：方程x21=0的解不都是x=1（注意，在命題p中的“是”應(yīng)理解為“都是”的意思）；p假，q假，“p或q”與“p且q” 均為假，而“非p”為真.（3）p或q：不等式的解集為R或不等式的解集為. p且q：不等式的解集為R或不等式的解集為 非p：不等式的解集為. p真，q假，“p或q”為真，“p且q” 為假，而“非p”為假.例4 已知 設(shè)P：函數(shù)在R上單調(diào)遞減； Q：不等式的解集為R，若“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，求的取值范圍. 解題思路：“P或Q”是真命題，“P且Q”是假命題，根據(jù)真假表知，P，Q之中一真一假，因此有兩種情況，要分類討論.解析:函數(shù)在R上單調(diào)遞減不等式【名師指引】先判斷命題和的真假，再根據(jù)真值表判斷復(fù)合命題的真假.【新題導(dǎo)練】3. 分別指出由下列各組命題構(gòu)成的邏輯關(guān)聯(lián)詞“或”、“且”、“非”的真假。（1）p: 梯形有一組對(duì)邊平行；q：梯形有一組對(duì)邊相等。（2）p: 1是方程的解；q：3是方程的解。（3）p: 不等式解集為R；q: 不等式解集為。（4）p: 解： p真，q假， “pq”為真，“pq”為假，“p”為假。 p真，q真， “pq”為真，“pq”為真，“p”為假。 p假，q假， “pq”為假，“pq”為假，“p”為真。 p真，q假， “pq”為真，“pq”為假，“p”為假。4（廣東省四會(huì)中學(xué)2010屆高三質(zhì)量檢測（數(shù)學(xué)理）已知命題所有有理數(shù)都是實(shí)數(shù)，命題正數(shù)的對(duì)數(shù)都是負(fù)數(shù)，則下列命題中為真命題的是（ ）A BCD答案：D考點(diǎn)二: 全稱命題與特稱命題及其真假判斷題型1: 判斷命題是全稱命題還是特稱命題。 例7 判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題. (1) 任何一個(gè)實(shí)數(shù)除以1，仍等于這個(gè)數(shù)； (2) 三角函數(shù)都是周期函數(shù)嗎？(3) 有一個(gè)實(shí)數(shù)，不能取倒數(shù)；(4) 有的三角形內(nèi)角和不等于解題思路：含有全稱量詞的命題稱為全稱命題；含有存在量詞的命題稱為特稱命題.但要注意有些命題可能省略了量詞.解析： （1）全稱命題；（2）不是命題；（3）特稱命題；（4）特稱命題；【名師指引】含有全稱量詞的命題稱為全稱命題；含有存在量詞的命題稱為特稱命題.但要注意有些命題可能省略了量詞.【新題導(dǎo)練】5判斷下列語句是不是命題，如果k，是，說明是全稱命題還是特稱命題.(1) 中國的所有江河都流入太平洋； (2) 不能作除數(shù)；(3) 有一個(gè)實(shí)數(shù)，不能取對(duì)數(shù)；(4) 每一個(gè)向量都有方向嗎？解析：（1）（2）（3）是命題，（4）不是命題，其中（1）全稱命題；（2）既不是全稱命題也不是特稱命題；（3）特稱命題；題型2: 判斷全稱命題或特稱命題的真假例8 設(shè)A、B為兩個(gè)集合.下列四個(gè)命題： AB對(duì)任意xA，有xB； ABAB=； ABAB； AB存在xA，使得xB.其中真命題的序號(hào)是_.（把符合要求的命題序號(hào)都填上）解題思路：要判定一個(gè)特稱性命題為真，只要在給定的集合中，找到一個(gè)元素x，使命題p(x)為真；否則命題為假。要判定一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)給定的集合的每一個(gè)元素x，p(x)都為真；但要判斷一個(gè)全稱命題為假，只要在給定的集合內(nèi)找出一個(gè)x0，p(x0)為假。解析：AB存在xA，有xB，故錯(cuò)誤；錯(cuò)誤；正確. 亦或如下圖所示.ABAB不成立的反例如下圖所示. 反之，同理. 真命題的序號(hào)是【名師指引】判斷全稱命題與特稱命題真假時(shí)，若判定一個(gè)特稱性命題為真，只需找出一個(gè)例子即可否則命題為假；若判定一個(gè)全稱命題為真，必須對(duì)每一個(gè)元素都為真；但判斷其為假，只需要舉出一個(gè)反例即可?！拘骂}導(dǎo)練】6設(shè)函數(shù)f（x）的定義域?yàn)镽，有下列三個(gè)命題：若存在常數(shù)M，使得對(duì)任意xR，有f（x）M，則M是函數(shù)f（x）的最大值； 若存在x0R，使得對(duì)任意xR，且xx0，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值；若存在x0R，使得對(duì)任意xR，有f（x）f（x0），則f（x0）是函數(shù)f（x）的最大值.這些命題中，真命題的個(gè)數(shù)是A.0 B.1 C.2 D.3解：錯(cuò), 原因：可能“=”不能取到. 都正確，選C.7下列全稱命題中真命題為( ) A. 一次函數(shù)都是單調(diào)函數(shù) B. 是有理數(shù) C. 任何一條直線都有斜率 D. 答案: A8.下列特稱命題中假命題為( ) A. 空間中過直線外一點(diǎn)有且僅有一條直線與該直線垂直 B. 僅存在一個(gè)實(shí)數(shù),使得成等比數(shù)列 C. 存在實(shí)數(shù)滿足,使得的最小值是6 D. 恒成立答案: A考點(diǎn)三: 由命題真假確定參數(shù)范圍例9 （廣東省五校2010屆高三上學(xué)期第二次聯(lián)考（數(shù)學(xué)理）已知命題：方程在上有且僅有一解；命題：只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式若命題是假命題，求的取值范圍.解題思路：因?yàn)槊}是假命題，由真值表可知，命題p和命題q都是假命題.由此入手分析。 注意參數(shù)的分類討論，做到不重不漏。解析：由，得顯然 所以, 因?yàn)榉匠淘谏嫌星覂H有一解，故、所以只有一個(gè)實(shí)數(shù)滿足不等式所以 因?yàn)槊}是假命題，所以命題p和命題q都是假命題.所以的取值范圍為【名師指引】先確定簡單命題與復(fù)合命題的真假，再由命題的真假劃分參數(shù)的范圍【新題導(dǎo)練】9（廣東省四會(huì)中學(xué)2010屆高三上學(xué)期第二次質(zhì)量檢測（數(shù)學(xué)理）已知命題： P：對(duì)任意,不等式恒成立；q：函數(shù)存在極大值和極小值。求使命題“p且q”為真命題的m的取值范圍。解: 恒成立，只需小于的最小值， 而當(dāng)時(shí)，3，.存在極大值與極小值，有兩個(gè)不等的實(shí)根， ，或. 要使命題“p且q”為真，只需,故m的取值范圍為2，6. 搶 分 頻 道 基礎(chǔ)鞏固訓(xùn)練1. （廣東省深圳市2010 屆高三九校聯(lián)考數(shù)學(xué)試題）下列說法錯(cuò)誤的是 （ ）A “”是“”的充分不必要條件；B命題“若，則”的否命題是：“若，則”C若命題：，則；D如果命題“”與命題“或”都是真命題，那么命題一定是真命題.答案：A2.（2009-2010金山中學(xué)高三期中考試數(shù)學(xué)試題）下列命題錯(cuò)誤的是（ ） A命題“若有實(shí)數(shù)根”的逆否命題為：“若方程無實(shí)數(shù)根，則”B“”是“”的充分不必要條件C若為假命題，則p、q均為假命題D對(duì)于命題若答案：C3（2009學(xué)年中山市一中高三年級(jí)第二次統(tǒng)測試題數(shù)學(xué)理）已知：命題則 （ ） 答案：C4（廣州市海珠區(qū)2009屆高三綜合測試二）設(shè)命題：矩形的對(duì)角線相等;命題：的單調(diào)減區(qū)間是.則（ ）A“或”為真 B