線性代數(shù)4.3二次型與對稱矩陣的有定性.ppt

例1 考慮二次型,有,稱此二次型是正定二次型.,相應的矩陣,為正定矩陣.,例 2 考慮二次型,4.3 二次型與對稱矩陣的有定性,有,稱此二次型是半正定二次型.,相應的矩陣,稱為半正定矩陣.,例3 二次型,有,稱此二次型是負定二次型.,相應的矩陣,為負定矩陣.,例4 考慮二次型,有,稱此二次型是半負定二次型.,相應的矩陣,稱為半負定矩陣.,定義4.4 對于具有對稱矩陣 A 的二次型,如果對任何,都有,則稱二次型,如果對任何,都有,則稱二次型,是負定二次型.,A稱為正定矩陣,A稱為負定矩陣,是正定二次型.,定義4.4 對于具有對稱矩陣 A 的二次型,如果對任何,都有,則稱二次型,如果對任何,則稱二次型,是半負定二次型.,A稱為半正定矩陣,A稱為半負定矩陣,都有,且存在,且存在,使,使,是半正定二次型.,二次型 是正定的,有,有,二次型 是半正定的,有,且,使,有,且,使,例 二次型,不是 正定的;,(半),(半),也不是 負定的.,此時,稱為不定的.,二次型 是負定的,二次型 是半負定的,例 二次型,對任何,故二次型,為正定二次型,故單位矩陣En,為正定矩陣.,設d1 ,d2 ,dn均大于0,事實上,對任何,故二次型,為正定二次型,故當d1 ,d2 ,dn 均大于0時,為正定二次型,為正定矩陣.,例 二次型,對任何,故此二次型為半負定二次型.,例 二次型,是不定的.,定理4.7對角矩陣,為正定矩陣,證 充分性已證.,必要性:,設D是正定矩陣,則,如果A正定,由于C可逆，,方程組,只有零解.,A正定,所以矩陣B正定.,則B也正定.,C可逆。,要證,只須證,是否正定呢?,矩陣為正定矩陣的充分必要條件,準則2,準則4,準則1,A與單位矩陣 E 合同.,A的特征值都大于零,準則3,f 的正慣性指標為n,以下給出幾個,作為判別準則.,存在,使得,矩陣A為正定矩陣,n 元二次型f 正定,矩陣A為正定矩陣,可逆矩陣C,如何判斷一個矩陣或二次型,準則5 矩陣A為正定矩陣的充分必要 條件是,定義4.5,稱為矩陣A的順序主子式.,A的順序主子式都大于零.,(定理4.9),例 判別下列矩陣或二次型是否正定,A正定,解 二次型對應的矩陣為：,該二次型正定,解 二次型對應的矩陣為：,二次型不正定,課堂練習,判別二次型是否正定,例 取何值時,解 二次型對應的矩陣為：,時，二次型正定.,以下二次型為正定,證:A是實對稱矩陣,A的所有特征值,準則4 矩陣A為正定矩陣,A的特征值都大于零,A正定,A的所有特征值,存在正交矩陣Q,使得,準則2 矩陣A為正定矩陣,A與單位矩陣E合同.,A是實對稱矩陣,A的所有特征值,證 充分性:若,則由于 E 正定,必要性: 設A正定,則A的特征值都大于0,則PT=P,P 與Q都可逆,故,故A正定.,存在正交矩陣Q,使得,也可逆，,準則3 n 元二次型f正定,f 的正慣性指標為n,證 設 f = xTAx,其對應的矩陣A正定,存在可逆矩陣C，使得,經(jīng)過非退化線性替換,二次型化為,f 的正慣性指標為n,二次型 正定,正定矩陣的性質:,(1) 若A正定,證法1 A正定,A1的特征值都大于0，,證法2 A正定,即存在可逆矩陣C，使得,故A1正定.,D可逆,則A可逆,且A1也正定.,A的特征值都大于0,A的特征值都0,所以A可逆.,故A1正定,0是A的特征值,0不是A的特征值,正定矩陣的性質:,正定矩陣的主對角線上的元素都大于0,都有,證 設,正定,則,矩陣A負定,都有,證： A負定,都有,矩陣(A)正定.,故判斷一個矩陣是否負定,負定的判別：,可以轉化為判斷它的負矩陣,是否正定.,矩陣 正定.,( k=1,2,3,n ),負定,正定,即A的順序主子式負正相間.,例,A是負定矩陣.,注意:,矩陣A負定,A的順序主子式負正相間.,A的順序主子式都為負.,矩陣A正定,A的順序