線性代數(shù)§5.1向量的內(nèi)積.ppt

5.1 預(yù)備知識(shí): 向量的內(nèi)積,一、向量內(nèi)積的定義及性質(zhì),在解析幾何中有兩向量的數(shù)量積的概念, 即設(shè)x, y為兩向量, 則它們的數(shù)量積為: x y = | x | y | cos .,設(shè)向量x, y 的坐標(biāo)表示式為 x = (x1, x2, x3), y = (y1, y2, y3), 則 x y = x1 y1 + x2 y2 + x3 y3 .,由此引出了向量的長度(即模)和兩向量夾角的概念:,定義1: 設(shè)有n維向量,x, y = x1 y1 + x2 y2 + + xn yn, 稱x, y為向量 x 與 y 的內(nèi)積.,說明1. n(n4)維向量的內(nèi)積是3維向量數(shù)量積的推廣, 但是沒有3維向量直觀的幾何意義.,說明2. 內(nèi)積是向量的一種運(yùn)算, 如果都是列向量, 內(nèi)積可用矩陣記號(hào)表示為: x, y = xT y.,我們把兩向量的數(shù)量積的概念向 n 維向量推廣:,記,內(nèi)積的運(yùn)算性質(zhì),設(shè)x, y, z為n維向量, 為實(shí)數(shù), 則 (1) x, y = y, x; (2) x, y = x, y; (3) x+y , z = x, z + y, z; (4) x, x 0, 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)有x, x=0.,二、向量的長度及性質(zhì),稱| x |為n維向量 x 的長度(或范數(shù)).,定義: 令,向量的長度具有下述性質(zhì): (1) 非負(fù)性: | x | 0, 當(dāng)且僅當(dāng)x=0時(shí)有| x | = 0; (2) 齊次性: | x| = | | | x |; (3) 三角不等式: | x+y | | x | + | y |.,單位向量及n 維向量間的夾角,(1)當(dāng)| x |=1時(shí), 稱x為單位向量. (2)當(dāng)| x | 0, | y | 0 時(shí),稱為n維向量 x 與 y 的夾角, 規(guī)定0 .,例1: 求向量x = (1, 2, 2, 3)與y = (3, 1, 5, 1)的夾角.,解: x, y=13+21+25+31=18,所以,故, 向量x與 y 的夾角為:,三、正交向量組的概念及求法,1. 正交的概念,2. 正交向量組的概念,若一非零向量組中的向量兩兩正交, 則稱該向量組為正交向量組.,當(dāng)x, y=0時(shí), 稱向量 x 與 y 正交.,由定義知, 若x=0, 則 x與任何向量都正交.,3. 正交向量組的性質(zhì),定理1: 若向量組1, 2, , r 是n維正交向量組, 則1, 2, , r 線性無關(guān).,證明: 設(shè)有數(shù)1, 2, ,r, 使得:,11 + 22 + + rr = 0,向量的正交是幾何空間中向量垂直概念的推廣.,由于1, 2, , r 是兩兩正交的非零向量組,當(dāng) i j 時(shí), i, j=iTj = 0, 當(dāng) i = j 時(shí), i, i=iTi 0,則有,用iT ( i =1, 2, , r )左乘上式得,1iT1 + + iiTi + + riTr = iT0 = 0,iiTi = 0.,即,從而得, 1=2= =r=0,所以1, 2, ,r 線性無關(guān).,4. 向量空間的正交基,定義: 若正交向量組1, 2, , r是向量空間V的一組基, 則稱1, 2, , r 是向量空間V的一組正交基.,例2: 已知三維向量空間中兩個(gè)向量,正交. 試求3使1, 2, 3構(gòu)成三維空間的一組正交基.,1=(1, 1, 1)T, 2=(1, 2, 1)T,即,解之得,解: 設(shè)3=(x1, x2, x3)T0, 且分別與1, 2正交.,則有,1, 3=2, 3=0,x1 = x3, x2 = 0.,若令 x3 = 1, 則有,構(gòu)成三維空間的一組正交基.,則,5. 規(guī)范正交基,例如,定義: 設(shè)n維向量組e1, e2, , er是向量空間VRn的一組正交基, 且都是單位向量, 則稱e1, e2, , er是向量空間V的一組規(guī)范(單位)正交基.,由于,所以, e1, e2, e3, e4為R4的一組規(guī)范正交基.,同理可知,也為R4的一組規(guī)范正交基(即單位坐標(biāo)向量組).,設(shè)e1, e2, , er是向量空間V的一組規(guī)范正交基, 則V中的任一向量a可由e1, e2, , er線性表示,設(shè)表示式為:,a =1e1 + 2e2 + + rer ,用eiT左乘上式, 有 eiTa =i eiTei =i ,即,i = eiTa = a, ei,這就是向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo)(即線性表示系數(shù))的計(jì)算公式. 利用該公式可方便地計(jì)算向量在規(guī)范正交基中的坐標(biāo), 因此我們常取向量空間的規(guī)范正交基.,6. 求規(guī)范正交基的方法,已知1, 2, , r 是向量空間V 的一組基, 求V 的一組規(guī)范正交基, 就是要找一組兩兩正交的單位向量e1, e2, , er , 使e1, e2, , er 與1, 2, , r 等價(jià), 這樣一個(gè)問題稱為把基1, 2, , r 規(guī)范正交化.,(1) 正交化,設(shè)a1, a2, , ar 是向量空間V 的一組基., ,取 b1 = a1,則b1, b2, , br兩兩正交, 且b1, b2, , br與a1, a2, , ar等價(jià).,(2) 單位化, 取,則e1, e2, , en是向量空間V的一組規(guī)范正交基.,上述由線性無關(guān)向量組a1, a2, , ar 構(gòu)造出正交向量組b1, b2, , br 的過程稱為施密特(Schimidt)正交化過程.,例3: 用施密特正交化方法, 將向量組 a1=(1, 1, 1, 1), a2=(1, -1, 0, 4), a3=(3, 5, 1, -1) 正交規(guī)范化.,解: 先正交化.,取,b1= a1=(1, 1, 1, 1),再單位化.,得規(guī)范正交向量組如下:,例4: 設(shè),試用施密特正交化過程把這組向量規(guī)范正交化.,解: 先正交化.,取,b1= a1,再單位化.,得規(guī)范正交向量組如下:,故, e1, e2, e3 即為所求.,例5: 已知,求一組非零向量a2, a3, 使a1, a2, a3兩兩正交.,解: 非零向量a2, a3應(yīng)滿足方程 a1Tx = 0, 即,x1+ x2+ x3= 0.,它的基礎(chǔ)解系為:,把基礎(chǔ)解系正交化, 即為所求. 亦即取,其中1, 2=1, 1, 1=2,于是得,幾 何 解 釋,b2 = a2 c2, c2為a2在b1上的投影向量, 即,b1 = a1,b3 = a3 c3, c3為a3在b1, b2所確定的平面上的投影向量,由于b1b2, 故c3等于a3分別在b1, b2上的投影向量c31及c32之和, 即,四、正交矩陣與正交變換,定理: A為正交矩陣的充要條件是A的列向量都是單位向量且兩兩正交.,若n階方陣A滿足ATA = E, 即A-1=AT, 則稱A為正交矩陣.,證明: 由于,ATA = E,性質(zhì)1: 正交變換保持向量的長度不變.,定義: 若P為正交陣, 則線性變換 y = Px 稱為正交變換.,證明: 設(shè)線性變換 y = Px為正交變換.,則有,性質(zhì)2: 設(shè)A為正交矩陣, 則A-1=AT也為正交矩陣, 且|A|=1或1. 性質(zhì)3: 設(shè)A,B都是正交矩陣, 則AB也為正交矩陣.,例6: 判別下列矩陣是否為正交陣.,解(1): 考察矩陣的第一列和第二列.,所以(1)不是正交矩陣.,由于,解(2): 注意到, 該矩陣為對(duì)稱矩陣, 則有,所以(2)是正交矩陣.,例6: 驗(yàn)證矩陣,解: P 的每個(gè)列向量都是單位向量, 且兩兩正交, 所以P是正交矩陣.,是正交矩陣.,五、小結(jié),1. 將一組基規(guī)范正交化的方法: 先用施密特正交化方法將基正交化, 然后再將其單位化.,2. A為正交矩陣的充要條件是下列條件之一成立: (1) A-1=AT; (2