高中數學第三章不等式3.3二元一次不等式組與簡單的線性3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題第1課時學案新人教A版必修.docx

3.3.2簡單的線性規(guī)劃問題(第1課時)學習目標1.從實際情境中抽象出一些簡單的二元線性規(guī)劃問題,并能加以解決.2.了解線性規(guī)劃的意義以及線性約束條件、線性目標函數、可行解、可行域、最優(yōu)解等概念.3.了解線性規(guī)劃的圖解法,并會用圖解法求線性目標函數的最大(小)值.合作學習一、設計問題,創(chuàng)設情境問題情境:在現實生產、生活中,經常會遇到資源利用、人力調配、生產安排等問題.例如,某工廠用A,B兩種配件生產甲、乙兩種產品,兩種產品所需配件、耗時、利潤如下表:產品所需配件及數量耗時(小時/件)利潤(萬元/件)甲產品A配件4個12乙產品B配件4個23該廠每天最多可從配件廠獲得16個A配件和12個B配件,按每天工作8小時計算,怎樣安排生產才能使利潤最大?問題1:利潤由哪些量來決定?有哪些數量關系?根據這些數量關系,可以設出幾個未知數?請你用這些未知數,表達出問題中的數量關系.問題2:有了上面的分析過程,這個實際問題可以轉化為怎樣的數學問題?問題3:我們前面碰到過求最值的問題嗎?一般方法有哪些?這個問題能轉化為前面所學的函數問題嗎?那么,怎樣獲取符合條件的x,y的值呢?二、信息交流,揭示規(guī)律問題4:若把不等式組改變?yōu)榍髗=2x+3y的最大值,這種方法還可以用嗎?那樣如何求解呢?問題5:大家在剛才的代入法求解中,有沒有發(fā)現點A(0,3),B(3,1)使得z=2x+3y都為9,也就是使2x+3y=9成立,你能用所學的知識解釋這一現象嗎?那么在平面區(qū)域內還有這樣的點嗎?點(4,1)會對應著類似的直線嗎?問題6:如何從幾何角度認識z=2x+3y?它對應的圖形是什么?有什么條件約束這組平行直線?那么,怎樣求z的最大值呢?請大家自己探究一下.三、運用規(guī)律,解決問題【例題】設z=2x+y,式中變量x,y滿足條件求z的最大值和最小值.問題7:請大家反思一下,解答線性規(guī)劃問題的一般步驟是什么.四、變式訓練,深化提高變式訓練1:設z=6x+10y,式中x,y滿足條件求z的最大值和最小值.變式訓練2:請大家在上面的線性約束條件下,探究目標函數z=x-3y的最大值和最小值分別對應可行域中的哪個點?問題8:目標函數z=ax+by中,z與縱截距的關系主要由哪個字母決定?問題9:剛才有的同學得出目標函數z=x-3y的最大值和最小值分別對應可行域中的點C和點B,這是什么原因造成的呢?五、反思小結,觀點提煉問題10:目標函數z=ax+by中有幾個自變量?我們這節(jié)課學習的線性規(guī)劃問題,體現了什么數學思想?那么我們在四個步驟中應該注意什么問題?參考答案一、設計問題,創(chuàng)設情境問題情境:問題1:生產的甲、乙產品的數量.等量關系:使用的A配件數量=甲產品數量4;使用的B配件數量=乙產品數量4;利潤=2甲產品數量+3乙產品數量.不等關系:生產甲產品總耗時+生產乙產品總耗時8;使用的A配件數量16;使用的B配件數量12;甲、乙產品的數量都是自然數.甲產品數量x、乙產品數量y、利潤z.即問題2:已知實數x,y滿足求z=2x+3y的最大值.問題3:碰到過;用函數求最值、幾何法求最值;不能,因為沒有關于x,y的等式,不能消元;可以畫出不等式組表示的平面區(qū)域,然后從中把符合條件的有限個點的坐標求出,代入z=2x+3y,通過比較求得最大值.二、信息交流,揭示規(guī)律學生探究1:畫出不等式組表示的平面區(qū)域,如圖中的陰影部分所示.可以求得平面區(qū)域內滿足x,yN的點有(0,0),(0,1),(0,2),(0,3),(1,0),(1,1),(1,2),(1,3),(2,0),(2,1),(2,2),(2,3),(3,0),(3,1),(3,2),(4,0),(4,1),(4,2).將坐標代入,比較知道,當x=4,y=2時,z最大為14.問題4:不能,點有無數個,不可能一一驗證. 問題5:2x+3y=9表示一條直線,而點A(0,3),B(3,1)都在直線2x+3y=9上,所以都能使得2x+3y=9成立;有,如圖所示的平面區(qū)域內位于線段AC上的所有的點,都使2x+3y=9,即z的值等于9;對應著直線2x+3y=11.問題6:當z變化時,它表示一族平行直線.將z=2x+3y化為斜截式為y=-x+,所以直線的斜率確定;而且這組直線必須和平面區(qū)域有公共點.因為當縱截距最大時,z就最大.所以,只需作出平行直線后,找到與y軸的交點最靠上的那條直線所經過的一個點就可以求z的最大值了.學生動手操作后,得出結論:當直線平移經過點P時,位置最靠上,也就是縱截距最大,從而z最大.把點P(4,2)代入z=2x+3y后,得到zmax=14.三、運用規(guī)律,解決問題【例題】解:由題意,變量x,y所滿足的每個不等式都表示一個平面區(qū)域,不等式組則表示這些平面區(qū)域的公共區(qū)域.由圖知,原點(0,0)不在公共區(qū)域內,當x=0,y=0時,z=2x+y=0,即點(0,0)在直線l0:2x+y=0上,作一組平行于l0的直線l:2x+y=t,tR,可知:當l在l0的右上方時,直線l上的點(x,y)滿足2x+y0,即t0,而且,直線l往右平移時,t隨之增大.由圖象可知,當直線l經過點A(5,2)時,對應的t最大,當直線l經過點B(1,1)時,對應的t最小,所以,zmax=25+2=12,zmin=21+1=3.問題7:一畫(可行域);二移(直線);三求(最優(yōu)解);四答(最大值).四、變式訓練,深化提高變式訓練1:解:由引例可知:直線l0與AC所在直線平行,則由引例的解題過程知,當l與AC所在直線3x+5y-25=0重合時z最大,此時滿足條件的最優(yōu)解有無數多個,當l經過點B(1,1)時,對應z最小,將AC所在直線上任意一點,如A(5,2),代入z=6x+10y,得zmax=65+210=50,zmin=61+101=16.變式訓練2:分別對應可行域中的點C和點A.問題8: b的符號,當b0時,直線l在最上(下)面時z最大(小);當b0時,直線l在最上(下)面時z最小(大).問題9:目標