(考試資料下載)微分幾何教案曲線論（二）

微分幾何教案（二） 向量函數(shù)及其兩個重要命題 2 向量函數(shù)一 向量函數(shù)的定義定義 G是一點集，若對每一個xG，有確定的向量與之對應(yīng)，則稱在G上給定了一個向量函數(shù)。記作 。若G為區(qū)間，則G中的點為實數(shù)t，這時為一元向量函數(shù)；終點的軌跡是一條曲線。若G為平面域，則xG，x=x(u,v), 這時為二元向量函數(shù)。終點的軌跡是曲面。向量函數(shù)可以用分量表示，它們的分量是三個實函數(shù)， ，。二 向量函數(shù)的極限和連續(xù)性1 極限定義 一元向量函數(shù)，若有常向量使：對于任意的存在當(dāng)則稱為時的極限。記作。2 極限的運算性質(zhì),則設(shè)則3 向量函數(shù)的連續(xù)性定義 結(jié)論 。三 向量函數(shù)的微商 定義 是定義在上的向量函數(shù),設(shè),若存在,則稱在可微,這個極限叫做在的導(dǎo)矢或微商.記為,即若在的每一點可微,則稱在內(nèi)是可微的,其微分記為。 的幾何意義一元向量函數(shù)終點軌跡一般表示一條曲線，表示曲線上一點，表示附近的一點P。表示曲線在點的割線方向，若 P=不為零，則它表示曲線在點的O切線上的一個方向，該向量的正向指向曲線沿參數(shù)t增加的方向。 向量函數(shù)微商的性質(zhì)若都是可微的向量函數(shù),是可微的實函數(shù)，則都是可微的，并且若則可微且。 類函數(shù)及其性質(zhì)若在上有直到k階的連續(xù)微商，則稱是上的k次可微函數(shù)或類函數(shù)。連續(xù)函數(shù)記為類函數(shù)，無限可微的函數(shù)記為類函數(shù)，處處可微的函數(shù)叫解析函數(shù)，記為。結(jié)論 在上是類函數(shù)。 向量函數(shù)的泰勒公式四 向量函數(shù)的積分及其運算性質(zhì) 向量函數(shù)的不定積分：若，則叫做的原函數(shù)，的原函數(shù)的全體叫做的不定積分，記為，因此，。 向量函數(shù)的定積分：，。 定積分的性質(zhì)A. ，則B. C. m是常數(shù)時，。D. .E. .F. .說明 據(jù)上面討論可知，向量函數(shù)的極限、微分與積分等運算都可以化為三個分量實函數(shù)的相應(yīng)的運算，所以向量函數(shù)的極限、連續(xù)、微分與積分并沒有實質(zhì)上的新內(nèi)容。但是，不能認(rèn)為分析中所有結(jié)果都可直接推廣到矢量分析上來。例如微分中值定理就不可以。設(shè)假如微分中值定理成立，則存在，即于是，這是不可能的。五 兩個重要命題 命題1 向量函數(shù)具有固定長對于t的每一個值，。證明 具有固定長。 向量函數(shù)對于它的變量t的旋轉(zhuǎn)速度M給定，給t一增量，叫做向量函數(shù)對于它的變量t的旋轉(zhuǎn)速度。 命題2 單位向量對于它的變量t的旋轉(zhuǎn)速度等于其微商的模。證明：把移到同一個始點O，（如上圖）。以O(shè)為圓心畫單位圓，它通過的終點M, ，則兩個向量的夾角