概率論與數(shù)理統(tǒng)計8講.ppt

1,概率論與數(shù)理統(tǒng)計 第8講,本文件可從網(wǎng)址 上下載 (單擊ppt講義后選擇概率論講義子目錄),2,本幻燈片還可以從網(wǎng)址 或 其中的“概率論講義“子目錄中獲得,3,獨立試驗序列概型,4,事件運算的最小項,任給n個事件A1,A2,An, 取這n個事件中的每一個,然后將其中的一些取逆, 再將這n個事件中取逆的和不取逆的事件相并得到的事件, 稱為這n個事件的一個最小項. 給定n個事件可產(chǎn)生多個不同的最小項, 各個最小項之間是互不相容的.,5,而這n個事件能夠邏輯上構(gòu)成的任何事件, 可以由若干個最小項的并構(gòu)成.因此要計算這樣的事件的概率, 只需要按加法法則將所包含的各個最小項的概率相加即可.,6,例, 二事件A與B可組成四個最小項為,7,8,9,10,從圖形上看, 這四個最小項代表了四個區(qū)域,A,B,0,1,2,3,11,12,而三個事件A, B, C可組成8個最小項為,13,由A,B,C產(chǎn)生的任何邏輯式都可以由這8個最小項中的幾個的并產(chǎn)生.,14,這8個最小項可以和所有的3位二進(jìn)制數(shù)一一對應(yīng),15,一般地,n個事件A1,A2,An共可組成2n個最小項, 每個最小項可以和一個n位二進(jìn)制數(shù)對應(yīng), 如果此二進(jìn)制數(shù)的第i位為0, 對應(yīng)在此最小項中的Ai取逆, 而第j位為1對應(yīng)在此最小項中的Aj不取逆.,16,例 某工廠每天分3個班生產(chǎn), 事件Ai表示第i個班超額完成生產(chǎn)任務(wù)(i=1,2,3). 則至少有兩個班超額完成任務(wù)可以表示為,17,解 此為多選題, 正確的答案為(b),(c),(d). 這是因為(a)為恰有兩個班超額完成的最小項之和, 而(b)為至少兩個班的典型表示式, (c)為最小項表示, 而(d)表示至少兩個班不超額的逆,18,獨立試驗概型,在概率論中, 把在同樣條件下重復(fù)進(jìn)行試驗的數(shù)學(xué)模型稱為獨立試驗序列概型. 進(jìn)行n次試驗, 若任何一次試驗中各結(jié)果發(fā)生的可能性都不受其它各次試驗結(jié)果發(fā)生情況的影響, 則稱這n次試驗是相互獨立的. 而多個獨立試驗可以在多個場景同時進(jìn)行, 也可以按時間順序進(jìn)行.,19,例 甲,乙,丙3部機(jī)床獨立工作, 由一個工人照管, 某段時間內(nèi)它們不需要工人照管的概率均為0.8. 求恰有0部,1部,2部,3部機(jī)床需要工人照管的概率.,20,解 用事件A,B,C分別表示在這段時間內(nèi)機(jī)床甲,乙,丙不需工人照管.依題意A,B,C相互獨立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.8. 將ABC的所有最小項列出來為,21,假設(shè)B0,B1,B2,B3為有0,1,2,3臺機(jī)床需要照料的事件,則根據(jù)所列出的最小項可得,22,總結(jié)寫成,23,例 一批產(chǎn)品的廢品率為0.1, 每次取一個, 觀察后放回去, 下次再取一個, 共重復(fù)3次, 求這3次中恰有0,1,2,3次取到廢品的概率.,24,解 用事件A,B,C分別表示第1,2,3次取到廢品的事件, 則A,B,C相互獨立, 并且P(A)=P(B)=P(C)=0.1. 將A,B,C的所有最小項列出來為,25,假設(shè)B0,B1,B2,B3為恰抽到0,1,2,3個廢品的事件, 則根據(jù)所列出的最小項可得,26,總結(jié)寫成,27,例 在前例中廢品率若為p(0p1), 重復(fù)地抽取n次, 求有k次取到廢品的概率.,28,解: 假設(shè)A1,A2,An為第1,2,n次取到廢品的事件. 則這n個事件可以組成2n個最小項, 每一個最小項對應(yīng)于一個n位的二進(jìn)制數(shù).假設(shè)Bk為有k次取到廢品的概率. 則,29,30,上面例子的共同特點是,在每次試驗中某事件A或者發(fā)生或者不發(fā)生, 假設(shè)每次試驗的結(jié)果與其它各次試驗結(jié)果無關(guān), 即在每次試驗中A出現(xiàn)的概率都是p(0p1), 這樣的一系列重復(fù)試驗(比如n次), 稱為n重貝努里試驗.,31,因此, n重貝努里試驗共有兩個關(guān)鍵參數(shù), 一個是每次試驗A發(fā)生的概率, 一個是試驗次數(shù)n.,32,注意A并非n重試驗的樣本空間的事件, 它只是一次試驗中的事件, 而在n重試驗中, 它轉(zhuǎn)化為A1,A2,An,33,定理(貝努里定理) 設(shè)一次試驗中事件A發(fā)生的概率為p(0p1), 則n重貝努里試驗中, 事件A恰好發(fā)生k次的概率用pn(k)表示, 則,34,我們知道代數(shù)中有二項式定理,35,36,例 一條自動生產(chǎn)線上產(chǎn)品的一級品率為0.6, 現(xiàn)檢查了10件, 求至少有兩件一級品的概率.,37,解 設(shè)B為事件至少有兩件一級品. 此為n=10重貝努里試驗, 事件A(抽到一級品)的概率p=0.6,38,1999年MBA試題 設(shè)A1,A2,A3為3個獨立事件, 且P(Ak)=p (k=1,2,3, p0). 則3個事件不全發(fā)生的概率是_ (A) (1-p)3 (B) 3(1-p) (C) (1-p)3+3p(1-p) (D) 3p(1-p)2+3p(1-p) (E) 3p(1-p)3,39,解 此題為3重貝努里試驗, 設(shè)事件B為3個事件不全發(fā)生, 則B的逆為3個事件全發(fā)生的概率為p3, 因此P(B)=1-p3, 而上面的選項(C)為 (1-p)3+3p(1-p)=1-p3 滿足要求, 因此應(yīng)選(C),40,1999年MBA試題 進(jìn)行一系列獨立試驗, 每次試驗成功的概率為p, 則在成功2次之前已經(jīng)失敗了3次的概率為( ) (A) 4p2(1-p)3 (B) 4p(1-p)3 (C)10p2(1-p)3 (D) p2(1-p)3 (E) (1-p)3,41,解 成功2次之前已經(jīng)失敗了3次的事件一定已經(jīng)進(jìn)行了5次試驗, 第5次是成功的, 且前4次一定還有一次成功. 前4次有一次成功的概率是p4(1)=4p(1-p)3, 則再考慮第5次的成功, 成功2次前失敗3次的概率為4p2(1-p)3 因此, 應(yīng)填選項(A),42,1987年理工科考研題 設(shè)在一次試驗中A發(fā)生的概率為p, 現(xiàn)進(jìn)行n次獨立試驗, 則事件A至少發(fā)生一次的概率為_; 而事件A至多發(fā)生一次的概率為_.,43,44,1988年理工科考研題 設(shè)三次獨立試驗中, 事件A出現(xiàn)的概率