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一、換元積分法 二、常用的定積分公式及應用,第三節(jié) 定積分的換元積分,1.定理 設函數(shù) 在 上連續(xù);函數(shù) 在 (或 )上有連續(xù)導數(shù); 當 在 在 (或 )上變化時, 在 上變化,且 , , 則有,上式叫做定積分的換元公式.,一、換元積分法,證 設 ,,則,2.說明 (1)定積分的換元公式中,用 把原變 量 換成新變量 時(這如同不定積分第二類 換元),積分限也要換成相應于新變量 的積 分限,但 的對應值可能不唯一,只要任取一,值即可.,(3)換元公式也可反過來使用,即,(2)求出換元后的 的一個原函數(shù) 時,只要將新變量 的積分上下限分 別代入 中相減即可,不必象不定積分 那樣再把 變成原變量 的函數(shù) .,換元過程為 (這如同不定積分第一類 換元),且 , ;若此換元 過程是采用的湊微分法,沒有寫出新變量 , 則不必換元,即,. 解 換元: , ; 換限: , , , ,,3.例題,例1 計算,所以沒有換限.,例2 計算 .,解法1.,原式 .,解法2.,例3 計算 .,解,例4 設 求,解,2解,1.設 在 上連續(xù),則,(1)若 為偶函數(shù), ,,(2)若 為奇函數(shù), ,,二、常用的定積分公式及應用,證,2.設 是以 為周期的連續(xù)函數(shù),則,證,3.若 在 上連續(xù),則,證,4.若 在 上連續(xù),則,證,所以,解,例5 計算 .,5.例題,例6 計算 .,解 設 ,則,利用定積分公式得,例7 計算 .,解 被積函數(shù) 是以 為周期的連 續(xù)函數(shù),利用定積分公式得,例
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