2020版高考數(shù)學(xué)總復(fù)習(xí)第九章平面解析幾何第1節(jié)直線的方程教案文（含解析）北師大版.docx

第1節(jié)直線的方程最新考綱1.在平面直角坐標(biāo)系中，結(jié)合具體圖形，確定直線位置的幾何要素；2.理解直線的傾斜角和斜率的概念，掌握過(guò)兩點(diǎn)的直線斜率的計(jì)算公式；3.掌握確定直線位置的幾何要素，掌握直線方程的幾種形式(點(diǎn)斜式、兩點(diǎn)式及一般式)，了解斜截式與一次函數(shù)的關(guān)系.知 識(shí) 梳 理1.直線的傾斜角(1)定義：在平面直角坐標(biāo)系中，對(duì)于一條與x軸相交的直線l，把x軸(正方向)按逆時(shí)針?lè)较蚶@著交點(diǎn)旋轉(zhuǎn)到和直線l重合所成的角，叫作直線l的傾斜角.(2)規(guī)定：當(dāng)直線l與x軸平行或重合時(shí)，規(guī)定它的傾斜角為0；(3)范圍：直線的傾斜角的取值范圍是0，).2.直線的斜率(1)定義：當(dāng)90時(shí)，一條直線的傾斜角的正切值叫作這條直線的斜率，斜率常用小寫(xiě)字母k表示，即ktan_，傾斜角是90的直線斜率不存在.(2)斜率公式：經(jīng)過(guò)兩點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)(x1x2)的直線的斜率公式為k.3.直線方程的五種形式名稱(chēng)幾何條件方程適用條件斜截式縱截距、斜率ykxb與x軸不垂直的直線點(diǎn)斜式過(guò)一點(diǎn)、斜率yy0k(xx0)兩點(diǎn)式過(guò)兩點(diǎn)與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線截距式縱、橫截距1不過(guò)原點(diǎn)且與兩坐標(biāo)軸均不垂直的直線一般式AxByC0(A2B20)所有直線微點(diǎn)提醒1.直線的傾斜角和斜率k之間的對(duì)應(yīng)關(guān)系：000不存在k02.直線的斜率k和傾斜角之間的函數(shù)關(guān)系：基 礎(chǔ) 自 測(cè)1.判斷下列結(jié)論正誤(在括號(hào)內(nèi)打“”或“”)(1)直線的傾斜角越大，其斜率就越大.()(2)直線的斜率為tan ，則其傾斜角為.()(3)斜率相等的兩直線的傾斜角不一定相等.()(4)經(jīng)過(guò)任意兩個(gè)不同的點(diǎn)P1(x1，y1)，P2(x2，y2)的直線都可以用方程(yy1)(x2x1)(xx1)(y2y1)表示.()解析(1)當(dāng)直線的傾斜角1135，245時(shí)，12，但其對(duì)應(yīng)斜率k11，k21，k1k2.(2)當(dāng)直線斜率為tan(45)時(shí)，其傾斜角為135.(3)兩直線的斜率相等，則其傾斜角一定相等.答案(1)(2)(3)(4)2.(必修2P64例1改編)若過(guò)兩點(diǎn)A(m，6)，B(1，3m)的直線的斜率為12，則直線的方程為_(kāi).解析由題意得12，解得m2，A(2，6)，直線AB的方程為y612(x2)，整理得12xy180.答案12xy1803.(必修2P67例5改編)過(guò)點(diǎn)P(2，3)且在兩坐標(biāo)軸上截距相等的直線方程為_(kāi).解析當(dāng)縱、橫截距均為0時(shí)，直線方程為3x2y0；當(dāng)縱、橫截距均不為0時(shí)，設(shè)直線方程為1，則1，解得a5.所以直線方程為xy50.答案3x2y0或xy504.(2019衡水調(diào)研)直線xy10的傾斜角為()A.30 B.45C.120 D.150解析由題得，直線yx1的斜率為1，設(shè)其傾斜角為，則tan 1，又0180，故45.答案B5.(2019陜西七校聯(lián)考)若過(guò)點(diǎn)P(1a，1a)和Q(3，2a)的直線的傾斜角為鈍角，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.(2，1) B.(1，2)C.(，0) D.(，2)(1，)解析由題意知0，即0，解得2a0，b0).由題意得解得故直線l的方程為1，即3xy60.答案A考點(diǎn)一直線的傾斜角與斜率典例遷移【例1】 (1)直線2xcos y30的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.(2) (經(jīng)典母題) (一題多解)直線l過(guò)點(diǎn)P(1，0)，且與以A(2，1)，B(0，)為端點(diǎn)的線段有公共點(diǎn)，則直線l斜率的取值范圍為_(kāi).解析(1)直線2xcos y30的斜率k2cos ，因?yàn)?，所以cos ，因此k2cos 1，.設(shè)直線的傾斜角為，則有tan 1，.又0，)，所以，即傾斜角的取值范圍是.(2)法一設(shè)PA與PB的傾斜角分別為，直線PA的斜率是kAP1，直線PB的斜率是kBP，當(dāng)直線l由PA變化到與y軸平行的位置PC時(shí)，它的傾斜角由增至90，斜率的取值范圍為1，).當(dāng)直線l由PC變化到PB的位置時(shí)，它的傾斜角由90增至，斜率的變化范圍是(，.故斜率的取值范圍是(，1，).法二設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x1)，即kxyk0.A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，(2k1k)(k)0，即(k1)(k)0，解得k1或k.即直線l的斜率k的取值范圍是(，1，).答案(1)B(2)(，1，)【遷移探究1】 若將例1(2)中P(1，0)改為P(1，0)，其他條件不變，求直線l斜率的取值范圍.解設(shè)直線l的斜率為k，則直線l的方程為yk(x1)，即kxyk0.A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，(2k1k)(k)0，即(3k1)(k)0，解得k.即直線l的斜率的取值范圍是.【遷移探究2】 若將例1(2)中的B點(diǎn)坐標(biāo)改為B(2，1)，其他條件不變，求直線l傾斜角的取值范圍.解由例1(2)知直線l的方程kxyk0，A，B兩點(diǎn)在直線l的兩側(cè)或其中一點(diǎn)在直線l上，(2k1k)(2k1k)0，即(k1)(k1)0，解得1k1.即直線l傾斜角的取值范圍是.規(guī)律方法1.由直線傾斜角的取值范圍求斜率的取值范圍或由斜率的取值范圍求直線傾斜角的取值范圍時(shí)，常借助正切函數(shù)ytan x在0，)上的單調(diào)性求解，這里特別要注意，正切函數(shù)在0，)上并不是單調(diào)的.2.過(guò)一定點(diǎn)作直線與已知線段相交，求直線斜率范圍時(shí)，應(yīng)注意傾斜角為時(shí)，直線斜率不存在.【訓(xùn)練1】 若直線l：ykx與直線2x3y60的交點(diǎn)位于第一象限，則直線l的傾斜角的取值范圍是()A. B.C. D.解析直線ykx恒過(guò)點(diǎn)(0，)，可作兩直線的圖像，如圖所示，從圖中可以看出，直線l的傾斜角的取值范圍為.答案B考點(diǎn)二直線方程的求法【例2】 求適合下列條件的直線方程：(1)經(jīng)過(guò)點(diǎn)P(4，1)，且在兩坐標(biāo)軸上的截距相等；(2)經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，傾斜角等于直線y3x的傾斜角的2倍；(3)經(jīng)過(guò)點(diǎn)B(3，4)，且與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)等腰直角三角形.解(1)設(shè)直線l在x，y軸上的截距均為a，若a0，即l過(guò)點(diǎn)(0，0)和(4，1)，所以l的方程為yx，即x4y0.若a0，則設(shè)l的方程為1，因?yàn)閘過(guò)點(diǎn)(4，1)，所以1，所以a5，所以l的方程為xy50.綜上可知，直線l的方程為x4y0或xy50.(2)由已知設(shè)直線y3x的傾斜角為，則所求直線的傾斜角為2.因?yàn)閠an 3，所以tan 2.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即3x4y150.(3)由題意可知，所求直線的斜率為1.又過(guò)點(diǎn)(3，4)，由點(diǎn)斜式得y4(x3).所求直線的方程為xy10或xy70.規(guī)律方法1.在求直線方程時(shí)，應(yīng)選擇適當(dāng)?shù)男问?，并注意各種形式的適用條件.2.對(duì)于點(diǎn)斜式、截距式方程使用時(shí)要注意分類(lèi)討論思想的運(yùn)用(若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況；若采用截距式，應(yīng)判斷截距是否為零).【訓(xùn)練2】 (1)求過(guò)點(diǎn)A(1，3)，斜率是直線y4x的斜率的的直線方程；(2)求經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(5，2)，且在x軸上的截距等于在y軸上截距的2倍的直線方程.解(1)設(shè)所求直線的斜率為k，依題意k4.又直線經(jīng)過(guò)點(diǎn)A(1，3)，因此所求直線方程為y3(x1)，即4x3y130.(2)當(dāng)直線不過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)所求直線方程為1，將(5，2)代入所設(shè)方程，解得a，所以直線方程為x2y10；當(dāng)直線過(guò)原點(diǎn)時(shí)，設(shè)直線方程為ykx，則5k2，解得k，所以直線方程為yx，即2x5y0.故所求直線方程為2x5y0或x2y10.考點(diǎn)三直線方程的綜合應(yīng)用多維探究角度1與不等式相結(jié)合的最值問(wèn)題【例31】 設(shè)mR，過(guò)定點(diǎn)A的動(dòng)直線xmy0和過(guò)定點(diǎn)B的動(dòng)直線mxym30交于點(diǎn)P(x，y)，則|PA|PB|的最大值是_.解析由直線xmy0求得定點(diǎn)A(0，0)，直線mxym30，即y3m(x1)，所以得定點(diǎn)B(1，3).當(dāng)m0時(shí)，兩條動(dòng)直線垂直，當(dāng)m0時(shí)，因?yàn)閙1，所以兩條動(dòng)直線也垂直，因?yàn)镻為直線xmy0與mxym30的交點(diǎn)，所以|PA|2|PB|2|AB|210，所以|PA|PB|5(當(dāng)且僅當(dāng)|PA|PB|時(shí)，等號(hào)成立)，所以|PA|PB|的最大值是5.答案5角度2由直線方程求參數(shù)范圍【例32】 已知直線l1：ax2y2a4，l2：2xa2y2a24，當(dāng)0a2時(shí)，直線l1，l2與兩坐標(biāo)軸圍成一個(gè)四邊形，當(dāng)四邊形的面積最小時(shí)，實(shí)數(shù)a_.解析由題意知直線l1，l2恒過(guò)定點(diǎn)P(2，2)，直線l1的縱截距為2a，直線l2的橫截距為a22，所以四邊形的面積S2(2a)2(a22)a2a4，又0a2，所以當(dāng)a時(shí)，面積最小.答案規(guī)律方法與直線方程有關(guān)問(wèn)題的常見(jiàn)類(lèi)型及解題策略(1)求解與直線方程有關(guān)的最值問(wèn)題.先設(shè)出直線方程，建立目標(biāo)函數(shù)，再利用基本不等式求解最值.(2)求參數(shù)值或范圍.注意點(diǎn)在直線上，則點(diǎn)的坐標(biāo)適合直線的方程，再結(jié)合函數(shù)的單調(diào)性或基本不等式求解.【訓(xùn)練3】 如圖，在兩條互相垂直的道路l1，l2的一角，有一個(gè)電線桿，電線桿底部到道路l1的垂直距離為4米，到道路l2的垂直距離為3米，現(xiàn)在要過(guò)電線桿的底部靠近道路的一側(cè)修建一條人行直道，使得人行道與兩條垂直的道路圍成的直角三角形的面積最小，則人行道的長(zhǎng)度為_(kāi)米.解析如圖建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)人行道所在直線方程為y4k(x3)(k0)，所以A，B(0，43k)，所以ABO的面積S(43k)，因?yàn)閗0，所以9k224，當(dāng)且僅當(dāng)9k，即k時(shí)取等號(hào).此時(shí)，A(6，0)，B(0，8)，所以人行道的長(zhǎng)度為10米.答案10思維升華1.傾斜角和斜率的范圍(1)傾斜角是一種特殊規(guī)定的角，其范圍是0，)，千萬(wàn)不要與其他角混淆，有些時(shí)候要依據(jù)圖形而定.(2)斜率范圍與傾斜角范圍的轉(zhuǎn)化，此時(shí)要結(jié)合ytan x在和上的變化規(guī)律.2.在求直線方程時(shí)，應(yīng)先選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程的形式，并注意各種形式的適用條件.用斜截式及點(diǎn)斜式時(shí)，直線的斜率必須存在，而兩點(diǎn)式不能表示與坐標(biāo)軸垂直的直線，截距式不能表示與坐標(biāo)軸垂直或經(jīng)過(guò)原點(diǎn)的直線.故在解題時(shí)，若采用截距式，應(yīng)注意分類(lèi)討論，判斷截距是否為零；若采用點(diǎn)斜式，應(yīng)先考慮斜率不存在的情況.易錯(cuò)防范1.求直線方程時(shí)要注意判斷直線斜率是否存在；每條直線都有傾斜角，但不一定每條直線都存在斜率.2.根據(jù)斜率求傾斜角，一是要注意傾斜角的范圍；二是要考慮正切函數(shù)的單調(diào)性.3.截距為一個(gè)實(shí)數(shù)，既可以為正數(shù)，也可以為負(fù)數(shù)，還可以為0，這是解題時(shí)容易忽略的一點(diǎn).基礎(chǔ)鞏固題組(建議用時(shí)：35分鐘)一、選擇題1.直線xy10的傾斜角是()A. B. C. D.解析由直線的方程得直線的斜率為k，設(shè)傾斜角為，則tan ，又0，所以.答案D2.如圖中的直線l1，l2，l3的斜率分別為k1，k2，k3，則()A.k1k2k3B.k3k1k2C.k3k2k1D.k1k3k2解析直線l1的傾斜角1是鈍角，故k13，所以0k3k2，因此k1k30，b0時(shí)，a0，b0，結(jié)合選項(xiàng)知B符合，其他均不符合.答案B5.已知直線l經(jīng)過(guò)A(2，1)，B(1，m2)兩點(diǎn)(mR)，那么直線l的傾斜角的取值范圍是()A.0，) B.C. D.解析直線l的斜率k1m2，因?yàn)閙R，所以k(，1，所以直線的傾斜角的取值范圍是.答案B6.已知直線l的斜率為，在y軸上的截距為另一條直線x2y40的斜率的倒數(shù)，則直線l的方程為()A.yx2 B.yx2C.yx D.yx2解析因?yàn)橹本€x2y40的斜率為，所以直線l在y軸上的截距為2，所以直線l的方程為yx2.答案A7.直