2020版高考數(shù)學(xué)第六單元數(shù)列與算法課時(shí)4數(shù)列求和教案文（含解析）新人教A版.docx

數(shù)列求和1掌握數(shù)列求和的常用方法與思路2能選擇適當(dāng)?shù)姆椒ń鉀Q有關(guān)數(shù)列求和的問(wèn)題 知識(shí)梳理1常用公式(1)等差數(shù)列求和公式：Snna1d，推導(dǎo)方法是倒序相加.(2)等比數(shù)列求和公式：Sn，推導(dǎo)方法是錯(cuò)位相減.2常用方法(1)分組求和法：將通項(xiàng)展開(kāi)后分解成幾組，其中每一組可轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列求和(2)裂項(xiàng)求和法：將數(shù)列中的通項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差求和，使之正負(fù)相消，剩下首尾若干項(xiàng)(3)并項(xiàng)求和法：依次將數(shù)列中相鄰兩項(xiàng)并成一項(xiàng)，使之轉(zhuǎn)化為等差或等比數(shù)列或其他可求和的數(shù)列求和(4)倒序相加法：將一個(gè)數(shù)列倒過(guò)來(lái)排列(倒序)與原數(shù)列相加，叫倒序相加，主要用于倒序相加后對(duì)應(yīng)項(xiàng)和有公因式可提的數(shù)列求和，如等差數(shù)列求和公式就是用倒序相加法推導(dǎo)出來(lái)的(5)錯(cuò)位相減法：這是推導(dǎo)等比數(shù)列前n項(xiàng)和公式時(shí)所用的方法，這種方法主要用于求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和，其中an，bn分別為等差數(shù)列和等比數(shù)列1常見(jiàn)數(shù)列的前n項(xiàng)和(1)123n；(2)2462nn2n；(3)135(2n1)n2；(4)1222n2.2常見(jiàn)的裂項(xiàng)公式(1)若an各項(xiàng)都是不為0的等差數(shù)列，公差為d(d0)，則()；(2)()；(3). 熱身練習(xí)1數(shù)列1，3，5，7，(2n1)的前n項(xiàng)和是(B)A1n2()n1 B1n2()nC1n2()n1 D1n22n 1357(2n1)1357(2n1)()n21()n.2若數(shù)列an的通項(xiàng)公式是an(1)n(3n2)，則a1a2a10(A)A15 B12C12 D15 因?yàn)閍n(1)n(3n2)，則a1a2a10147102528(14)(710)(2528)3515.3求和Sn(). 因?yàn)?)，所以原式(1)()()()(1)()4sin21sin22sin23sin288sin289. 設(shè)Ssin21sin22sin288sin289，則Ssin289sin288sin22sin21上述兩式相加得2S189，所以S.5化簡(jiǎn)和式：1224n2n(n1)2n12. 令Sn12222323n2n，2Sn122223324(n1)2nn2n1，得：Sn2122232nn2n1n2n12n12n2n1.所以Sn(n1)2n12. 分組求和與并項(xiàng)求和(2016北京卷)已知an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，且b23，b39，a1b1，a14b4.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)設(shè)cnanbn，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和 (1)設(shè)等比數(shù)列bn的公比為q，則q3，所以b11，b4b3q27，所以bn3n1(nN*)設(shè)等差數(shù)列an的公差為d.因?yàn)閍1b11，a14b427，所以113d27，即d2.所以an2n1(nN*)(2)由(1)知an2n1，bn3n1，因此cnanbn2n13n1.從而數(shù)列cn的前n項(xiàng)和Sn13(2n1)133n1n2. (1)數(shù)列求和，要注意通項(xiàng)的分析，根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)靈活選擇方法本題通項(xiàng)cn可表示為anbn的形式，其中an是等差數(shù)列，bn是等差數(shù)列，故可采取拆項(xiàng)求和的方法(2)“拆項(xiàng)”和“并項(xiàng)”方式不同，但目的都是為了轉(zhuǎn)化，通過(guò)“拆”和“并”的手段，將不可直接求和的數(shù)列問(wèn)題轉(zhuǎn)化為可求和的數(shù)列來(lái)處理1若Sn122232(1)nn2(nN*)，求Sn. 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，Sn122232(n1)2n2(2212)(4232)n2(n1)237(2n1).當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，SnSn1ann2.綜上，可知Sn(1)n. 裂項(xiàng)求和法(經(jīng)典真題)已知等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和Sn滿足S30，S55.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和 (1)設(shè)an的公差為d，則Snna1.由已知可得解得故an的通項(xiàng)公式為an2n.(2)由(1)知()，從而數(shù)列的前n項(xiàng)和為(). (1)本題考查了等差數(shù)列的基本量及其關(guān)系，考查了裂項(xiàng)求和的基本方法(2)利用裂項(xiàng)求和法時(shí)，應(yīng)注意抵消后并不一定只剩下第一項(xiàng)和最后一項(xiàng)，要根據(jù)通項(xiàng)的特點(diǎn)來(lái)確定2(2017全國(guó)卷)設(shè)數(shù)列an滿足a13a2(2n1)an2n.(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和 (1)因?yàn)閍13a2(2n1)an2n，故當(dāng)n2時(shí)，a13a2(2n3)an12(n1)，兩式相減得(2n1)an2，所以an(n2)又由題設(shè)可得a12，滿足上式，所以an的通項(xiàng)公式為an.(2)記的前n項(xiàng)和為Sn.由(1)知，則Sn. 錯(cuò)位相減法求和(經(jīng)典真題)已知an是遞增的等差數(shù)列，a2，a4是方程x25x60的根(1)求an的通項(xiàng)公式；(2)求數(shù)列的前n項(xiàng)和 (1)方程x25x60的兩根為2,3，由題意得a22，a43.設(shè)數(shù)列an的公差為d，則a4a22d，故d，從而a1，所以an的通項(xiàng)公式為ann1.(2)設(shè)的前n項(xiàng)和為Sn，由(1)知，則Sn，Sn.兩式相減得Sn()(1)1.所以Sn2. (1)本題考查了等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及錯(cuò)位相減法求和的基本方法，考查運(yùn)算求解能力(2)一般地，若an是等差數(shù)列，bn是等比數(shù)列，則求數(shù)列anbn的前n項(xiàng)和可采用錯(cuò)位相減法3(2017山東卷)已知an是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，且a1a26，a1a2a3.(1)求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2)bn為各項(xiàng)非零的等差數(shù)列，其前n項(xiàng)和為Sn.已知S2n1bnbn1，求數(shù)列的前n項(xiàng)和Tn. (1)設(shè)an的公比為q，由題意知a1(1q)6，aqa1q2，又an0，由以上兩式聯(lián)立方程組解得a12，q2，所以an2n.(2)由題意知S2n1(2n1)bn1，又S2n1bnbn1，bn10，所以bn2n1.令cn，則cn.因此Tnc1c2cn，又Tn，兩式相減得Tn()1，所以Tn5.1數(shù)列求和的基本思想是“轉(zhuǎn)化”，其一是轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列(如等差、等比數(shù)列)的求和或其他可求和的數(shù)列；其二是通過(guò)消項(xiàng)，把較復(fù)雜的數(shù)列求和轉(zhuǎn)化為求不多的幾項(xiàng)的和到底如何進(jìn)行轉(zhuǎn)化，關(guān)鍵是在分析數(shù)列通項(xiàng)及其和式的構(gòu)成規(guī)律，根據(jù)其特點(diǎn)轉(zhuǎn)化為基本數(shù)列求和，或分解為基本數(shù)列求和2對(duì)于一般的數(shù)列求和無(wú)通法可循，能求和