平面向量公式及易錯點（經典）

平面向量公式設a=（x，y），b=(x，y)。 1、向量的加法 向量的加法滿足平行四邊形法則和三角形法則。 AB+BC=AC。 a+b=(x+x，y+y)。 a+0=0+a=a。 向量加法的運算律： 交換律：a+b=b+a； 結合律：(a+b)+c=a+(b+c)。 2、向量的減法 如果a、b是互為相反的向量，那么a=-b，b=-a，a+b=0. 0的反向量為0 AB-AC=CB. 即“共同起點，指向被減” a=(x,y) b=(x,y) 則 a-b=(x-x,y-y). 4、數(shù)乘向量 實數(shù)和向量a的乘積是一個向量，記作a，且a=a。 當0時，a與a同方向； 當0時，a與a反方向； 當=0時，a=0，方向任意。 當a=0時，對于任意實數(shù)，都有a=0。 注：按定義知，如果a=0，那么=0或a=0。 實數(shù)叫做向量a的系數(shù)，乘數(shù)向量a的幾何意義就是將表示向量a的有向線段伸長或壓縮。 當1時，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上伸長為原來的倍； 當1時，表示向量a的有向線段在原方向（0）或反方向（0）上縮短為原來的倍。 數(shù)與向量的乘法滿足下面的運算律 結合律：(a)b=(ab)=(ab)。 向量對于數(shù)的分配律（第一分配律）：(+)a=a+a. 數(shù)對于向量的分配律（第二分配律）：(a+b)=a+b. 數(shù)乘向量的消去律： 如果實數(shù)0且a=b，那么a=b。 如果a0且a=a，那么=。 3、向量的的數(shù)量積 定義：已知兩個非零向量a,b。作OA=a,OB=b,則角AOB稱作向量a和向量b的夾角，記作a,b并規(guī)定0a,b 定義：兩個向量的數(shù)量積（內積、點積）是一個數(shù)量，記作ab。若a、b不共線，則ab=|a|b|cosa，b；若a、b共線，則ab=+-ab。 向量的數(shù)量積的坐標表示：ab=xx+yy。 向量的數(shù)量積的運算律 ab=ba（交換律）； (a)b=(ab)(關于數(shù)乘法的結合律)； （a+b)c=ac+bc（分配律）； 向量的數(shù)量積的性質 aa=|a|的平方。 ab =ab=0。 |ab|a|b|。 向量的數(shù)量積與實數(shù)運算的主要不同點 1、向量的數(shù)量積不滿足結合律，即：(ab)ca(bc)；例如：(ab)2a2b2。 2、向量的數(shù)量積不滿足消去律，即：由 ab=ac (a0)，推不出 b=c。 3、|ab|a|b| 4、由 |a|=|b| ，推不出 a=b或a=-b。 4、向量的向量積 定義：兩個向量a和b的向量積（外積、叉積）是一個向量，記作ab。若a、b不共線，則ab的模是：ab=|a|b|sina，b；ab的方向是：垂直于a和b，且a、b和ab按這個次序構成右手系。若a、b共線，則ab=0。 向量的向量積性質： ab是以a和b為邊的平行四邊形面積。 aa=0。 ab=ab=0。 向量的向量積運算律 ab=-ba； （a）b=（ab）=a（b）； （a+b）c=ac+bc. 注：向量沒有除法，“向量AB/向量CD”是沒有意義的。 向量的三角形不等式 1、a-ba+ba+b； 當且僅當a、b反向時，左邊取等號； 當且僅當a、b同向時，右邊取等號。 2、a-ba-ba+b。 當且僅當a、b同向時，左邊取等號； 當且僅當a、b反向時，右邊取等號。 定比分點 定比分點公式（向量P1P=向量PP2） 設P1、P2是直線上的兩點，P是l上不同于P1、P2的任意一點。則存在一個實數(shù) ，使 向量P1P=向量PP2，叫做點P分有向線段P1P2所成的比。 若P1（x1,y1)，P2(x2,y2)，P(x,y)，則有 OP=(OP1+OP2)(1+)；（定比分點向量公式） x=(x1+x2)/(1+), y=(y1+y2)/(1+)。（定比分點坐標公式） 我們把上面的式子叫做有向線段P1P2的定比分點公式 三點共線定理 若OC=OA +OB ,且+=1 ,則A、B、C三點共線 三角形重心判斷式 在ABC中，若GA +GB +GC=O,則G為ABC的重心 編輯本段向量共線的重要條件 若b0，則a/b的重要條件是存在唯一實數(shù)，使a=b。 a/b的重要條件是 xy-xy=0。 零向量0平行于任何向量。 編輯本段向量垂直的充要條件 ab的充要條件是 ab=0。 ab的充要條件是 xx+yy=0。 零向量0垂直于任何向量.平面向量易錯點湖南周友良周芬在平面向量的復習中，首先要掌握其基本概念與運算如果不能正確理解向量的基礎知識，或在某些概念及公式的理解上存在模糊認識，就會造成一些表面看起來正確而實際上錯誤的判斷，使解題思路走入誤區(qū)，現(xiàn)例舉如下，望同學們引起注意一、對兩向量夾角的定義理解不清而致錯例在邊長為1的正三角形中，求的值錯解：分析：兩向量夾角的定義的前提是其起點要重合向量與，與，與的夾角通過平移后發(fā)現(xiàn)都不是60，而是120這是由于對兩向量夾角的定義理解不透造成的正解：注意：向量與的夾角為銳角的充要條件是且與不共線這里，與不共線不能忽略 二、對向量的數(shù)量積理解不透徹而致錯例2向量、都是非零向量，且向量與垂直，與垂直，求與的夾角錯解：由題意，得，將、展開并相減，得，故，將代入，得，則，設與夾角為，則，分析：上面解法表面上是正確的，但卻存在著一個理解上的錯誤，即由得到，錯把數(shù)的乘法的消去律運用在向量的數(shù)量積運算上由于向量的數(shù)量積不滿足消去律，所以即使，也不能隨便約去正解：設向量、的夾角為，由上面解法有，代入式、式均可得，則，又，三、混淆點的坐標與向量的坐標而致錯例3判斷的形狀：，錯解：，為鈍角三角形分析：把點的坐標誤認為向量的坐標，得出錯誤的結論事實上，由點的坐標可以確定有關向量的坐標，再通過計算向量的數(shù)量積，精確判斷出三角形