方差分析(analysisofvariance,ANOVA).ppt

第十一章 方差分析 (analysis of variance, ANOVA) 第一節(jié) 幾個基本問題,1. 單總體均值假設(shè)檢驗(yàn)和雙總體均值假設(shè)檢驗(yàn) 2. 多總體均值假設(shè)檢驗(yàn)-方差分析 在若干能夠互相比較的資料組中,把產(chǎn)生變異的原因(條件因素和隨機(jī)因素)加以明確區(qū)分的方法和技術(shù)。,一、相關(guān)術(shù)語 (1)試驗(yàn)指標(biāo): 把不同條件下所做的試驗(yàn)的結(jié)果, 用X表示; (2)試驗(yàn)因素: 影響試驗(yàn)結(jié)果的各種條件, 用A、B 、C表示; (3) 固定效應(yīng)模型:人為確定試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)?zāi)Ｐ? 隨機(jī)效應(yīng)模型:隨機(jī)確定試驗(yàn)條件下的試驗(yàn)?zāi)Ｐ汀?4) 試驗(yàn)水平或處理: 每一試驗(yàn)條件在所處的狀態(tài)，或?qū)υ囼?yàn)條件所給定的值。用A1,A2,Ar和B1,B2, Bs表示; (4)單因素方差分析、兩因素方差分析和多因素方差分析。,例11.1 國民計(jì)算機(jī)公司在國內(nèi)三個不同地區(qū)生產(chǎn)打印機(jī)，為了解每個地區(qū)生產(chǎn)分廠的員工的質(zhì)量意識,從各個生產(chǎn)廠中分別6名員工進(jìn)行質(zhì)量知識考核, 得到一組數(shù)據(jù)資料, 如下表:,試驗(yàn)條件(試驗(yàn)因素): 生產(chǎn)分廠,試驗(yàn)水平: 3,試驗(yàn)指標(biāo): 質(zhì)量考核得分,單因素試驗(yàn): 生產(chǎn)地點(diǎn),例11.2 一企業(yè)為推銷某種產(chǎn)品在五個不同地區(qū)建立了銷售點(diǎn), 統(tǒng)計(jì)的四個時期的銷售量資料如下表:,試驗(yàn)因素:地區(qū)和時期,試驗(yàn)水平: 地區(qū)水平5個,時期水平4個,試驗(yàn)指標(biāo): 銷售量,兩因素試驗(yàn): 地區(qū)和時期 45水平的方差分析,問:該企業(yè)在不同地區(qū)和不同時期的銷售量情況是否存在顯著的差異？,二、方差分析的假定條件 (1)各因素水平的觀察值Xij是隨機(jī)變量, 可分解為 Xij=j+ij , i =1,2,n, j=1,2,r 其中E(Xij)=j, n 為試驗(yàn)次數(shù), r為因素水平數(shù)。 (2) ijN(0, 2),且相互獨(dú)立; 在上述條件下，方差分析的數(shù)據(jù)模型為 XijN(i, 2),(1)在某一因素水平下的試驗(yàn)數(shù)據(jù),由于試驗(yàn)條件基本相同,因而數(shù)據(jù)間的差異可看成是隨機(jī)誤差引起的; (2)在不同因素水平下的試驗(yàn)數(shù)據(jù),由于試驗(yàn)條件的改變,其差異可看成是因試驗(yàn)條件不同而引起的; 每個因素j水平下的觀察值可當(dāng)作來自于因素j水平的總體的一個樣本, 因此應(yīng)該有一個均值j; 各因素影響是否顯著問題轉(zhuǎn)化為 檢驗(yàn)1=2=r 是否成立, 其中隨機(jī)誤差可分成 各因素水平下的數(shù)據(jù)的誤差- 組內(nèi)誤差(w2), (Sw2) , 不同條件影響的數(shù)據(jù)的誤差- 組間誤差(b2), (Sb2).,三、方差分析的基本思想,如果試驗(yàn)因素水平的變化對試驗(yàn)指標(biāo)的影響不大, 則Sw2和Sb2結(jié)應(yīng)該比較接近,其比值應(yīng)該趨近于1,反之, 則Sb2明顯大于Sw2,其比值應(yīng)該大于1. 四、方差分析的一般提法 設(shè)因素有r個水平，每一個水平的均值分別用 1, 2, , r 表示，要檢驗(yàn) r個水平的均值是否相等，可提出如下假設(shè)： H0: 1=2=r(水平變化對指標(biāo)沒有顯著影響) H1: 1,2,r不全相等(水平變化對指標(biāo)有顯著影響),10.2 單因素方差分析,分析中只涉及到一個因素, 對該因素在不同水平下的試驗(yàn)結(jié)果進(jìn)行分析, 判斷試驗(yàn)因素是否對試驗(yàn)結(jié)果產(chǎn)生顯著的影響。 一、等重復(fù)的單因素方差分析 1. 單因素等重復(fù)試驗(yàn)方差分析的一般性提法 假設(shè)試驗(yàn)中只有一個因素A,共做了A1,A2,Ar個水平的觀察,每個水平Ai滿足AiN(i,2),其中i,2 均是未知量。 為檢驗(yàn)H0: 1=2=r 是否成立, 對每個水平均做n次獨(dú)立試驗(yàn)，共得到nr個數(shù)據(jù)。,數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型為 Xij=j+ij, ij N(0,2), i=1,2,n j =1,2,r 其中ij相互獨(dú)立, j、2為各總體Aj 的未知參數(shù)。,表11.3 單因素等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),(2) 全體總體的樣本觀平均值為,2.總離差平方和的分解,(1) 設(shè)從第j個總體中隨機(jī)抽取容量為n 的樣本,則第j個總體的樣本均值為:,全體樣本的離差為,(3) 總離差平方和的分解,令,當(dāng)H0成立時,有,則可構(gòu)造檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量F :,表11.4 方差分析表,F1-,P值,F,例11.3 根據(jù)例11.1的數(shù)據(jù)檢驗(yàn)不同生產(chǎn)廠員工的質(zhì)量意識是否存在判別？,FF1- 或P , 拒絕原假設(shè)H0。即不同生產(chǎn)廠員工的質(zhì)量意識存在顯著判別。,解: 提出假設(shè) H0: 1=2=3 H1: 1,2, 3 不全相等。,方差分析表,例11.4 在電解銅工藝中，電流強(qiáng)度、電解液配方和濃度、設(shè)備水平等, 對電解銅的純度有很大影響。不了考察電流強(qiáng)度的作用效果,將其他因素固定不變, 分別在五種電流強(qiáng)度下各做5次試驗(yàn)，觀察一小時內(nèi)得到的電解銅的雜質(zhì)率如下表：,試在顯著性水平=0.05下對下列假設(shè)進(jìn)行檢驗(yàn) H0:電流強(qiáng)度對電解銅的雜質(zhì)率沒有影響,解: H0:1=2=3=4=5 H1: 1,2,3, 4, 5不全相等。 方差分析表如下:,FF1- 或P, 拒絕原假設(shè)H0。 即在顯著性水平=0.05下電流強(qiáng)度對電解銅的雜質(zhì)率有顯著影響。,2. 不等重復(fù)的單因素方差分析 假設(shè)試驗(yàn)中只有一個因素A,分成r個水平A1,A2, Ar 作觀察, 每個水平 Ai 滿足 AiN(i,2)。 為檢驗(yàn)H0: 1=2=r 是否成立, 對每個水平各做nj 次獨(dú)立試驗(yàn), n1, n2,nr不完全相等, 試進(jìn)行方差分析。,表11.3 單因素不等重復(fù)試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),不等重復(fù)因素方差分析表,例11.5 為了進(jìn)一步激勵銷售人員熱情, 努力提高產(chǎn)品的市場銷售量, SOOMTH公司的銷售主管部門正籌劃實(shí)行銷售人員新的分配方法, 擬定采用的做法是對新近招聘進(jìn)來的銷售人員實(shí)行傭金制, 對工作滿五年的員工采用傭金 和固定薪金,而對工作八年以上的銷售人員基本實(shí)行固定薪金方案。不知道這樣的分配方案辦法是否能達(dá)到促進(jìn)銷售的目的，為此考慮進(jìn)行跟蹤觀察一段時間，然后才正式商定。從各個分配方案的人員中按隨機(jī)原則確定一人，登記每個月的銷售量(單位:萬元)，具體數(shù)據(jù)資料如下表：,試在顯著性水平0.05的條件下檢驗(yàn)假設(shè): 不同分配方法對產(chǎn)品銷售沒有促進(jìn)作用。,解: H0:1=2=3 (不同分配方法對產(chǎn)品銷售沒有促進(jìn)作用) H1: 1,2,3不全相等 (不同分配方法對產(chǎn)品銷售具有促進(jìn)作用) 方差分析表如下:,FF1- 或P, 拒絕原假設(shè)H0。,11.3 兩因素方差分析,一、無重復(fù)的雙因素方差分析 1. 無重復(fù)兩個因素方差分析簡介 試驗(yàn)中考慮兩個因素A、B, 其中A因素有r個水平A1,A2,Ar, B因素有s個水平B1,B2,Bs. 對Ai與Bj 的每一種搭配只作一次試驗(yàn)(即無重復(fù)),試驗(yàn)結(jié)果用Xij表示, 各Xij相互獨(dú)立,且服從均值為ij,方差2的正態(tài)分布。 檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo): 因素A與因素B對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著的影響。,無重復(fù)兩因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型為 Xij=ij+ij, ij N(0,2), i=1,2,r , j =1,2,s,2. 無重復(fù)雙因素方差分析的檢驗(yàn)假設(shè),H0A: 因素A對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1A: 因素A對試驗(yàn)結(jié)果影響顯著; H0B: 因素B對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1B: 因素B對試驗(yàn)結(jié)果影響顯著;,3.總離差平方和的分解,全體樣本的離差為,總離差平方和的分解,分別記,總離差平方和的分解,子總體均值: i., .j, 總體均值: , 總體方差: 2.,3. 總體參數(shù)的估計(jì),其中,當(dāng)原假設(shè)成立時,相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,無重復(fù)雙因素方差分析表,例10.3 有四個品牌的彩電在五個地區(qū)銷售, 為了分析彩電的品牌和銷售地區(qū)對銷售量是否有影響, 對每個品牌在各地區(qū)的銷售量取得以下數(shù)據(jù)。試分析品牌和銷售地區(qū)是否對彩電的銷售量有顯著影響？(=0.05),解: 提出假設(shè),H0A: 地區(qū)對銷售量影響不顯著; H1A: 地區(qū)對銷售量影響顯著; H0B: 品牌對銷售量影響不顯著; H1B: 品牌對銷售量影響顯著;,由于FAF1-(3,12), FBF1-(4,12), 因此 , 品牌對銷售量有顯著影響，而不能認(rèn)為地區(qū)對銷售量有顯著影響。,二、等重復(fù)的雙因素方差分析 1. 等重復(fù)兩個因素方差分析簡介 試驗(yàn)中考慮兩個因素A、B, 其中A因素有r個水平A1,A2,Ar, B因素有s個水平B1,B2,Bs. 對Ai與Bj 的每一種搭配做l 次試驗(yàn)(即等重復(fù)),試驗(yàn)結(jié)果用Xijk表示, 各Xijk相互獨(dú)立,且服從均值為ij,方差2的正態(tài)分布,共有 rsl 個試驗(yàn)數(shù)據(jù)。 檢驗(yàn)?zāi)繕?biāo): 因素A與因素B及其搭配對試驗(yàn)結(jié)果是否有顯著的影響。,等重復(fù)兩因素試驗(yàn)數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu),數(shù)據(jù)結(jié)構(gòu)模型為 Xijk=ij+ijk, ijk N(0,2), i=1,2,r , j =1,2,s,k=1,2,l,2. 等重復(fù)雙因素方差分析的檢驗(yàn)假設(shè),H0A: 因素A對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1A: 因素A對試驗(yàn)結(jié)果影響顯著; H0B: 因素B對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1B: 因素B對試驗(yàn)結(jié)果影響顯著; H0AB: 因素A與B的搭配對試驗(yàn)結(jié)果影響不顯著; H1AB: 因素A與B的搭配對試驗(yàn)結(jié)果影響顯著;,3.總離差平方和的分解,全體樣本的離差為,總離差平方和的分解,當(dāng)H0成立時, 有,相應(yīng)的檢驗(yàn)統(tǒng)計(jì)量為,等重復(fù)雙因素方差分析表的結(jié)構(gòu),例11.7 城市道路交通管理部門為研究不同的路段和不同的時間段對行車時間的影響, 讓一名交通警察分別在兩個路段和高峰與非高峰期親自駕車進(jìn)行試驗(yàn), 通過試驗(yàn)取得共20個行車時間(單位: 分鐘)的數(shù)據(jù)。試分析路段、時間以及路段和時間的交互作用對行車時間的影響(=0.05).,時間和路段的等重復(fù)雙因素方差分析表,(1) FAF0.95=4.49, FBF0.95=4.49,應(yīng)該拒絕H0A,H0B, 即不同時間和路段的行車時間之間有顯著差異; (2) FABF0.95=4.49,應(yīng)該接受H0AB, 即時間和路段的 交互作用對行車時間沒有顯著影響。,P294例11.7 GMAT是商學(xué)院用來考核申請攻讀碩士學(xué)位學(xué)生學(xué)習(xí)能力的一種標(biāo)準(zhǔn)化考試, 錄取參考分?jǐn)?shù)一般在200800分之間,考分越高表明學(xué)生的學(xué)習(xí)能力越強(qiáng)。根據(jù)過去的經(jīng)驗(yàn), 參加GMAT考試的學(xué)生, 多數(shù)來自于商學(xué)院、工學(xué)院和社會技術(shù)學(xué)院。某考前輔導(dǎo)機(jī)構(gòu)為使自己的考前輔導(dǎo)更有針對性, 也是為了對考生負(fù)責(zé), 決定進(jìn)行一次試驗(yàn)。首先從商學(xué)院、工學(xué)院和社會技術(shù)學(xué)院各抽取兩名學(xué)生, 讓他們參加不同授課方式的培訓(xùn), 授課方式主要包括三種形式:3小時復(fù)習(xí)、1天課程強(qiáng)化和10周學(xué)習(xí)班?，F(xiàn)在的問題是來自于不同背景的學(xué)生，參加不同授課方式, 對他們最終得分是否有影響。經(jīng)過培訓(xùn)后的測試資料如下表。 試根據(jù)這組資料,在顯著性水平0.05下檢驗(yàn)假設(shè)假設(shè): H0 :原來的學(xué)習(xí)背景和培訓(xùn)方式對學(xué)生的考分沒有影響.,解: 兩因素三水平的試驗(yàn)問題, 每個因素的搭配各做了兩次觀察, 屬于等重復(fù)的方差分析問題。 提出假設(shè): H0A: