2020版高中數(shù)學(xué)第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入檢測A（含解析）新人教A版.docx

第三章數(shù)系的擴(kuò)充與復(fù)數(shù)的引入檢測(A)(時(shí)間:90分鐘滿分:120分)一、選擇題(本大題共10小題,每小題5分,共50分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的)1.若(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,其中a為實(shí)數(shù),則a=()A.-3B.-2C.2D.3解析:由已知(1+2i)(a+i)=a-2+(2a+1)i.(1+2i)(a+i)的實(shí)部與虛部相等,a-2=2a+1,解得a=-3,故選A.答案:A2.i是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)7-i3+i等于()A.2+iB.2-iC.-2+iD.-2-i解析:7-i3+i=(7-i)(3-i)(3+i)(3-i)=21-7i-3i+i29-i2=20-10i10=2-i.答案:B3.設(shè)i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)i3-2i=()A.-iB.-3iC.iD.3i答案:C4.若z=1+i(i是虛數(shù)單位),則2z+z2等于()A.-1-iB.-1+iC.1-iD.1+i解析:z=1+i,2z+z2=21+i+(1+i)2=(1-i)+(1+i)2=(1-i)+(1+2i-1)=1+i.故選D.答案:D5.已知a,bR,則“a=b”是“(a-b)+(a+b)i為純虛數(shù)”的()A.充要條件B.充分不必要條件C.必要不充分條件D.既不充分也不必要條件解析:(a-b)+(a+b)i為純虛數(shù)的充要條件是實(shí)數(shù)a,b滿足a-b=0,a+b0,即a=b,且a-b,也就是a=b0.結(jié)合題意知充分性不成立,必要性成立,故選C.答案:C6.若復(fù)數(shù)z=a2-1+(a+1)i(aR)是純虛數(shù),則復(fù)數(shù)12z-3a的虛部等于()A.425B.-425C.-325D.325解析:因?yàn)閺?fù)數(shù)z=a2-1+(a+1)i(aR)是純虛數(shù),所以a2-1=0,a+10,解得a=1.這時(shí)z=2i,于是復(fù)數(shù)12z-3a=14i-3=-325-425i,故其虛部等于-425.答案:B7.已知復(fù)數(shù)z=1-2i,則1z等于()A.55+255iB.55-255iC.15+25iD.15-25i解析:1z=11+2i=1-2i(1+2i)(1-2i)=1-2i1+22=15-25i.答案:D8.如圖,在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)z1,z2對應(yīng)的向量分別是OA,OB,則復(fù)數(shù)z1z2對應(yīng)的點(diǎn)位于 ()A.第一象限B.第二象限C.第三象限D(zhuǎn).第四象限解析:由題圖知復(fù)數(shù)z1=-2-i,z2=1+2i,則z1z2=-2-i1+2i=(-2-i)(1-2i)(1+2i)(1-2i)=-45+35i,其對應(yīng)的點(diǎn)位于第二象限.答案:B9.已知i為虛數(shù)單位,a為實(shí)數(shù),若復(fù)數(shù)z=(1-2i)(a+i)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)為M,則“a12”是“點(diǎn)M在第四象限”的()A.充分不必要條件B.必要不充分條件C.充要條件D.既不充分也不必要條件解析:z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)M的坐標(biāo)為(a+2,1-2a).所以點(diǎn)M在第四象限的充要條件是a+20,且1-2a12,故選C.答案:C10.設(shè)z1,z2是復(fù)數(shù),下列命題是假命題的是()A.若|z1-z2|=0,則z1=z2B.若|z1|=|z2|,則Z1z1=Z2z2C.若Z1=z2,則z1=Z2D.若z1-z20,則z1z2解析:令z1=a1+b1i(a1,b1R),z2=a2+b2i(a2,b2R),則z1=a1-b1i,z2=a2-b2i.|z1-z2|=|a1-a2+(b1-b2)i|=(a1-a2)2+(b1-b2)2=0,解得a1=a2,b1=b2,所以z1=z2,z1=z2,故A正確;若|z1|=|z2|,則a12+b12=a22+b22,即a12+b12=a22+b22,所以z1z1=a12+b12=a22+b22=z2z2,故B正確;z1=a1+b1i=z2=a2-b2i,可得a1=a2,b1=-b2,所以z1=a1-b1i=a2+b2i=z2,故C正確.故選D.答案:D二、填空題(本大題共5小題,每小題5分,共25分.把答案填在題中的橫線上)11.已知a,bR,若a-1+2ai=4+bi,則b=.解析:由題意,得a-1=4,2a=b,解得a=5,b=10.答案:1012.若復(fù)數(shù)z1=4+29i,z2=6+9i,其中i是虛數(shù)單位,則復(fù)數(shù)(z1-z2)i的實(shí)部為.解析:因?yàn)閦1-z2=(4+29i)-(6+9i)=-2+20i,所以(z1-z2)i=-20-2i,其實(shí)部為-20.答案:-2013.若復(fù)數(shù)z滿足z(1+i)=1-i(i是虛數(shù)單位),則其共軛復(fù)數(shù)z=_.解析:設(shè)z=a+bi(a,bR),則(a+bi)(1+i)=1-i,即a-b+(a+b)i=1-i,則a-b=1,a+b=-1,解得a=0,b=-1,所以z=-i.所以z=i.答案:i14.若復(fù)數(shù)z滿足zz+z+z=3,則復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡所圍成圖形的面積等于.解析:設(shè)z=x+yi(x,yR),則(x-yi)(x+yi)+(x+yi)+(x-yi)=3,即x2+y2+2x-3=0,因此(x+1)2+y2=4,故復(fù)數(shù)z在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是一個(gè)圓,其面積等于22=4.答案:415.對于任意兩個(gè)復(fù)數(shù)z1=x1+y1i,z2=x2+y2i(x1,x2,y1,y2R),定義運(yùn)算“”為z1z2=x1x2+y1y2.設(shè)非零復(fù)數(shù)1,2在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)分別為P1,P2,點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn),若12=0,則在P1OP2中,P1OP2的大小為.解析:設(shè)非零復(fù)數(shù)1=a1+b1i,2=a2+b2i(a1,a2,b1,b2R,且a12+b120,a22+b220),則得點(diǎn)P1(a1,b1),P2(a2,b2).由題意知P1,P2不為原點(diǎn),且由12=0,得a1a2+b1b2=0.由兩條直線垂直的充要條件,知直線OP1,OP2垂直.所以O(shè)P1OP2,即P1OP2=90.答案:90三、解答題(本大題共5小題,共45分.解答時(shí)應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟)16.(8分)已知復(fù)數(shù)z=(2+i)m2-6m1-i-2(1-i).求當(dāng)實(shí)數(shù)m取什么值時(shí),復(fù)數(shù)z是:(1)零;(2)虛數(shù);(3)純虛數(shù);(4)復(fù)平面內(nèi)第二、四象限平分線上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù)?分析:先把復(fù)數(shù)z化簡整理為a+bi(a,bR)的形式,再根據(jù)復(fù)數(shù)的分類及其幾何意義求解即可.解:因?yàn)閙R,所以復(fù)數(shù)z=(2+i)m2-3m(1+i)-2(1-i)=(2m2-3m-2)+(m2-3m+2)i.(1)當(dāng)2m2-3m-2=0,m2-3m+2=0,即m=2時(shí),z為零.(2)當(dāng)m2-3m+20,即m2,且m1時(shí),z為虛數(shù).(3)當(dāng)2m2-3m-2=0,m2-3m+20,即m=-12時(shí),z為純虛數(shù).(4)當(dāng)2m2-3m-2=-(m2-3m+2),即m=0或m=2時(shí),z是復(fù)平面內(nèi)第二、四象限平分線上的點(diǎn)對應(yīng)的復(fù)數(shù).17.(8分)已知復(fù)數(shù)z滿足|z|=1+3i-z,求(1+i)2(3+4i)22z的值.解:設(shè)z=a+bi(a,bR),|z|=1+3i-z,a2+b2-1-3i+a+bi=0,即a2+b2+a-1=0,b-3=0,解得a=-4,b=3.z=-4+3i,(1+i)2(3+4i)22z=2i(-7+24i)2(-4+3i)=24+7i4-3i=3+4i.18.(9分)設(shè)z1,z2互為共軛復(fù)數(shù),且(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,求z1,z2.解:設(shè)z1=x+yi(x,yR),則z2=x-yi.將z1,z2代入(z1+z2)2+5z1z2i=8+15i,得(x+yi)+(x-yi)2+5(x+yi)(x-yi)i=8+15i,即4x2+5(x2+y2)i=8+15i.利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,有4x2=8,5(x2+y2)=15,解得x=2,y=1或x=2,y=-1或x=-2,y=1或x=-2,y=-1.故所求復(fù)數(shù)z1,z2為z1=2+i,z2=2-i或z1=2-i,z2=2+i或z1=-2+i,z2=-2-i或z1=-2-i,z2=-2+i.19.(10分)復(fù)數(shù)z滿足|z+3-3i|=3,求|z|的最大值和最小值.解:|z+3-3i|=3,表示以-3+3i對應(yīng)的點(diǎn)P為圓心,以3為半徑的圓.如圖所示,則|OP|=|-3+3i|=12=23.顯然|z|max=|OA|=|OP|+3=33,|z|min=|OB|=|OP|-3=3.20.(10分)已知復(fù)數(shù)z1=cos +isin ,z2=cos -isin ,且z1+1z2=12+32i,求復(fù)數(shù)z1,z2的值.分析:解答本題的關(guān)鍵是利用復(fù)數(shù)相等的充要條件,將復(fù)數(shù)問題實(shí)數(shù)化,即從z1+1z2=12+32i出發(fā),建立關(guān)于,的正弦、余弦的方程組,再結(jié)合三角函數(shù)的知識(shí)求解.解:由z1+1z2=12+32i,得cos+isin+1cos-isin=12+32i,cos+isin+cos+isin=12+32i,即(cos+cos)+i(sin+sin)=12+32i.cos+cos=12,si