（江蘇專用）2020版高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)第四章三角函數(shù)4.2三角恒等變換課件.pptx

4.2 三角恒等變換,高考數(shù)學(xué) (江蘇省專用),A組 自主命題江蘇卷題組,五年高考,1.(2019江蘇,13,5分)已知 =- ,則sin 的值是 .,答案,解析 本題考查同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式、兩角和的正弦公式等知識,考查學(xué)生的運(yùn)算求 解能力,考查的核心素養(yǎng)為邏輯推理和數(shù)學(xué)運(yùn)算. =- , tan =- tan =- , 整理得3tan2-5tan -2=0, tan =- 或tan =2. sin = (sin 2+cos 2) = = . 當(dāng)tan =- 時(shí),sin = ;,當(dāng)tan =2時(shí),sin = . 所以答案為 .,一題多解 =- , =- . =- . =- . sin = .,2.(2017江蘇,5,5分)若tan = ,則tan = .,答案,解析 本題考查兩角和的正切公式. 因?yàn)閠an = , 所以tan =tan = = = .,3.(2015江蘇,8,5分)已知tan =-2,tan(+)= ,則tan 的值為 .,答案 3,解析 解法一:tan =tan(+)-= = =3. 解法二:tan(+)= = = ,解得tan =3.,4.(2018江蘇,16,14分)已知,為銳角,tan = ,cos(+)=- . (1)求cos 2的值; (2)求tan(-)的值.,解析 本題主要考查同角三角函數(shù)關(guān)系、兩角差及二倍角的三角函數(shù),考查運(yùn)算求解能力. (1)因?yàn)閠an = ,tan = ,所以sin = cos . 因?yàn)閟in2+cos2=1,所以cos2= , 所以cos 2=2cos2-1=- . (2)因?yàn)?為銳角,所以+(0,). 又因?yàn)閏os(+)=- , 所以sin(+)= = , 因此tan(+)=-2. 因?yàn)閠an = ,所以tan 2= =- . 因此tan(-)=tan2-(+) = =- .,方法提煉 應(yīng)用三角公式解決問題的三個(gè)變換角度: (1)變角:目的是溝通題設(shè)條件與結(jié)論中所涉及的角,其手法通常是“配湊”. (2)變名:通過變換函數(shù)名稱達(dá)到減少函數(shù)種類的目的,其手法通常有“切化弦”“升冪與降 冪”等. (3)變式:根據(jù)式子的結(jié)構(gòu)特征進(jìn)行變形,使其更貼近某個(gè)公式或某個(gè)期待的目標(biāo),其手法通常 有“常值代換”“逆用變形用公式”“通分約分”“分解與組合”“配方與平方”等.,B組 統(tǒng)一命題、省(區(qū)、市)卷題組,1.(2019課標(biāo)全國文改編,5,5分)函數(shù)f(x)=2sin x-sin 2x在0,2的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為 .,答案 3,解析 本題考查函數(shù)零點(diǎn)個(gè)數(shù)的判斷,以三角函數(shù)為背景同時(shí)考查三角函數(shù)式的求值與化簡, 以及學(xué)生的運(yùn)算求解能力和函數(shù)與方程思想的應(yīng)用,考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 由f(x)=2sin x-sin 2x=2sin x-2sin xcos x=2sin x(1-cos x)=0得sin x=0或cos x=1, x=k,kZ,又x0,2,x=0,2,即零點(diǎn)有3個(gè).,解題關(guān)鍵 遵循角度統(tǒng)一原則,利用二倍角的正弦公式展開計(jì)算是解決本題的關(guān)鍵.,2.(2019課標(biāo)全國理改編,10,5分)已知 ,2sin 2=cos 2+1,則sin = .,答案,解析 本題考查了三角恒等變換以及同角三角函數(shù)的基本關(guān)系;考查了學(xué)生對方程的思想方 法的綜合運(yùn)用,以及運(yùn)算求解能力;通過三角恒等變換考查了邏輯推理、數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng). 由二倍角公式可知4sin cos =2cos2. ,cos 0, 2sin =cos ,tan = ,sin = .,技巧點(diǎn)撥 常見與“1”有關(guān)的三角恒等變換:1+sin 2=(sin +cos )2;1-sin 2=(sin -cos )2;1+cos 2=2cos2;1-cos 2=2sin2; = ; = .,3.(2018課標(biāo)全國理改編,4,5分)若sin = ,則cos 2= .,答案,解析 由sin = ,得cos 2=1-2sin2=1-2 =1- = .,4.(2018課標(biāo)全國文,15,5分)已知tan = ,則tan = .,答案,解析 本題主要考查兩角差的正切公式. tan = = = , 解得tan = .,5.(2017山東文改編,4,5分)已知cos x= ,則cos 2x= .,答案,解析 本題考查二倍角的余弦公式. 因?yàn)閏os x= ,所以cos 2x=2cos2x-1=2 -1= .,6.(2017課標(biāo)全國文,15,5分)已知 ,tan =2,則cos = .,答案,解析 因?yàn)?,且tan = =2,所以sin =2cos ,又sin2+cos2=1,所以sin = ,cos = ,則cos =cos cos +sin sin = + = .,易錯(cuò)警示 在求三角函數(shù)值時(shí),常用到sin2+cos2=1和tan = ,同時(shí)要注意角的范圍,以確 定三角函數(shù)值的正負(fù).,7.(2016課標(biāo)全國理改編,9,5分)若cos = ,則sin 2= .,答案 -,解析 解法一:cos = , sin 2=cos =cos =2cos2 -1=2 -1=- . 解法二:cos = (cos +sin )= cos +sin = 1+sin 2= ,sin 2=- .,導(dǎo)師點(diǎn)睛 求解三角函數(shù)的給值求值問題,關(guān)鍵是把待求三角函數(shù)值的角用已知角表示: (1)已知角有兩個(gè)時(shí),待求三角函數(shù)值的角一般表示為已知角的和或差; (2)已知角有一個(gè)時(shí),待求三角函數(shù)值的角一般與已知角成“倍數(shù)關(guān)系”或“互補(bǔ)、互余關(guān) 系”.,8.(2016課標(biāo)全國改編,11,5分)函數(shù)f(x)=cos 2x+6cos 的最大值為 .,答案 5,解析 f(x)=1-2sin2x+6sin x=-2 + ,當(dāng)sin x=1時(shí), f(x)取得最大值5.,思路分析 利用二倍角余弦公式及誘導(dǎo)公式將f(x)=cos 2x+6cos 轉(zhuǎn)化為關(guān)于sin x的二次 函數(shù),通過配方法來求最值,注意不要忘記sin x-1,1.,9.(2016課標(biāo)全國改編,6,5分)若tan =- ,則cos 2= .,答案,解析 解法一:因?yàn)閠an =- ,所以cos 2=cos2-sin2= = = . 解法二:由tan =- ,可得sin = , 因而cos 2=1-2sin2= .,評析 本題考查化歸與轉(zhuǎn)化的能力.屬中檔題.,10.(2016四川理,11,5分)cos2 -sin2 = .,答案,解析 由二倍角公式易得cos2 -sin2 =cos = .,1.(2015四川,12,5分)sin 15+sin 75的值是 .,C組 教師專用題組,答案,解析 sin 15+sin 75=sin 15+cos 15= sin(15+45)= sin 60= .,2.(2015重慶改編,9,5分)若tan =2tan ,則 = .,答案 3,解析 = = = = , tan =2tan , = =3.,3.(2014課標(biāo)全國改編,8,5分)設(shè) , ,且tan = ,則2-= .,答案,解析 由tan = 得 = ,即sin cos =cos +sin cos ,所以sin(-)=cos ,又cos =sin ,所以sin(-)=sin ,又因?yàn)?, ,所以- - ,0 - , 因此-= -,所以2-= .,4.(2013課標(biāo)全國理,15,5分)設(shè)當(dāng)x=時(shí),函數(shù)f(x)=sin x-2cos x取得最大值,則cos = .,答案 -,解析 由輔助角公式得f(x)= = sin(x-),其中sin = ,cos = ,由x =時(shí), f(x)取得最大值得:sin(-)=1,-=2k+ ,kZ,即=+ +2k,kZ,cos =cos =-sin =- .,評析 本題考查了輔助角公式的應(yīng)用,準(zhǔn)確掌握輔助角的含義是解題關(guān)鍵.,5.(2014江蘇,15,14分)已知 ,sin = . (1)求sin 的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)因?yàn)?,sin = , 所以cos =- =- . 故sin =sin cos +cos sin = + =- . (2)由(1)知sin 2=2sin cos =2 =- , cos 2=1-2sin2=1-2 = , 所以cos =cos cos 2+sin sin 2 = + =- .,思路分析 (1)先根據(jù)的范圍及sin 的值求出cos ,然后用兩角和的正弦公式求解即可.(2)出 現(xiàn)二倍角,聯(lián)想到利用二倍角公式求解,三年模擬,A組 20172019年高考模擬考點(diǎn)基礎(chǔ)題組,1.(2019揚(yáng)州中學(xué)檢測,7)已知 , ,sin(+)=- ,cos =- ,則sin 的值等于 .,答案,解析 由00, cos(+)=- =- , sin = = . sin =sin(+)-=sin(+)cos -cos(+)sin = - = .,2.(2019南京六校聯(lián)合體聯(lián)考,9)已知tan =- , ,則sin 的值是 .,答案,解析 tan =- , , tan =tan = = , 故sin = ,cos = , sin = sin + cos = .,評析 本題考查了兩角和的正弦、正切公式,同角三角函數(shù)的基本關(guān)系式,考查了計(jì)算能力,屬 于基礎(chǔ)題.,3.(2019揚(yáng)州中學(xué)檢測,8)已知tan(+)=1,tan(-)=2,則 的值為 .,答案 1,解析 tan(+)=1,tan(-)=2, = = = = =1.,思路分析 分析條件與結(jié)論中角之間的關(guān)系發(fā)現(xiàn):2=(+)+(-),2=(+)-(-),這樣就可以 將 用條件中的角表示出來.,4.(2019海安期末,10)已知sin(2+)=psin ,tan(+)=ptan ,其中p為正的常數(shù),且p1,則p的值 為 .,答案 +1,解析 由sin(2+)=psin 得sin(+)=psin(+-), 即sin cos(+)+cos sin(+)=psin(+)cos -cos(+)sin , 即(p+1)sin cos(+)=(p-1)sin(+)cos , 即 tan =tan(+), 所以 =p,即p2-2p-1=0,解得p=1 . 又p為正的常數(shù),所以p= +1.,思路分析 三角函數(shù)的變換可以從角的關(guān)系入手找思路,第一個(gè)條件是2與的關(guān)系,第二個(gè) 條件是+與的關(guān)系,只需把前面的角用+與表示即可.于是就有了以下處理方法:由sin(2 +)=psin 得sin(+)=psin(+-),然后左右展開,弦化切,從而得到關(guān)于p的方程,解得常數(shù)p 的值.,5.(2019江都中學(xué)、華羅庚中學(xué)等13校聯(lián)考,9)已知cos =- , ,則sin = .,答案,解析 cos =- , (cos -sin )=- ,cos -sin =- , , , 則1-2sin cos = ,sin 2= , 又 2,cos 2=- . sin =sin 2cos -cos 2sin = - = .,6.(2019海安中學(xué)檢測,9)若cos xcos y+sin xsin y= ,sin 2x+sin 2y= ,則sin(x+y)= .,答案,解析 cos xcos y+sin xsin y= ,cos(x-y)= . 又sin 2x+sin 2y= , sin(x+y)+(x-y)+sin(x+y)-(x-y) =2sin(x+y)cos(x-y)= , sin(x+y)= .,7.(2019海安高級中學(xué)檢測,9)若cos =2cos ,則tan = .,答案,解析 cos =2cos , cos =2cos , 展開得cos cos +sin sin =2 , 所以有cos cos =3sin sin , tan = = = = = .,8.(2019姜堰中學(xué)、淮陰中學(xué)期中,15)已知a=(cos ,1),b=(1,sin ), ,若ab= . (1)求sin 的值; (2)求cos 的值.,解析 (1)由題意知ab=cos +sin = sin = ,所以sin = . (2分) 因?yàn)?,所以+ , 所以cos =- =- . (5分) 所以sin =sin = sin - cos = - = . (7分) (2)由(1)知sin = ,cos =- , 所以cos =1-2sin2 = , sin =2sin cos =- , (10分),所以cos =cos = cos + sin =- . (14分),評分細(xì)則 第(1)問角的范圍不寫扣1分,結(jié)果多解扣1分;第(2)問其他方法酌情給分,整個(gè)解答 過程無公式的展示扣2分,但不重復(fù)扣分.,一、填空題(每小題5分,共35分),B組 20172019年高考模擬專題綜合題組 (時(shí)間：25分鐘 分值：50分),1.(2019無錫期中,9)已知sin = ,則sin +sin 的值為 .,答案,解析 sin =sin =sin = , sin =sin =cos =cos =1-2sin2 =1-2 = , 所以sin +sin = .,2.(2017蘇錫常鎮(zhèn)四市高三教學(xué)情況調(diào)研(一),12)已知sin =3sin ,則tan = .,答案 2 -4,解析 由sin =3sin ,可得 sin =3sin , 整理可得sin cos =-2cos sin , 所以tan =-2tan =-2tan =-2 =2 -4.,解后反思 本題的求解關(guān)鍵是將sin =3sin 變形為sin =3sin .,3.(2019揚(yáng)州期末,12)設(shè)a,b是非零實(shí)數(shù),且滿足 =tan ,則 = .,答案,解析 tan =tan = = , tan = = ,所以 = .,4.(2017揚(yáng)州期末,10)已知 , + =2 ,則sin = .,答案,解析 由 + =2 得sin +cos =2 sin cos ,兩邊平方得1+sin 2=2sin22, 解得sin 2=- 或sin 2=1, ,2(,2), -1sin 20,sin 2=- , sin -cos = = ,sin +cos =- , cos 2=(cos +sin )(cos -sin )= , 則sin =sin 2cos +cos 2sin =- + = .,5.(2019海安高級中學(xué)期中,14)在ABC中,已知sin A=13sin Bsin C,cos A=13cos Bcos C,則tan A +tan B+tan C的值為 .,答案 196,解析 cos A,cos B,cos C均不為0,sin A=13sin Bsin C,cos A=13cos Bcos C, tan A=tan Btan C, cos A=13cos Bcos C,且cos A=-cos(B+C)=sin Bsin C-cos Bcos C, sin Bsin C=14cos Bcos C,tan Btan C=14, tan B+tan C=tan(B+C)(1-tan Btan C) =-tan A(1-tan Btan C)=-tan A+tan Atan Btan C, tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C=196.,名師點(diǎn)睛 三角形中的常見結(jié)論是tan A+tan B+tan C=tan Atan Btan C,于是本題就把條件與 正切聯(lián)系去尋找解題思路.,6.(2019南京、鹽城二模,14)在ABC中,若sin C=2cos Acos B,則cos2A+cos2B的最大值為 .,答案,解析 因?yàn)閟in C=2cos Acos B,所以sin(A+B)=2cos Acos B, 化簡,得tan A+tan B=2. cos2A+cos2B= + = + = = = . 易知(tan Atan B)2-2tan Atan B+50, 令6-2tan Atan B=t(t0), cos2A+cos2B= = (當(dāng)且僅當(dāng)t=4 時(shí)取等).,7.(2019泰州期末,14)在ABC中,已知sin Asin Bsin(C-)=sin2C,其中tan = ,若 + + 為定值,則實(shí)數(shù)= .,答案,解析 由tan = ,得sin = ,cos = , 由sin Asin Bsin(C-)=sin2C,得 sin Asin B =sin2C, 即 = . + + = + + = + = + = + = - + , 設(shè) + + =k(k為定值),即2 sin C- cos C+10cos C=5ksin C, 即 (2sin C-cos