數(shù)學(xué)課例研究報告

精品文檔數(shù)學(xué)課例研究報告一研究目標(biāo) 基本目標(biāo)：通過研究體現(xiàn)數(shù)學(xué)課堂教學(xué)中學(xué)生學(xué)生主體作用的激發(fā)、學(xué)生參與作用的操作、學(xué)生能力培養(yǎng)方面的發(fā)揮、教學(xué)策略多樣化、教學(xué)模式系列化的課堂教學(xué)實例及理論成果。 衍生目標(biāo)：在研究中，通過課例實踐，讓學(xué)生在“做中學(xué)”，激發(fā)和增強(qiáng)對學(xué)習(xí)數(shù)學(xué)的興趣，體驗自主學(xué)習(xí)與探究思考的過程，發(fā)現(xiàn)和掌握數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)方法，建構(gòu)自己的數(shù)學(xué)知識體系，發(fā)展自己的數(shù)學(xué)思維，感悟數(shù)學(xué)之美，提高數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)水平。二、課題研究的內(nèi)容與方法 （一）研究的內(nèi)容 課例研究，是最基礎(chǔ)的教學(xué)實踐研究，從課例中，我們可以觀察到的教與學(xué)實踐過程要素是： 關(guān)于教師的教： A、教學(xué)設(shè)計的適切性（包涵信息技術(shù)應(yīng)用的適切性） B、教學(xué)過程的生成性（教學(xué)機(jī)智） C、教學(xué)評價的有效性 關(guān)于學(xué)生的學(xué)： A、學(xué)習(xí)的準(zhǔn)備 B、學(xué)習(xí)的注意程度 C、數(shù)學(xué)思維的深度、廣度、靈活性 D、知識鞏固能力 關(guān)于信息技術(shù)與數(shù)學(xué)課程整合的過程： 構(gòu)建有效教學(xué)過程，促進(jìn)學(xué)生意義建構(gòu) 因此，我們的研究內(nèi)容主要包括對課例的系統(tǒng)分析、總結(jié)和課例要素的觀察分析。 （二）研究的方法 本課題主要采用行動研究法。以信息技術(shù)與初中數(shù)學(xué)課程整合的研究為載體，把探索研究結(jié)果與運用研究成果結(jié)合起來，邊設(shè)計邊實施，邊實施邊修正，邊修正邊反思，促進(jìn)課題研究的深入。重點初中各年級的教材內(nèi)容為主，選擇一些突破口。選擇若干個點分析其理論基礎(chǔ)、內(nèi)容特點、技術(shù)特征、學(xué)生的學(xué)習(xí)方式、學(xué)習(xí)結(jié)果及學(xué)生的個性發(fā)展等進(jìn)行研究。 課例研究的流程包括五個步驟： （1）課前分析（教學(xué)內(nèi)容分析、學(xué)生分析）； （2）教學(xué)設(shè)計； （3）課堂教學(xué)觀察； （4）教學(xué)反思； （5）教學(xué)過程建模。 三、研究的過程 第一階段：行動序曲 初步的個人備課和準(zhǔn)備階段： 1研討課例研究目標(biāo)的構(gòu)建與課例內(nèi)容的確立，形成課例的初步研究方案。 2制定和申報課例研究方案，成立課例研究組。 第二階段：實踐探索： 1開展課例研究工作，確定有關(guān)研究課的內(nèi)容，注重集體研討。 2搜集、整理內(nèi)容，以便有計劃、有系統(tǒng)地進(jìn)行研究。 3有實驗教師講課，研究小組聽課、評課，形成一定的教學(xué)模式。 第三：課后反思第四階段：全面總結(jié)課題研究工作，撰寫集體備課筆記四：課例研修報告：課例名稱：1、一元二次方程教師：王偉課時數(shù)：一課時課型：新授課一元二次方程分解因式法一、學(xué)生知識狀況分析學(xué)生的知識技能基礎(chǔ)：在前幾冊學(xué)生已經(jīng)學(xué)習(xí)了一元一次方程、二元一次方程組、可化為一元一次方程的分式方程等，初步感受了方程的模型作用，并積累了解一元一次方程的方法，熟練掌握了解一元一次方程的步驟；在八年級學(xué)生學(xué)習(xí)了分解因式，掌握了提公因式法及運用公式法（平方差、完全平方）熟練的分解因式；在本章前幾節(jié)課中又學(xué)習(xí)了配方法及公式法解一元二次方程，掌握了這兩種方法的解題思路及步驟。學(xué)生活動經(jīng)驗基礎(chǔ)：在相關(guān)知識的學(xué)習(xí)過程中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了用配方法和公式法求一元二次方程的解的過程，并在現(xiàn)實情景中加以應(yīng)用，切實提高了應(yīng)用意識和能力，也感受到了解一元二次方程的必要性和作用；同時在以前的數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)中，學(xué)生已經(jīng)經(jīng)歷了很多合作學(xué)習(xí)的過程，具有了一定的合作學(xué)習(xí)的經(jīng)驗，具備了一定的合作與交流的能力。二、教學(xué)任務(wù)分析教科書基于用分解因式法解一元二次方程是解決特殊問題的一種簡便、特殊的方法的基礎(chǔ)之上，提出了本課的具體學(xué)習(xí)任務(wù)：能根據(jù)已有的分解因式知識解決形如“x(xa)=0”和“x2a2=0”的特殊一元二次方程。但這僅僅是這堂課具體的教學(xué)目標(biāo)，或者說是一個近期目標(biāo)。數(shù)學(xué)教學(xué)由一系列相互聯(lián)系而又漸次遞進(jìn)的課堂組成，因而具體的課堂教學(xué)也應(yīng)滿足于遠(yuǎn)期目標(biāo)，或者說，數(shù)學(xué)教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)，應(yīng)該與具體的課堂教學(xué)任務(wù)產(chǎn)生實質(zhì)性聯(lián)系。本課分解因式法內(nèi)容從屬于“方程與不等式”這一數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)領(lǐng)域，因而務(wù)必服務(wù)于方程教學(xué)的遠(yuǎn)期目標(biāo)：“經(jīng)歷由具體問題抽象出一元二次方程的過程，體會方程是刻畫現(xiàn)實世界中數(shù)量關(guān)系的一個有效數(shù)學(xué)模型，并在解一元二次方程的過程中體會轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思想，進(jìn)一步培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的意識和能力?！蓖瑫r也應(yīng)力圖在學(xué)習(xí)中逐步達(dá)成學(xué)生的有關(guān)情感態(tài)度目標(biāo)。為此，本節(jié)課的教學(xué)目標(biāo)是：教學(xué)目標(biāo)1、能根據(jù)具體一元二次方程的特征，靈活選擇方程的解法，體會解決問題方法的多樣性；2、會用分解因式法（提公因式法、公式法）解決某些簡單的數(shù)字系數(shù)的一元二次方程；3、通過分解因式法的學(xué)習(xí)，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力，并體會轉(zhuǎn)化的思想。4、通過小組合作交流，嘗試在解方程過程中，多角度地思考問題，尋求從不同角度解決問題的方法，并初步學(xué)會不同方法之間的差異，學(xué)會在與他人的交流中獲益。三、教學(xué)過程分析本節(jié)課設(shè)計了七個教學(xué)環(huán)節(jié)：第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧；第二環(huán)節(jié)：情境引入，探究新知；第三環(huán)節(jié)：例題解析；第四環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)；第五環(huán)節(jié)：拓展延伸；第六環(huán)節(jié)：感悟與收獲；第七環(huán)節(jié)：布置作業(yè)。第一環(huán)節(jié)：復(fù)習(xí)回顧內(nèi)容：1、用配方法解一元二次方程的關(guān)鍵是將方程轉(zhuǎn)化為(x+m)2=n（n0）的形式。2、用公式法解一元二次方程應(yīng)先將方程化為一般形式。3、選擇合適的方法解下列方程：x2-6x=73x2+8x-3=0目的：以問題串的形式引導(dǎo)學(xué)生思考，回憶兩種解一元二次方程的方法，有利于學(xué)生銜接前后知識，形成清晰的知識脈絡(luò)，為學(xué)生后面的學(xué)習(xí)作好鋪墊。實際效果：第一問題學(xué)生先動筆寫在練習(xí)本上，有個別同學(xué)少了條件“n0”。第二問題由于較簡單，學(xué)生很快回答出來。第三問題由學(xué)生獨立完成，通過練習(xí)學(xué)生復(fù)習(xí)了配方法及公式法，并能靈活應(yīng)用，提高了學(xué)生自信心。第二環(huán)節(jié)：情景引入、探究新知內(nèi)容：1、師：有一道題難住了我，想請同學(xué)們幫助一下，行不行？生：齊答行。師：出示問題，一個數(shù)的平方與這個數(shù)的3倍有可能相等嗎？如果能，這個數(shù)是幾？你是怎樣求出來的？說明：學(xué)生獨自完成，教師巡視指導(dǎo)，選擇不同答案準(zhǔn)備展示。附：學(xué)生A：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程x2=3xx2-3x=0a=1,b= -3,c=0b2-4ac=9x1=0,x2=3這個數(shù)是0或3。學(xué)生B：:設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程x2=3xx2-3x=0x2-3x+(3/2)2=(3/2)2(x-3/2)2=9/4x-3/2=3/2或x-3/2= -3/2x1=3,x2=0這個數(shù)是0或3。學(xué)生C：:設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程x2=3xx2-3x=0即x(x-3)=0x=0或x-3=0x1=0,x2=3這個數(shù)是0或3。學(xué)生D：設(shè)這個數(shù)為x，根據(jù)題意，可列方程x2=3x兩邊同時約去x,得x=3這個數(shù)是3。2、師：同學(xué)們在下面用了多種方法解決此問題，觀察以上四個同學(xué)的做法是否存在問題?你認(rèn)為那種方法更合適?為什么?說明：小組內(nèi)交流,中心發(fā)言人回答,及時讓學(xué)生補充不同的思路，關(guān)注每一個學(xué)生的參與情況。超越小組：我們認(rèn)為D小組的做法不正確,因為要兩邊同時約去X,必須確保X不等于0,但題目中沒有說明。雖然我們組沒有人用C同學(xué)的做法,但我們一致認(rèn)為C同學(xué)的做法最好,這樣做簡單又準(zhǔn)確.學(xué)生E：補充一點，剛才講X須確保不等于0，而此題恰好X=0,所以不能約去，否則丟根.師：這兩位同學(xué)的回答條理清楚并且敘述嚴(yán)密，相信下面同學(xué)的回答會一個比一個棒!(及時評價鼓勵，激發(fā)學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情)3、師：現(xiàn)在請C同學(xué)為大家說說他的想法好不好?生：齊答好學(xué)生C：X(X-3)=0所以X1=0或X2=3因為我想30=0,0(-3)=0，00=0反過來，如果ab=0,那么a=0或b=0,所以a與b至少有一個等于04、師：好，這時我們可這樣表示：如果ab=0,那么a=0或b=0這就是說：當(dāng)一個一元二次方程降為兩個一元一次方程時，這兩個一元一次方程中用的是“或”，而不用“且”。所以由x(x-3)=0得到x=0和x-3=0時，中間應(yīng)寫上“或”字。我們再來看c同學(xué)解方程x2=3x的方法，他是把方程的一邊變?yōu)?，而另一邊可以分解成兩個因式的乘積，然后利用ab=0,則a=0或b=0,把一元二次方程變成一元一次方程，從而求出方程的解。我們把這種解一元二次方程的方法稱為分解因式法，即當(dāng)一元二次方程的一邊為0，而另一邊易于分解成兩個一次因式的乘積時，我門就采用分解因式法來解一元二次方程。目的：通過獨立思考,小組協(xié)作交流,力求使學(xué)生根據(jù)方程的具體特征,靈活選取適當(dāng)?shù)慕夥?在操作活動過程中,培養(yǎng)學(xué)生積極的情感,態(tài)度，提高學(xué)生自主學(xué)習(xí)和思考的能力,讓學(xué)生盡可能自己探索新知,教師要關(guān)注每一位學(xué)生的發(fā)展.問題3和4進(jìn)一步點明了分解因式的理論根據(jù)及實質(zhì),教師總結(jié)了本節(jié)課的重點.實際效果：對于問題1學(xué)生能根據(jù)自己的理解選擇一定的方法解決，速度比較快。第2問讓學(xué)生合作解決，學(xué)生在交流中產(chǎn)生了不同的看法，經(jīng)過討論探究進(jìn)一步了解了分解因式法解一元二次方程是一種更特殊、簡單的方法。C同學(xué)對于第3問的回答從特殊到一般講解透徹，學(xué)生語言學(xué)生更容易理解。問題4的解決很自然地探究了新知分解因式法.并且也點明了運用分解因式法解一元二次方程的關(guān)鍵：將方程左邊化為因式乘積,右邊化為0，這為后面的解題做了鋪墊。說明：如果ab=0，那么a=0或b=0，“或”是“二者中至少有一個成立”的意思，包括兩種情況，二者同時成立；二者有一個成立?！扒摇笔恰岸咄瑫r成立”的意思。第三環(huán)節(jié)例題解析內(nèi)容：解下列方程(1)、5X2=4X(仿照引例學(xué)生自行解決)(2)、X-2=X(X-2)(師生共同解決)(3)、(X+1)2-25=0(師生共同解決)學(xué)生G：解方程（1）時，先把它化為一般形式，然后再分解因式求解。解：（1）原方程可變形為5X2-4X=0X(5X-4)=0X=0或5X-4=0X1=0,X2=4/5學(xué)生H：解方程（2）時因為方程的左、右兩邊都有(x-2),所以我把(x-2)看作整體，然后移項，再分解因式求解。解：(2)原方程可變形為（X-2）-X(X-2)=0(X-2)(1-X)=0X-2=0或1-X=0X1=2，X2=1學(xué)生K：老師，解方程（2）時能否將原方程展開后再求解師：能呀，只不過這樣的話會復(fù)雜一些，不如把(x-2)當(dāng)作整體簡便。學(xué)生M：方程(x+1)2-25=0的右邊是0，左邊(x+1)2-25可以把(x+1)看做整體，這樣左邊就是一個平方差，利用平方差公式即可分解因式。解：(3)原方程可變形為(X+1)+5(X+1)-5=0(X+6)(X-4)=0X+6=0或X-4=0X1=-6，X2=4師：好這個題實際上我們在前幾節(jié)課時解過，當(dāng)時我們用的是開平方法，現(xiàn)在用的是因式分解法。由此可知：一個一元二次方程的解法可能有多種，我們在選用時，以簡便為主。問題：1、用這種方法解一元二次方程的思路是什么?步驟是什么? (小組合作交流)2、對于以上三道題你是否還有其他方法來解?(課下交流完成)目的：例題講解中,第一題學(xué)生獨自完成,考察了學(xué)生對引例的掌握情況,便于及時反饋。第2、3題體現(xiàn)了師生互動共同合作，進(jìn)一步規(guī)范解題步驟,最后提出兩個問題。問題1進(jìn)一步鞏固分解因式法定義及解題步驟，而問題2體現(xiàn)了解題的多樣化。實際效果：對于例題中(1)學(xué)生做得很迅速,正確率比較高；(2)、(3)題經(jīng)過探究合作最終順利的完成,所以學(xué)生情緒高漲,討論熱烈,思維活躍,正是因為這，問題1、2學(xué)生們有見地的結(jié)論不斷涌現(xiàn)，敘述越來越嚴(yán)謹(jǐn)。說明：在課本的基礎(chǔ)上例題又補充了一題,目的是練習(xí)使用公式法分解因式。第四環(huán)節(jié)：鞏固練習(xí)內(nèi)容：1、解下列方程：（1）(X+2)(X-4)=0(2 )X2-4=0(3 )4X(2X+1)=3(2X+1)2、一個數(shù)平方的兩倍等于這個數(shù)的7倍，求這個數(shù)？目的：華羅庚說過“學(xué)數(shù)學(xué)而不練,猶如入寶山而空返”該練習(xí)對本節(jié)知識進(jìn)行鞏固，使學(xué)生更好地理解所學(xué)知識并靈活運用。實際效果：此處留給學(xué)生充分的時間與空間進(jìn)行獨立練習(xí)，通過練習(xí)基本能用分解因式法解一元二次方程，收到了較好的效果。第五環(huán)節(jié) 拓展與延伸師：想不想挑戰(zhàn)自我？學(xué)生：想內(nèi)容：1、一個小球以15m/s的初速度豎直向上彈出，它在空中的速度h(m)，與時間t(s)滿足關(guān)系：h=15t-5t2小球何時能落回地面？2、一元二次方程（m-1）x2+3mx+(m+4)(m-1)=0有一個根為0，求m的值說明：a學(xué)生交流合作后教師適當(dāng)引導(dǎo)提出兩個問提，1、第一題中小球落回地面是什么意思？2、第二題中一個根為0有什么用？b這組補充題目稍有難度,為了激發(fā)優(yōu)秀生的學(xué)習(xí)熱情。目的：學(xué)生在對分解因式法直接感知的基礎(chǔ)上，在頭腦加工組合，呈現(xiàn)感知過的特點，使認(rèn)識從感知不段發(fā)展，上升為一種可以把握的能力。同時學(xué)生通過獨立思考及小組交流，尋找解決問題的方法，獲得數(shù)學(xué)活動的經(jīng)驗，調(diào)動了學(xué)生學(xué)習(xí)的積極性，也培養(yǎng)了團(tuán)結(jié)協(xié)作的精神，使學(xué)生在學(xué)習(xí)中獲得快樂，在學(xué)習(xí)中感受數(shù)學(xué)的實際應(yīng)用價值。實際效果：對于問題1，個別學(xué)生不理解問題導(dǎo)致沒列出一元二次方程；問題2由于在配方法時接觸過此類型的題目，因此掌握比較不錯。說明：小組內(nèi)交流時，教師關(guān)注小組中每個學(xué)生的參與積極性及小組內(nèi)的合作交流情況。第六環(huán)節(jié)感悟與收獲內(nèi)容：師生互相交流總結(jié)1、分解因式法解一元二次方程的基本思路和關(guān)鍵。2、在應(yīng)用分解因式法時應(yīng)注意的問題。3、分解因式法體現(xiàn)了怎樣的數(shù)學(xué)思想?目的：鼓勵學(xué)生結(jié)合本節(jié)課的內(nèi)容談自己的收獲與感想。實際效果：學(xué)生暢所欲言，在民主的氛圍中培養(yǎng)學(xué)生歸納概括能力和語言表達(dá)能力；同時引導(dǎo)學(xué)生反思探究過程，幫助學(xué)生肯定自我、欣賞他人。第七環(huán)節(jié)布置作業(yè)1、課本習(xí)題2.71、2(2) (3)2、預(yù)習(xí)提綱：如何列方程解應(yīng)用題四、教學(xué)反思1.評價的目的是為了全面了解學(xué)生的學(xué)習(xí)狀況,激勵學(xué)生的學(xué)習(xí)熱情,促進(jìn)學(xué)生的全面發(fā)展.所以本節(jié)課在評價時注重關(guān)注學(xué)生能否積極主動的思考,能否清楚的表達(dá)自己的觀點,及時發(fā)現(xiàn)學(xué)生的閃光點,給予積極肯定地表揚和鼓勵增強(qiáng)他們對數(shù)學(xué)活動的興趣和應(yīng)用數(shù)學(xué)知識解決問題的意識,幫助學(xué)生形成積極主動的求知態(tài)度2.這節(jié)課的“拓展延伸”環(huán)節(jié)讓學(xué)生切實體會到方程在實際生活中的應(yīng)用.拓展了學(xué)生的思路,培養(yǎng)了學(xué)生的綜合運用知識解決問題的能力.3.本節(jié)中應(yīng)著眼干學(xué)生能力的發(fā)展,因此其中所設(shè)計的解題策略、思路方法在今后的教學(xué)中應(yīng)注意進(jìn)一步滲透,才能更好地達(dá)到提高學(xué)生數(shù)學(xué)能力的目標(biāo).2課例名稱：求解中考壓軸題的四種常見解題方法教師：黃振課時：一課時課型：復(fù)習(xí)課中考數(shù)學(xué)壓軸題教學(xué)目標(biāo)：掌握中考壓軸題的四種常見解題方法1.1壓軸題的概念中考數(shù)學(xué)試卷中的試題排列順序通常都遵循著“從簡單到復(fù)雜、從易到難”的原則。中考試題中按題型分類的排列順序一般是：一、選擇題（客觀題，有些地方將其稱作“第卷”）；二、填空題（形式簡單的主觀題）；三、解答題（二、三也合稱第卷）。在這三類題型中，思維難度較大的題目一般都設(shè)置在各類題型的最后一題，被稱作壓軸題。中考壓軸題按其題型的區(qū)別及在整個試卷中的位置情況又可分為兩類：選擇題和填空題型的壓軸題，常被稱作小壓軸題；解答題型壓軸題（也即整個試卷的最后一題），叫大壓軸題，通常所說的壓軸題一般都指大壓軸題。1.2壓軸題的特點中考數(shù)學(xué)壓軸題的設(shè)計，大都有以下共同特點：知識點多、覆蓋面廣、條件隱蔽、關(guān)系復(fù)雜、思路難覓、解法靈活?？v觀近幾年全國各地數(shù)學(xué)中考壓軸題，呈現(xiàn)了百花齊放的局面，就題型而言，除傳統(tǒng)的函數(shù)綜合題外，還有操作題、開放題、圖表信息題、動態(tài)幾何題、新定義題型、探索題型等，令人賞心悅目。中考壓軸題主要是為考察考生綜合運用知識的能力而設(shè)計的題目，其思維難度高，綜合性強(qiáng)，往往都具有較強(qiáng)的選拔功能，是為了有效地區(qū)分?jǐn)?shù)學(xué)學(xué)科中尖子學(xué)生與一般學(xué)生的試題。在課程改革不斷向前推進(jìn)的形勢下，全國各地近年涌現(xiàn)出了大量的精彩的壓軸題。豐富的、公平的背景、精巧優(yōu)美的結(jié)構(gòu)，綜合體現(xiàn)出多種解答數(shù)學(xué)問題的思想方法，貼近生活、關(guān)注熱點、常中見拙、拙中藏巧、一題多問、層層遞進(jìn)，為不同層次的學(xué)生展示自己的才華創(chuàng)設(shè)了平臺。1.3壓軸題應(yīng)對策略針對近年全國各地中考數(shù)學(xué)壓軸題的特點，在中考復(fù)習(xí)階段，我們要狠抓基礎(chǔ)知識的落實，因為基礎(chǔ)知識是“不變量”，而所謂的考試“熱點”只是與題目的形式有關(guān)。要有效地解答中考壓軸題，關(guān)鍵是要以不變應(yīng)萬變。加大綜合題的訓(xùn)練力度，加強(qiáng)解題方法的訓(xùn)練，加強(qiáng)數(shù)學(xué)思想方法的滲透，注重“基本模式”的積累與變化，調(diào)適學(xué)生心理，增強(qiáng)學(xué)生信心。學(xué)生在壓軸題上的困難可能來自多方面的原因，如：基礎(chǔ)知識和基本技能的欠缺、解題經(jīng)驗的缺失或訓(xùn)練程度不夠、自信心不足等。學(xué)生在壓軸題上的具體困難則可能是：“不知從何處下手，不知向何方前進(jìn)”。在求解中考數(shù)學(xué)壓軸題時，重視一些數(shù)學(xué)思想方法的靈活應(yīng)用，是解好壓軸題的重要工具，也是保證壓軸題能求解得“對而全、全而美”的重要前提。2求解中考壓軸題的常見思想方法2.1分類討論思想代表性題型：動態(tài)幾何問題，存在性討論問題。例1（2009年重慶）已知：如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，矩形OABC的邊OA在軸的正半軸上，OC在軸的正半軸上，OA=2，OC=3。過原點O作AOC的平分線交AB于點D，連接DC，過點D作DEDC，交OA于點E。（1）求過點E、D、C的拋物線的解析式；（2）將EDC繞點D按順時針方向旋轉(zhuǎn)后，角的一邊與軸的正半軸交于點F，另一邊與線段OC交于點G。如果DF與（1）中的拋物線交于另一點M，點M的橫坐標(biāo)為，那么EF=2GO是否成立？若成立，請給予證明；若不成立，請說明理由； （3）對于（2）中的點G，在位于第一象限內(nèi)的該拋物線上是否存在點Q，使得直線GQ與AB的交點P與點C、G構(gòu)成的PCG是等腰三角形？若存在，請求出點Q的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由。解析：（1）由ADEBCD，及已知條件求得E、D、C坐標(biāo)，進(jìn)而求出過點E、D、C的拋物線的解析式： （2）EF=2GO成立點M在該拋物線上，且它的橫坐標(biāo)為，點M的縱坐標(biāo)為設(shè)DM的解析式為將點D、M的坐標(biāo)分別代入，得 解得 DM的解析式為 F（0，3） EF=2過點D作DKOC于點K，則DA=DKDAFDKG，KG=AF=1，GO=1 EF=2GO（3）點P在AB上，G（1，0），C（3，0），則設(shè)P（t，2）PG=（t1）+2，PC=（3t）+2，GC=2 若PG=PC，則（t1）+2=（3t）+2解得t=2P（2，2），此時點Q與點P重合Q（2，2）若PG=GC，則（t1）+2=2，解得t=1，P（1，2） 此時GPx軸GP與該拋物線在第一象限內(nèi)的交點Q的橫坐標(biāo)為1，點Q的縱坐標(biāo)為Q（1，）若PC=GC，則（3t）+2=2，解得t=3，P（3，2）此時PC=GC=2，P與D重合過點Q作QHx軸于點H，則QH=GH，設(shè)QH=h，Q（h+1，h） 解得（舍去）Q（，）綜上所述，存在三個滿足條件的點Q，即Q（2，2）或Q（1，）或Q（，）思想方法解讀：這道壓軸題是將二次函數(shù)與平面幾何相結(jié)合的函數(shù)綜合題。第問結(jié)合“形”的特征，求出點D、E、C的坐標(biāo)，再設(shè)二次函數(shù)一般式，用待定系數(shù)法可求得二次函數(shù)解析式。體現(xiàn)了解函數(shù)問題時常用到的“數(shù)形結(jié)合”思想。第由D、M所在直線與y軸相交哦于F，可求得F點坐標(biāo)，并求出EF的長度，并由旋轉(zhuǎn)過程中的角度相等關(guān)系，設(shè)法構(gòu)造全等求出OG。得證結(jié)論。解決第問的關(guān)系是將EF、OG轉(zhuǎn)化為可求的已知量，得到其長度關(guān)系。體現(xiàn)出數(shù)學(xué)解題中的“轉(zhuǎn)化思想”。本題的第問討論存在性問題。要使PCG是等腰三角形，其中G、C為定點，P為不確定的點，因此應(yīng)考慮GC為腰、GC為底，并考慮G、C、P分別為頂點等多種情況進(jìn)行分類討論。假設(shè)存在P點，結(jié)合P點的位置，通過設(shè)置P點坐標(biāo)參數(shù)，用所設(shè)參數(shù)表示出相應(yīng)三角形邊長，由等腰三角形的性質(zhì)，構(gòu)造相應(yīng)方程，可求出P點坐標(biāo)。第問不僅體現(xiàn)了分類討論思想，還考察了用方程建模的能力。2.2轉(zhuǎn)化思想代表性題型：面積問題，二函數(shù)圖象與坐標(biāo)軸的交點距離、二次函數(shù)與一次函數(shù)交點距離、反比例函數(shù)與一次函數(shù)交點距離問題（與一元二次方程根的系數(shù)關(guān)系轉(zhuǎn)化）。例2已知：RtABC的斜邊長為5，斜邊上的高為2，將這個直角三角形放置在平面直角坐標(biāo)系中，使其斜邊AB與x軸重合（其中OA0，n0），連接DP交BC于點E。當(dāng)BDE是等腰三角形時，直接寫出此時點E的坐標(biāo)。（3分）又連接CD、CP（如圖3），CDP是否有最大面積？若有，求出CDP的最大面積和此時點P的坐標(biāo)；若沒有，請說明理由。（3分）解析：由RtAOCRtCOB易知，CO2=OA.OB=OA(AB-OA),可求OA=1,OB=4A(-1,0) B(4,0) C(0,2) 可設(shè)解析式為y=a(x+1)(x-4)，將點C(0,2)代入，可求a= 為所求； 提示：ED=EB時，過E作BD垂線，可得直線BC的解析式為，設(shè)，利用勾股定理和點在直線BC上，可得兩個方程組 分別可求和。方法1：連OP。如圖4。 P（m，n）在拋物線上P（m， ） SCPO=S四邊形ODPCSOCD=SPOC+ SPDOSOCD=OC|xp|+OD|yp|OCOD =2m+2（）22 =m+m=（m）+當(dāng)m=時，SCPO面積最大，此時P（，）方法2：過D作X軸的垂線，交PC于M，如圖5。 易求PC的解析式為，且，故當(dāng)時，思想方法解讀：本題是一道二次函數(shù)與平面幾何綜合的壓軸題第問由三角形形似（或射影定理）求出相關(guān)線段的長，寫出相應(yīng)點的坐標(biāo)。然后靈活設(shè)置二次函數(shù)式，用待定系數(shù)法求出二次函數(shù)式。第問，雖然題目要求是直接寫出點E的坐標(biāo)。但點E的坐標(biāo)必須通過計算得到。而在計算的過程中，要考慮符合要求的等腰三角形的多樣性，需分類討論頂點、腰的對應(yīng)情況。第問是本題的難點。題中的面積表示，要結(jié)合P（m，n）在拋物線上，充分利用點的坐標(biāo)的幾何意義，或是利用平面幾何的性質(zhì)，有效表示BCD的面積，將不能直接表示的三角形面積轉(zhuǎn)化為能用已知線段和P點坐標(biāo)表示的面積。方法1是將四邊形分割成兩個三角形POC、POD，方法2，是通過過D點作垂線，直接將BDC轉(zhuǎn)化為PDM、CDM。23極端值思想代表性題型：動態(tài)幾何問題，動態(tài)函數(shù)問題。例3已知為線段上的動點，點在射線上，且滿足（如圖1所示）（1）當(dāng)，且點與點重合時（如圖2所示），求線段的長；（2）在圖1中，聯(lián)結(jié)當(dāng)，且點在線段上時，設(shè)點之間的距離為，其中表示的面積，表示的面積，求關(guān)于的函數(shù)解析式，并寫出函數(shù)定義域； （3）當(dāng)，且點在線段的延長線上時（如圖3所示），求的大小。解析：（1）AD=2，且Q點與B點重合。由=1，PB（Q）=PC，PQC為等腰直角三角形，BC=3，PC=Bccos45=3=。（2）如圖：作PEBC，PFAQ。BQ=x，則AQ=2x。 由BPFBDP，=，又BF=PE=，PF=PE SAPQ=（2x）PF，SPBC=3PE y=（2x） P點與D點重合時，此時CQ取最大值。過D作DHBC。 CD=，此時=，=，PQ=，BQ=ABAQ=函數(shù)的定義域：0x(3)方法1：PQ/PC=AD/AB,假設(shè)PQ不垂直PC，則可以作一條直線PQ垂直于PC，與AB交于Q點，則：B，Q，P，C四點共圓。由圓周角定理，以及相似三角形的性質(zhì)得：PQ/PC=AD/AB,又由于PQ/PC=AD/AB 所以，點Q與點Q重合，所以角QPC=90方法2：如圖3，作PMBC，PNAB。由=，即=PNQPMC MPCNPN，QPC=MPCQPBNPQQPM90思想方法解讀：這是一道動態(tài)幾何的變式綜合題。第問，線段的比值不變，Q在特殊點（與B點重合），由AD=AB=2，故PQ（B）=PC，PQC為等腰直角三角形。利用幾何性質(zhì)可求出PC。第問中利用三角形相似比，結(jié)合已知條件中的固定線段比，找出PAQ、PBC高之間的比例關(guān)系，是求函數(shù)式的關(guān)鍵。而第二問中寫出函數(shù)的定義域則是難點。需分析出P點運動的極端情況，當(dāng)P與D重合時，BQ取得最大值。集合圖形的幾何性質(zhì)及已知條件中的固定線段比，求出此時BQ的長度，既為BQ的最大值。體現(xiàn)極端值思想。中可以用四點共圓通過歸一法求證，也可以通過構(gòu)造相似形求證。24數(shù)形結(jié)合思想（用好幾何性質(zhì)）代表性題型：函數(shù)與幾何綜合題。例4在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y=a（x+1）+c（a0）與x軸交于A、B兩點(點A在點B的左側(cè))，與y軸交于點C，其頂點為M,若直線MC的函數(shù)表達(dá)式為,與x軸的交點為N，且COSBCO。 求次拋物線的函數(shù)表達(dá)式。 (2)在此拋物線上是否存在異于點C的點P，使以N、P、C為頂點的三角形是以NC為一條直角邊的直角三角形？若存在，求出點P的坐標(biāo)：若不存在，請說明理由；(3)過點A作x軸的垂線，交直線MC于點Q.若將拋物線沿其對稱軸上下平移，使拋物線與線段NQ總有公共點，則拋物線向上最多可平移多少個單位長度?向下最多可平移多少個單位長度?解析：由直線y=kx3與y軸交點坐標(biāo)為C（0，3）拋物線y=a（x+1）+c（a0）開口向上，過C（0，3）A、B在y軸兩側(cè)，B在y軸右側(cè)。如圖。 RtAOC中，OC=3，cosBCO= BC=，OB=1B（1，0） 又B（1，0），C（0，3）在y=a（x+1）+c上拋物線解析式y(tǒng)=x+2x3由拋物線頂點M（1，4），直線y=kx3過M，直線解析式y(tǒng)=x3N（3，0） NOC為等腰直角三角形假設(shè)拋物線上存在點P使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。PC為另一條直角邊。PCCN，而A與N關(guān)于y軸對稱在拋物線上。存在P1（3，0）使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形PN為另一條直角邊。PNCN，則PNO=45設(shè)PN交y軸于點D，則D（0，3）PN所在直線y=x+3由 解得 存在P2（，），P3（，）使NPC為以NC為一條直角邊的直角三角形。滿足條件的點有P1（3，0），P2（，），P3（，）若拋物線沿對稱軸向上平移。設(shè)向上平移b個單位（b0）。此時拋物線的解析式為：y=x+2x3+b拋物線與線段NQ總有交點，即由拋物線解析式、直線MC所在直線解析式組成的方程組有解。由 消除y得x+x+b=0，=14b0， 0b 向上最多可平移個單位若向下平移b個單位（b0），設(shè)y=x+2x3b由y=x+3，可求得Q（3，6），N（3，0）對于拋物線y=x+2x3b當(dāng)