工程數(shù)學第一章習題解答煤炭出版社.pdf

第一章 復數(shù)與復變函數(shù) 1求下列復數(shù)的實部與虛部、共軛復數(shù)、模與輻角。 （1） i 23 1 + ； （2） i1 3i i 1 ； （3）( )() 2i 5i24i3+ ； （4） i4ii 218 + 解 （1） ()() ()2i3 13 1 2i32i3 2i3 2i3 1 = + = + 所以 13 3 = +i23 1 Re， 13 2 2i3 1 Im= + , ()2i3 13 1 2i3 1 += + ， 13 13 13 3 13 3 2i3 1 22 = + = + ， k2 i23 1 arg i23 1 Arg+ + = + ?, 2, 1, 0,2 3 2 arctan=+=kk （2） () () () ()i, 2 5 2 3 3i3 2 1 i i)(1i1 i13i ii i i1 3i i 1 =+= + + = 所以 , 2 3 i1 3i i 1 Re= 2 5 i1 3i i 1 Im= 2 5 i 2 3 i1 3i i 1 += ， 2 34 2 5 2 3 i1 3i i 1 22 = + = ， k2 i1 i3 i 1 arg i1 i3 i 1 Arg+ = ?,=,+=2102 3 5 arctankk. （3） ()()()()() ( )() ()() 4 2i7i26 2i2i 2i5i24i3 2i 5i24i3 = + = + 13i 2 7 2 26i7 = = 所以 ()() 2 7 2i 5i24i3 Re= + ， ()() 13 2i 5i24i3 Im= + ， 1 ()() l3i 2 7 2i 5i24i3 += + ()() 2 295 2i 5i24i3 = + ， ()()()() kk2 7 26 arctan22 i2 i52i43 arg i2 i52i43 Arg+=+ + = + ()?, 2, 1, 0,12 7 26 arctan=+=kk. （4）( )( )()()ii141iii4ii4ii 104 10 2 4 2218 +=+=+ 3i1i4i1=+= 所以 3i4iiIm1,i4iiRe 218218 =+=+ 3i1i4ii 218 += +，10| i4ii | 218 =+ ()()()2k3i1arg2ki4iiargi4iiArg 218218 +=+=+ =.2,1,0,k2karctan3?=+ 2如果等式 () i1 3i5 3yi1x += + + 成立，試求實數(shù) x, y 為何值。 解：由于 ()()() ()()3i53i5 3i53yi1x 3i5 3yi1x + + = + + ()()()() 34 3y51x3i3y31x5+ = ()i1185y3xi43y5x 34 1 +=+= 比較等式兩端的實、虛部，得 =+ =+ 341853 34435 yx yx 或 =+ =+ 5253 3835 yx yx 解得11, 1=yx。 3證明虛單位i有這樣的性質：-i=i-1=i。 4證明 2 1)| 11 6)Re( )(),Im( )() 22i zzz zzzzz = z=+= ? 2 證明：可設izxy=+，然后代入逐項驗證。 5對任何，是否成立？如果是，就給出證明。如果不是，對那些 值才成立？ z 2 |zz= 2 2 2 z 解：設，則要使成立有 izxy=+ 2 |zz= 222 2ixyxyx+=+ y0，即。由此可得為實數(shù)。 2222, xyxyxy=+=z 6當時，求的最大值，其中 n 為正整數(shù)，a 為復數(shù)。 1|z|azn+ 解：由于|a|a|z|az nn +1，且當 n a ez arg i =時，有 ()|a|ea|a|eea|z aa n n a n +=+=+ =+|11 argiargi arg i 故為所求。 |1a+ 8將下列復數(shù)化成三角表示式和指數(shù)表示式。 （1）i； （2）-1； （3）1+3i； （4）()0isincos1+； （5） i1 2i + ； （6）( ) ()3 2 isin3cos3 isin5cos5 + 解： （1） 2 i e 2 isin 2 cosi=+=； （2） i eisincos1=+= （3） 3 i 2e 3 isin 3 cos2 2 3 i 2 1 23i1= += +=+； （4） 2 1 cosisin2sini2sincos2sinsinicos 222222 +=+=+ )(0,e 2 2sin 2 isin 2 cos 2 2sin 2 i = + = ； （5）() = + 2 1 i 2 1 2i1i12i 2 1 i1 2i = 4 isin 4 cos2 = 4 i e2 （6） () () () () 2 23 i5i3i10i9i19 3 cos5isin5 e/ ee/ee cos3isin3 + = = 3 isin19cos19+= 9將下列坐標變換公式寫成復數(shù)的形式： 1）平移公式： 11 11 , ; xxa yyb =+ =+ 2）旋轉公式： 11 11 cossin, sincos . xxy yxy = =+ 解：設 11 iAab=+， 11 izxy1=+，izxy=+，則有 1）；2） 1 zzA=+ i 11 (cosisin)ezzz =+=。 10一個復數(shù)乘以-i，它的模與輻角有何改變？ 解： 設復數(shù)， 則 z ezz Argi | =() =| = 2 Argi 2 i Argi z z |z|eeeziz， 可知復數(shù)的模不變， 輻角減少 2 。 11證明：，并說明其幾何意義。 222 121212 |2(|zzzzzz+=+ 2 | ) 證明： 22 121212121212 1122 22 12 |()()()( 2() 2(| ) zzzzzzzzzzzz z zz z zz +=+ =+ =+ ) 其幾何意義平行四邊形的對角線長度平方的和等于四個邊的平方的和。 12證明下列各題： 1）任何有理分式函數(shù) ( ) ( ) ( ) P z R z Q z =可以化為iXY+的形式，其中X與Y為具 有實系數(shù)的x與的有理分式函數(shù)； y 2）如果( )R z為 1）中的有理分式函數(shù)，但具有實系數(shù)，那么( )iR zXY=； 3）如果復數(shù)iab+是實系數(shù)方程 1 011 0 nn nn a za zaza +=? 的根，那么也是它的根。 iab 證 1） ( )( ) ( )Re( ( ) ( )Im( ( ) ( ) ( ) ( )( , )( , )( ) ( ) P zP z Q zP z Q zP z Q z R z Q zq x yq x yQ z Q z =+; 2） ( )( )( ) ( )ii ( )( )( ) P zP zP z R zX Q zQ zQ z YXY=+= ; 3）事實上 ( ) 1 011 nn nn P za za zaza =+? 4 ( )zPzazazaa n n =+=? 2 210 13如果，試證明 it ez = （1）nt z z n n cos2 1 =+； （2）nt z z n n sini2 1 = 解 （1）nteeee z z n n sin2 1 intintintint =+=+=+ （2）nteeee z z n n sini2 1 intintintint = 14求下列各式的值 （1）( 5 i3 )； （2）()6i1+； （3） 6 1； （4）() 3 1 i1 解 （1）()() 6/5i 5 6/i 5 5 322 2 i 2 3 2i3 = =ee 55 32 cosisin16 316i 66 =+= （2）() () 6 6 6 i /43 i/2 1i 1 i22e8e8i 22 +=+= 。 （3） () () 1 i 21 /6i+2 6 6 1ee,0,1,2,3,4,5 kk k + =?？芍?6 1的 6 個值分別是 , 2 i 2 3 e /6i += ie /2i = ， 2 i 2 3 ei /65i += 2 i 2 3 e /6i7 = ，i 23i = / e 2 i 2 3 411i = / e。 （4）()()0,1,2=,= 2 2 1 2=1 3 + 3 1 / 3 1 3 1 kee k 2 4 i 64i 22 i i。 可知的 3 個值分別是 () 1/3 1 i , 12 7 sini 12 7 cos22 , 12 sini 12 cos22 612/7i6 62/i6 += = e e += 4 5 sini 4 5 cos22 64/5i6 e。 15若(1 i)(1 i) nn +=，試求n的值。 5 解 由題意即 i/4i/4i/4i/4 ( 2e)( 2e) ,ee nnnn =，sin， 0 4 n = 故4 ,0, 1, 2,nk k= ?。 16 （1）求方程的所有根 08 3 =+z （2）求微分方程08 =+ yy的一般解。 解 （1）() () 1 i1 2 3 3 82 k ze + = =，k=0,1,2。 即原方程有如下三個解： ,3i1+ , 2 3i1。 （2）原方程的特征方程有根08 3 =+i31 1 +=，2 2 =，i 31 3 =，故其 一般形式為 ()xCxCeeCy xx 3sin3cos 32 2 1 += 17在平面上任意選一點，然后在復平面上畫出下列各點的位置： z 1 11 , ,z zz z zz 。 o x y z -z z z 1 z 1 z 1 z 18已知兩點與（或已知三點）問下列各點位于何處？ 1 z 2 z 321 ,zzz （1）() 21 2 1 zzz+= （2）() 21 1zzz+=（其中為實數(shù)） ； （3）() 321 3 1 zzzz+=。 解 令1,2,3i=+=,kyxz kkk ，則 （1） 2 i 2 2121 yyxx z + + + =，知點 z 位于與連線的中點。 1 z 2 z 6 （2）()() 122122 iyyyxxxz+=， 知點位于與連線上定比 1 z 2 z |z|z |z|z 12 1 = 處。 （3）()( 321321 3 i 3 1 yyyxxxz+=)，由幾何知識知點 z 位于的重心 處。 321 zzz 19設三點適合條件： 123 ,z zz0 321 =+zzz, 1 321 =zzz。證明z1，z2，z3是內接于單位圓1=z的一個正三角形的頂 點。 證 由于1 321 =zzz，知的三個頂點均在單位圓上。 321 zzz 因為 2 33 1zz= 3 z ()() 212322112121 zzzzzzzzzzzz+=+= 2121 2zzzz+= 所以，1 2121 =+zzzz，又 )()( 122122112121 2 21 zzzzzzzzzzzzzz+= ()32 2121 =+=zzzz 故 3 21 =zz， 同理3 3231 =zzzz， 知 321 zzz是內接于單位圓1=z 的一個正三角形。 20如果復數(shù)z1，z2，z3滿足等式 32 31 13 12 zz zz zz zz = 證明 321312 zzzzzz=，并說明這些等式的幾何意義。 由等式得 )arg()arg()arg()arg( 32311312 zzzzzzzz= 即 231312 zzzzzz=。又因為 () () () () 12 32 3213 3112 13 12 zz zz zzzz zzzz zz zz = + + = 又可得 123312 zzzzzz=，所以知 321 zzz是正三角形，從而 321312 zzzzzz=。 7 21指出下列各題中點 z 的存在范圍，并作圖。 （1）|5； （2）|z= 61| i 2|+z； （3）Re(2)1z += ； （4）( )3iRe=z； （5）| i| i|=+zz； （6）4| 1|3|=+zz （7）Im( )2z ； （8）1 2 3 z z ； （9）0argzz41 z； （3）1Re0z y O x 不包含實軸的上半平面，是無界的、開的單連通區(qū)域。 （2）41 z x y 5 O 1 圓的外部（不包括圓周） ，是無界的、開的多連通區(qū)域。 16) 1( 22 =+yz （3）01Re ，當 zf即點),(zUz時， 則。 30設 0)(zf 0 lim( ) zz f zA=，證明 ( )f z在的某一去心鄰域內是有界的。 證 取 0 z 1=，則存在0，當 0 0 |zz時，|( )| 1f zA。故在 0 0 |zz內，|( )| |( )| |( )| 1 |f zf zAAf zAAA=+ +。 31設 1 ( ),(0) 2i zz f zz zz = 試證當時0z ( )f z的極限不存在。 證 2 x 2 12 ( )