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或庖丁巧解牛知識巧學1.函數(shù)y=Asinx，A0且A1與y=sinx的圖象間的關(guān)系一般地，函數(shù)y=Asinx(A0且A1)的圖象，可以看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的縱坐標變?yōu)樵瓉淼腁倍（橫坐標不變）而得到.此外，不難得出，函數(shù)y=Asinx(A0且A1)的值域-A,A，最大值是A，最小值是-A.它是一個周期函數(shù)，周期T=2.它也是一個奇函數(shù)，圖象關(guān)于原點對稱.在每一個閉區(qū)間+2k,+2k(kZ)上都是增函數(shù)，其值從-A增大到A；在每一個閉區(qū)間+2k,+2k(kZ)上都是減函數(shù)，其值從A減小到-A.所以，每一個閉區(qū)間+2k, +2k(kZ)是它的增區(qū)間，每一個閉區(qū)間+2k, +2k(kZ)是它的減區(qū)間.若A0,可先作y=-Asinx的圖象，再以x軸為對稱軸翻折即可.要點提示 當A0，且A1時，y=Asinx與y=sinx有共同的單調(diào)區(qū)間，且單調(diào)性相同.知識拓展 函數(shù)y=Af(x)(A0,A1)的圖象，可以看作是把y=f(x)圖象上點的縱坐標伸長（A1）或縮短（0A1）到原來的A倍（橫坐標不變）而得到的.2.函數(shù)y=sinx與y=sinx的圖象間的關(guān)系函數(shù)y=sinx,xR(0且1)的圖象，可看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點的橫坐標變?yōu)樵瓉淼谋叮v坐標不變）而得到.此外，我們還不難得出，函數(shù)y=sinx,xR(0且1)具有以下性質(zhì)：（1）值域為-1，1；（2）它是一個周期函數(shù)，周期；（3）它是一個奇函數(shù),圖象關(guān)于原點對稱；（4）在每一個閉區(qū)間,(kZ)上都是增函數(shù)，其值從-1增大到1；在每一個閉區(qū)間,(kZ)上都是減函數(shù)，其值從1減小到-1.所以，每一個閉區(qū)間,(kZ)是它的增區(qū)間，每一個閉區(qū)間,(kZ)是它的減區(qū)間.若0,則可用誘導公式將符號“提出”再作圖.知識拓展 函數(shù)y=f(x)(0,1)的圖象，可以看作是把y=f(x)圖象上點的橫坐標縮短（1）或伸長（01）到原來的倍（縱坐標不變）而得到的.3.函數(shù)y=sin(x+)和y=sinx的圖象的關(guān)系在前面內(nèi)容的學習過程中我們研究過函數(shù)y=2x和函數(shù)y=2x+a圖象之間的關(guān)系，我們知道函數(shù)y=2x+a的圖象是由函數(shù)y=2x左右平移得到的.那么函數(shù)y=sin(x+)和y=sinx的圖象的關(guān)系又是怎樣的呢？下面就以實例來說明.畫出函數(shù)y=sin()(xR)；y=sin()(xR)的簡圖.畫上面兩個函數(shù)的簡圖同畫正弦函數(shù)的簡圖相同，可以利用五點作圖.其步驟如下：列表：02x-sin()010-1002xsin()010-10作圖：圖491由圖491不難發(fā)現(xiàn)，函數(shù)y=sin(x+)的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象向左平移了個單位得到的；函數(shù)y=sin(x-)的圖象是由函數(shù)y=sinx的圖象向右平移了個單位得到的.要點提示 無論“x+”多么復雜，都把它視為一個整體，令它依次取弦函數(shù)上的五個關(guān)鍵值，解方程得出相應的x的值，再描點作圖.由此我們可以得到一般結(jié)論如下：一般地，函數(shù)y=sin(x+)的圖象可以看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有點向左（0）或向右（0）平移|個單位長度而得到的.知識拓展 將函數(shù)y=f(x)的圖象沿x軸方向平移|a|個單位后得到函數(shù)y=f(x+a)的圖象，當a0時向左平移，當a0時向右平移.記憶要訣 對于左右的平移，可簡記為“加左減右”,即當自變量x加上一個正數(shù)向左平移，減去一個正數(shù)向右平移.誤區(qū)警示 函數(shù)圖象的左右平移變換的是自變量x，而不單純是加上或減去平移的單位，當自變量前有系數(shù)時要特別注意這一點.比如將y=sin2x的圖象向左平移，所得圖象的函數(shù)解析式應是y=sin2(x+)，而不是y=sin(2x+).4.函數(shù)y=sinx和y=sin(x+)(0,0)的圖象的關(guān)系一般地，函數(shù)y=sin(x+)(0,0)的圖象，可以看作將函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向左（0時）或向右（0時）平移| |個單位而得到的.知識拓展 函數(shù)y=f(ax+b)(a0,a1)的圖象是由函數(shù)y=f(ax)的圖象向左（b0）或向右（b0）平移|個單位得到的.5.函數(shù)y=sinx和y=Asin(x+)(A0,0)的圖象的關(guān)系一般地，函數(shù)y=Asin（x+）（其中A0，0），xR的圖象，可以看作是用下面的方法而得到的：先把正弦曲線上所有的點向左（0）或向右（0）平行移動|個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短（1）或伸長（01）到原來的倍（縱坐標不變），再把所得各點的縱坐標伸長（A1）或縮短（0A1）到原來的A倍（橫坐標不變）.此外，y=Asin（x+）（其中A0，0）,xR的圖象也可通過下面的方法而得到：先把正弦曲線上所有點的橫坐標縮短（1）或伸長（01）到原來的倍（縱坐標不變），再把所得各點向左（0）或向右（0）平移|個單位長度，再把所得各點的縱坐標伸長（A1）或縮短（0A1）到原來的A倍（橫坐標不變）.其示意圖如下：方法點撥 在進行三角函數(shù)的圖象變換時，如果沒有特殊的要求，一般是先進行左右的平移變換，再進行系數(shù)的變換.誤區(qū)警示 橫坐標的伸縮變換，其是變換自變量x的系數(shù)，與自變量x后的常數(shù)無關(guān)，如將函數(shù)y=sin(x+1)圖象上所有點的橫坐標縮短為原來的一半（縱坐標不變）所得圖象對應的解析式應為y=sin(2x+1)而不是y=sin2(x+1).6.函數(shù)y=A1sin（1x+1）與函數(shù)y=A2sin（2x+2）圖象間的關(guān)系例如，已知函數(shù)y=2sin（x+），xR的圖象為C，要得到y(tǒng)=3sin（x+），xR的圖象，只需把C上所有點的縱坐標伸長到原來的倍（橫坐標不變）；要得到y(tǒng)=2sin（），xR的圖象，只需把曲線C上所有點的橫坐標伸長到原來的2倍（縱坐標不變）；要得到y(tǒng)=2sin（x+，xR的圖象，只需把曲線C上所有的點向左平移個單位長度；要得到y(tǒng)=2sin（x+）+2的圖象，只需把曲線C上所有點向上平移2個單位.對于余弦函數(shù)也是如此.考慮不同名稱的弦函數(shù)間的關(guān)系時，可先統(tǒng)一函數(shù)名稱，如y=sin（2x-）與y=cos2x圖象間的關(guān)系，由于y=sin（2x-）=cos-（2x-）=cos（-2x）=cos（2x-），所以只需把y=sin（2x-）的圖象向左平移個單位長度，即可得到y(tǒng)=cos2x的圖象.把y=cos2x的圖象向右平移個單位，便可得到y(tǒng)=cos（2x）,即y=sin（2x）的圖象.圖象的變換是相對的.例如，把函數(shù)的橫坐標伸長到原來的2倍，再向左平移個單位，得到曲線y=sinx的圖象，試求函數(shù)y=f（x）的解析式.分析：一是設(shè)f（x）=Asin（x+），按圖象變換的法則，分兩步，得y=Asin（x+）+，它就是y=sinx，構(gòu)造A、的方程求解.二是采用逆變換，即把上述變換倒過來，由y=sinx得到.解法一：設(shè)y=Asin（x+），把它的橫坐標伸長到原來的2倍得到y(tǒng)=Asin（+），再向左平移個單位，得到y(tǒng)=Asin（x+）+，即y=Asin（x+）=sinx.由兩個代數(shù)式恒等，得.解法二：將y=sinx的圖象向右平移個單位，得到y(tǒng)=sin（x）的圖象，再把y=sin（x）的圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍，得到y(tǒng)=sin（2x），即y=cos2x的圖象，所以所求函數(shù)=cos2x.7.函數(shù)y=Asin(x+)(A0,0)的性質(zhì)（1）定義域為R，值域為-A，A.（2）周期.（3）y=Asin(x+)(A0,0)的單調(diào)增區(qū)間由2k-x+2k+,kZ求得，單調(diào)減區(qū)間由2k+x+2k+,kZ.（4）y=Asin(x+)(A0,0)的圖象的對稱軸可由x+=k+，kZ解出，顯然對稱軸有無數(shù)條.例如，y=2sin（2x-）圖象的對稱軸方程是2x-=k+，kZ，即x=k+，kZ.其對稱中心的橫坐標由x+=k，得，即對稱中心是（，0）.顯然，函數(shù)y=4sin（2x-）的對稱中心是（，0）.知識拓展 函數(shù)y=ACos（x+）的對稱軸方程可由x+=k，kZ解出；其對稱中心是（k+-，0）.（5）當=k+,kZ時，函數(shù)是偶函數(shù)；當=k,kZ時，函數(shù)是奇函數(shù)；當k+,kZ且k,kZ時,函數(shù)既不是奇函數(shù)也不是偶函數(shù).8.A、的物理意義當函數(shù)y=Asin（x+），x0,+)（其中A0，0）表示一個振動量時，A就表示這個量振動時離開平衡位置的最大距離，通常稱為這個振動的振幅；往復一次所需要的時間，稱為這個振動的周期；單位時間內(nèi)往復振動的次數(shù)，稱為振動的頻率；x+稱為相位；當x=0時，相位稱為初相.問題探究問題1 已知函數(shù)=sin(x+)(0,0)是R上的偶函數(shù)，其圖象關(guān)于點M(,0)對稱.利用你所學的知識，加上一個你認為適當?shù)臈l件，使、為確定的值，并求出它們的值.思路:本題是一個條件開放型題，條件中已給了函數(shù)的奇偶性、對稱性，則可考慮給題目加上一個單調(diào)性的條件，然后再合理利用奇偶性、對稱性和單調(diào)性解題.探究:加條件“函數(shù)在0, 上是減函數(shù)”.由f(x)是偶函數(shù)，得f(-x)=f(x)，即sin(-x+)=sin(x+).sincos(-x)+cossin(-x)=sincosx+cossinx.整理得cossinx=0對于任意x都成立.cos=0.又0，=.由圖象關(guān)于點M(,0)對稱，得f()=0，即sin()=cos=0.又0，則有=k+,k=0,1,2,3,4,.= (2k+1),k=0,1,2,3,4,.當k=0時，=，f(x)=sin()，在0, 上是減函數(shù).當k=1時，=2，f(x)=sin(2x+)，在0, 不具有單調(diào)性.當k2時，=sin(x+)(0,0)在0, 也不具有單調(diào)性.由上可知=，=.問題2 將一塊圓心角為120，半徑為20厘米的扇形鐵板裁成一塊矩形，如圖492所示有兩種裁法：讓矩形的一邊在扇形的半徑，或讓扇形的一邊與弦AB平行，請問哪種裁法得到的矩形的面積最大?并求出這個最大值.圖492思路:這是一套實際應用題，需用數(shù)學建模，建立函數(shù)關(guān)系式.一般地，扇形中的內(nèi)接圖形的面積、周長等有關(guān)最值問題都是通過建立三角函數(shù)，根據(jù)三角函數(shù)的有界性來解決的.因此，要處理這個問題，就需要根據(jù)圖形，以角為參數(shù)建立三角函數(shù)關(guān)系式，利用三角知識予以解決.探究:如圖492甲，若要面積最大，則矩形的頂點應在扇形的弧上，設(shè)MOA=，則矩形的面積為S1=20sin20cos=200sin2.則當=45時矩形的面積最大為200 cm2.如圖492乙，設(shè)MOA=，則MQO=120.在OMQ中，.由圖形的對稱性,可知AOB的平分線OC為對稱軸，MN=2OMsin(60-)，故矩形PQMN的面積為S2=QMMN=2sinsin(60-)=cos(2-60)-cos60.所以，當=30時，矩形的面積最大為cm2.又200，故用第二種方法裁得的矩形的面積最大，最大面積為cm2.典題熱題例1（2006江蘇高考）為了得到函數(shù)y=2sin(),xR的圖象，只需把函數(shù)y=2sinx,xR的圖象上所有的點()A.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）B.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變）C.向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）D.向右平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）思路分析:本題主要考查了三角函數(shù)圖象的變換.解題時根據(jù)已知條件可以先平移再進行伸縮變換.由于是由y=2sinx,xR變換成y=2sin(),xR，則需要先把y=2sinx,xR的圖象上所有的點向左平移個單位長度，再把所得各點的橫坐標伸長到原來的3倍（縱坐標不變）.答案：C方法歸納 在進行三角函數(shù)的圖象變換時，一般是先平移，再進行周期的變換.例2（1）用“五點法”作函數(shù)y=2sin（2x），xR的圖象，并指出這個函數(shù)的振幅、周期和初相；（2）怎樣由y=sinx的圖象，得到y(tǒng)=2sin（2x）的圖象？(1)解：列表：x0202020描點連線：圖493把函數(shù)在長度為一個周期的簡圖中向左右擴展，就得到，xR的簡圖.振幅A=2，周期，初相=.（2）解法一：先把函數(shù)y=sinx的圖象上所有的點向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象；再把圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)的圖象；最后把圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變）得到，xR的圖象.解法二：先把y=sinx圖象上所有點的橫坐標縮短到原來的倍（縱坐標不變），得到函數(shù)y=sin2x的圖象；再把y=sin2x的圖象上所有的點向右平移個單位，得到函數(shù)的圖象；最后把圖象上所有點的縱坐標伸長到原來的2倍（橫坐標不變），就得到函數(shù)，xR的圖象.方法歸納 用五點法作圖的關(guān)鍵是把相位（x+）視為一個整體，令它依次取0，2這些值，解出相應的x值，得到各個點的橫坐標.深化升華 先相位，再周期變換，同先周期，后相位變換一樣，函數(shù)y=sinx圖象上的點（0，0）被變換成了點（，0）.但要注意平移的單位是不同的，先相位后周期，平移的單位為|；先周期，后相位，平移的單位為.例3（2006福建高考）已知函數(shù),xR.(1)求函數(shù)的最小正周期和單調(diào)增區(qū)間；(2)函數(shù)的圖象可以由函數(shù)y=sin2x(xR)的圖象經(jīng)過怎樣的變換得到？思路分析:本小題主要考查三角函數(shù)的基本公式，三角恒等變換、三角函數(shù)的圖象和性質(zhì)等基本知識，以及推理和運算能力.解：（1）=sin2x+cos2x+=sin(2x+)+ ,f(x)的最小正周期.由題意得2k-2x+2k+,kZ,f(x)的單調(diào)增區(qū)間為k-，k+,kZ.(2)先把y=sin2x圖象上所有的點向左平移個單位長度，得到y(tǒng)=sin(2x+)的圖象，再把所得圖象上所有的點向上平移個單位長度，就得到y(tǒng)=sin(2x+)+的圖象.方法歸納 當自變量前有系數(shù)而進行平移變換時，應將系數(shù)提取出來，再對比觀察，從而確定平移單位.例4如圖494，某地一天從6時至14時的溫度變化曲線近似地滿足函數(shù)y=Asin（x+）+b.圖494（1）求這段時間的最大溫差；（2）寫出這段曲線的函數(shù)解析式.思路分析:解決此問題的關(guān)鍵是根據(jù)圖象確定A、的值.解：（1）由圖可知，這段時間的最大溫差是3010=20（）.（2）圖中從6時至14時的圖象是函數(shù)y=Asin（x+）+b的半個周期的圖象，解得.由圖知A=（3010）=10，b=（30+10）=20.這時y=10sin（+）+20.將x=6，y=10代入上式，可得=.綜上，所求的解析式為y=10sin（）+20，x6，14.方法歸納 在y=Asin（x+）中A表示振動量離開平衡位置的最大距離，可通過觀察圖象求值，若已知值及圖象與y軸的交點，可列方程求A的值；與函數(shù)的周期有關(guān)，；可通過代點法求解，代點時最好代入最值點，當不存在最值點時，代點時應看點在圖象上的位置是處在上升的位置還是處在下降的位置，從而來確定x+是在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)取值，還是在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)取值.一般地，當點處在上升的位置時，x+是在單調(diào)增區(qū)間內(nèi)取值；當點處在下降的位置時，x+在單調(diào)減區(qū)間內(nèi)取值.例5（2006山東高考）已