常微分方程歐拉算法.doc

常微分方程歐拉算法摘要：本文主要論述了常微分方程的歐拉算法的算法原理，誤差分析，實例，程序，以及算法比較等內(nèi)容。關鍵詞：常微分方程 顯式歐拉法 隱式歐拉法引言：微分方程初值問題模型是常見的一類數(shù)學模型。對于一些簡單而典型的微分方程模型，譬如線性方程、某些特殊的一階非線性方程等是可以設法求出其解析解的，并有理論上的結果可資利用。但在數(shù)學建模中碰到的常微分方程初值問題模型，通常很難，甚至根本無法求出其解析解，而只能求其近似解。因此，研究其數(shù)值方法，以便快速求得數(shù)值鰓有其重大意義。一、歐拉算法原理對于微分方程初值問題 的解在平面上是一條曲線，稱為該微分方程的積分曲線。積分曲線上一點的切線斜率等于函數(shù)在點的值，從初始點出發(fā)，向該點的切線方向推進到下一個點，然后依次做下去，得到后面的未知點。一般地，若知道依上述方法推進到點，則兩點的坐標關系為：即這種方法就是歐拉（Euler）方法（也叫顯式歐拉法或向前歐拉法）。當初值已知，則可以逐步算出 對微分方程從到積分，那么有現(xiàn)在用左矩形公式代替，代替，代替就得到了歐拉方法。如果用右矩形公式去代替右端積分，則得到另外一個公式，該方法就稱為隱式歐拉法（或后退歐拉法），其公式為歐拉公式與隱式歐拉公式的區(qū)別在于歐拉公式是關于的一個直接計算公式，然而隱式歐拉公式右端含有，所以它實際上是關于的一個函數(shù)方程。二、實例例 取h=0.1，用Euler方法解解 如果用Euler法，代入0.1得 MATLAB繪制圖像如下：三、誤差分析初值問題的單步法可以寫成如下統(tǒng)一形式其中和f有關，若中不含，則方法是顯式的，否則是隱式的，所以一般顯示單步法表示為：例如在Euler方法中，有，對于不同的方法中，計算值與準確值的誤差各不相同。所以有必要討論方法的截斷誤差，我們稱為某一方法在點的整體截斷誤差。顯然，不但與這步的計算有關，所以誤差被稱為整體的。分析和估計整體截斷誤差是復雜的，為此，我們假設處的沒有誤差，即，考慮從到這一步的誤差，這就是如下的局部誤差的概念。為單步法的局部截斷誤差。四、算法程序現(xiàn)用matlab編程，程序如下fmfunction f=f(x,y)f=-y+x+1;x,y=myeuler(f,0,1,1); %利用程序求解方程 y1=x+exp(-x); %方程f=-y+x+1的精確解plot(x,y,-b,x,y1,-r) %在同一圖窗將歐拉法解和精確解的圖畫出 legend(歐拉法,精確解)五、算法比較由表可以看出：當A01時，歐拉法穩(wěn)定，歐拉預測校正法也穩(wěn)定。當h=O2時，歐拉法和歐拉預測校正法都不穩(wěn)定，計算結果嚴重偏離精確法。要想計算結果充分接近于解析解還需取較小的h值，可以看出，h越小，計算結果越好。對于梯形法，理論上講對于任何五值都穩(wěn)定，但明顯看出，要保證有較高的精度，也必須取較小的辦值。另外，由表可見，兩個二階方法精度也較高。結論：將數(shù)值解和解析解進行比較，很容易對歐拉法的三種不同算法的精度進行比較，其中改進歐拉法在這三種近似數(shù)值法的精度是最高的。歐拉法的數(shù)值求解不僅減小了數(shù)值計算的工作強度，而且提高了它的運算速度。這種方法對常微分方程初值問題的近似值求解和理論分析均具有一定的參考價值。參考文獻：1徐萃徽。孫繩武，計算方法引論(第二版)北京：高等教育出版社，200212馮康數(shù)值計算方法口訂杭州：浙江大學出版社，20033胡健偉 湯懷民微分方程數(shù)值解法(第二版)北京；科學出版社20074蔡大用擻值分析與實驗呻】北京：清華大學出版社，20015