數(shù)學建模協(xié)會講座.ppt

教學目標,培養(yǎng)“翻譯”能力,培養(yǎng)用數(shù)學思想方法的 綜合應(yīng)用分析能力,培養(yǎng)想象力,發(fā)展觀察力，形成洞察力,培養(yǎng)交流與表達的能力,熟練使用技術(shù)手段,科技論文寫作能力,1 汽車剎車距離,美國的某些司機培訓課程中的駕駛規(guī)則：,背景與問題,正常駕駛條件下, 車速每增10英里/小時， 后面與前車的距離應(yīng)增一個車身的長度。,實現(xiàn)這個規(guī)則的簡便辦法是 “2秒準則” ：,后車司機從前車經(jīng)過某一標志開始默數(shù) 2秒鐘后到達同一標志，而不管車速如何,判斷 “2秒準則” 與 “車身”規(guī)則是否一樣；,建立數(shù)學模型，尋求更好的駕駛規(guī)則。,問題分析,常識：剎車距離與車速有關(guān),10英里/小時(16公里/小時)車速下2秒鐘行駛29英尺( 9米),車身的平均長度15英尺(=4.6米),“2秒準則”與“10英里/小時加一車身”規(guī)則不同,剎車距離,反應(yīng)時間,司機狀況,制動系統(tǒng)靈活性,制動器作用力、車重、車速、道路、氣候 ,最大制動力與車質(zhì)量成正比，使汽車作勻減速運動。,車速,假 設(shè) 與 建 模,1. 剎車距離 d 等于反應(yīng)距離 d1 與制動距離 d2 之和,2. 反應(yīng)距離 d1與車速 v成正比,3. 剎車時使用最大制動力F，F(xiàn)作功等于汽車動能的改變;,F d2= m v2/2,F m,t1為反應(yīng)時間,且F與車的質(zhì)量m成正比,反應(yīng)時間 t1的經(jīng)驗估計值為0.75秒,參數(shù)估計,利用交通部門提供的一組實際數(shù)據(jù)擬合 k,模 型,最小二乘法 k=0.06,“2秒準則”應(yīng)修正為 “t 秒準則”,模 型,現(xiàn)實世界中普遍存在著優(yōu)化問題,靜態(tài)優(yōu)化問題指最優(yōu)解是數(shù)(不是函數(shù)),建立靜態(tài)優(yōu)化模型的關(guān)鍵之一是根據(jù)建模目的確定恰當?shù)哪繕撕瘮?shù),求解靜態(tài)優(yōu)化模型一般用微分法,靜 態(tài) 優(yōu) 化 模 型,2 存貯模型,問 題,配件廠為裝配線生產(chǎn)若干種產(chǎn)品，輪換產(chǎn)品時因更換設(shè) 備要付生產(chǎn)準備費，產(chǎn)量大于需求時要付貯存費。該廠 生產(chǎn)能力非常大，即所需數(shù)量可在很短時間內(nèi)產(chǎn)出。,已知某產(chǎn)品日需求量100件，生產(chǎn)準備費5000元，貯存費 每日每件1元。試安排該產(chǎn)品的生產(chǎn)計劃，即多少天生產(chǎn) 一次（生產(chǎn)周期），每次產(chǎn)量多少，使總費用最小。,要 求,不只是回答問題，而且要建立生產(chǎn)周期、產(chǎn)量與 需求量、準備費、貯存費之間的關(guān)系。,問題分析與思考,每天生產(chǎn)一次，每次100件，無貯存費，準備費5000元。,日需求100件，準備費5000元，貯存費每日每件1元。,10天生產(chǎn)一次，每次1000件，貯存費900+800+100 =4500元，準備費5000元，總計9500元。,50天生產(chǎn)一次，每次5000件，貯存費4900+4800+100 =122500元，準備費5000元，總計127500元。,平均每天費用950元,平均每天費用2550元,10天生產(chǎn)一次平均每天費用最小嗎?,每天費用5000元,這是一個優(yōu)化問題，關(guān)鍵在建立目標函數(shù)。,顯然不能用一個周期的總費用作為目標函數(shù),目標函數(shù)每天總費用的平均值,周期短，產(chǎn)量小,周期長，產(chǎn)量大,問題分析與思考,模 型 假 設(shè),1. 產(chǎn)品每天的需求量為常數(shù) r；,2. 每次生產(chǎn)準備費為 c1, 每天每件產(chǎn)品貯存費為 c2；,3. T天生產(chǎn)一次（周期）, 每次生產(chǎn)Q件，當貯存量 為零時，Q件產(chǎn)品立即到來（生產(chǎn)時間不計）；,建 模 目 的,設(shè) r, c1, c2 已知，求T, Q 使每天總費用的平均值最小。,4. 為方便起見，時間和產(chǎn)量都作為連續(xù)量處理。,模 型 建 立,貯存量表示為時間的函數(shù) q(t),t=0生產(chǎn)Q件，q(0)=Q, q(t)以 需求速率r遞減，q(T)=0.,一周期 總費用,每天總費用平均 值（目標函數(shù)）,離散問題連續(xù)化,一周期貯存費為,A=QT/2,模型求解,求 T 使,模型分析,模型應(yīng)用,c1=5000, c2=1，r=100,回答問題,經(jīng)濟批量訂貨公式（EOQ公式）,每天需求量 r，每次訂貨費 c1,每天每件貯存費 c2 ，,用于訂貨、供應(yīng)、存貯情形,不允許缺貨的存貯模型,問：為什么不考慮生產(chǎn)費用？在什么條件下才不考慮？,T天訂貨一次(周期), 每次訂貨Q件，當貯存量降到 零時，Q件立即到貨。,允許缺貨的存貯模型,A,B,當貯存量降到零時仍有需求r, 出現(xiàn)缺貨，造成損失,原模型假設(shè)：貯存量降到零時Q件立即生產(chǎn)出來(或立即到貨),現(xiàn)假設(shè)：允許缺貨, 每天每件缺貨損失費 c3 , 缺貨需補足,一周期貯存費,一周期缺貨費,周期T, t=T1貯存量降到零,一周期總費用,每天總費用 平均值 （目標函數(shù)）,一周期總費用,求 T ,Q 使,為與不允許缺貨的存貯模型相比，T記作T , Q記作Q,不允許缺貨模型,記,允許缺貨模型,允許缺貨模型,注意：缺貨需補足,Q每周期初的存貯量,每周期的生產(chǎn)量R （或訂貨量）,Q不允許缺貨時的產(chǎn)量 (或訂貨量),3 生豬的出售時機,飼養(yǎng)場每天投入4元資金，用于飼料、人力、設(shè)備，估計可使80千克重的生豬體重增加2公斤。,問題,市場價格目前為每千克8元，但是預測每天會降低 0.1元，問生豬應(yīng)何時出售。,如果估計和預測有誤差，對結(jié)果有何影響。,分析,投入資金使生豬體重隨時間增加，出售單價隨時間減少，故存在最佳出售時機，使利潤最大,求 t 使Q(t)最大,10天后出售，可多得利潤20元,建模及求解,生豬體重 w=80+rt,出售價格 p=8-gt,銷售收入 R=pw,資金投入 C=4t,利潤 Q=R-C=pw -C,估計r=2，,若當前出售，利潤為808=640（元）,t 天出售,=10,Q(10)=660 640,g=0.1,敏感性分析,研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響,設(shè)g=0.1不變,t 對r 的（相對）敏感度,生豬每天體重增加量r 增加1%，出售時間推遲3%。,敏感性分析,研究 r, g變化時對模型結(jié)果的影響,設(shè)r=2不變,t 對g的（相對）敏感度,生豬價格每天的降低量g增加1%，出售時間提前3%。,強健性分析,保留生豬直到利潤的增值等于每天的費用時出售,由 S(t,r)=3,建議過一周后(t=7)重新估計 , 再作計算。,研究 r, g不是常數(shù)時對模型結(jié)果的影響,w=80+rt w = w(t),p=8-gt p =p(t),若 (10%), 則 （30%）,練習：梯子長度問題 問題: 如圖