近世代數(shù)習(xí)題與答案.doc

本題得分一、 選擇題（本題共5小題,每小題3分，共15分)(從下列備選答案中選擇正確答案)1、下列子集對(duì)通常復(fù)數(shù)的乘法不構(gòu)成群的是（ ）。(A) 1，1，i ,i (B) 1，1 (C) 1，1，i2、設(shè)H是群的子群，a，b，則aH = bH的充要條件是（ ）。(A) a1b1H(B) a1bH(C) ab1H3、在模6的剩余類(lèi)環(huán)Z6 中，Z6 的極大理想是( )。(A) （），（） (B) （） (C)（）4、若Q是有理數(shù)域,則(Q():Q)是( )。(A) 6 (B) 3 (C) 25、下列不成立的命題是( )。(A) 歐氏環(huán)是主理想環(huán) (B) 整環(huán)是唯一分解環(huán) (C) 主理想環(huán)是唯一分解環(huán) 本題得分二、填空題（本題共5空，每空3分，共15分）（請(qǐng)將正確答案填入空格內(nèi)）1、R為整環(huán)，a，bR ，b|a，則（b） （a）。2、F 是域，則是域當(dāng)且僅當(dāng) 。3、域F上的所有n階方陣的集合M(F)中，規(guī)定等價(jià)關(guān)系A(chǔ)B秩(A)=秩(B)，則這個(gè)等價(jià)關(guān)系決定的等價(jià)類(lèi)有_個(gè)。4、6次對(duì)稱(chēng)群S中,(1235)(36)=_。5、12的剩余類(lèi)環(huán)Z12的可逆元是 。本題得分三、判斷題（本題共5小題,每小題2分，共10分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為正確的題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)誤的打“”）1、設(shè)是群，H，若對(duì)任意a,bH可推出abH，則HG. （ ）2、群中的元，,則。 ( ) 3、商環(huán)是一個(gè)域。 （ ）4、設(shè)f 是群G到群的同態(tài)映射，若， 則。 （ ） 5、任意群都同構(gòu)于一個(gè)變換群。 （ ） 本題得分四、計(jì)算題（本題共2小題,每小題10分，共20分）（要求寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果）1、找出的全部理想，并指出哪些是極大理想。對(duì)極大理想,寫(xiě)出的全部元。2、確定3次對(duì)稱(chēng)群S3的所有子群及所有正規(guī)子群。本題得分五、證明題（本題共4小題,每小題10分，共40分）1、 設(shè)f是群G到群的滿(mǎn)同態(tài)，N是G的正規(guī)子群，證明：。2、設(shè)N G, G:N=2008, 證明：對(duì), 恒有。3、設(shè)R為交換環(huán)，若R的理想PR,則RP是整環(huán)當(dāng)且僅當(dāng)P是素理想。4、設(shè)Rx是實(shí)數(shù)域R上的一元多項(xiàng)式環(huán)，取，證明：，C為復(fù)數(shù)域。近世代數(shù)測(cè)試題（一）一、 選擇題（本題共5小題,每小題3分，共15分)(從下列備選答案中選擇正確答案)1、設(shè)GZ，對(duì)G規(guī)定運(yùn)算o，下列規(guī)定中只有（ ）構(gòu)成群。(A) aob=a+b-2 (B) aob=a b (C) aob=2 a+3 b （“”為數(shù)的乘法）2、設(shè)HG，a，bG，則Ha = Hb的充要條件是（ ）.(A) abH(B) ab1H (C) a1bH3、在整數(shù)環(huán)Z中，包含（15）的極大理想是（ ）。(A) （3） (B) （5） (C) （3）或（5）4、若Q是有理數(shù)域,則(Q():Q)是( )(A) 6 (B) 3 (C) 25、下面不成立的命題是（ ）(A) 域是整環(huán)(B) 除環(huán)是域(C) 整數(shù)環(huán)是整環(huán)二、填空題（本題共5空，每空3分，共15分）（請(qǐng)將正確答案填入空格內(nèi)）1、環(huán)Z(i)=a+bi|a,bZ的單位是_。2、若a是群G中的一個(gè)8階元,則a的階為_(kāi) 。3、設(shè)M100 (F)是數(shù)域F上的所有100階方陣的集合,在M100 (F)中規(guī)定等價(jià)關(guān)系下：AB 秩(A)=秩(B)，則這個(gè)等價(jià)關(guān)系所決定的等價(jià)類(lèi)共有_個(gè)。4、6次對(duì)稱(chēng)群S中,(1245)(46)=_。5、12的剩余類(lèi)環(huán)Z12的零因子是 。三、判斷題（本題共5小題,每小題2分，共10分）（請(qǐng)?jiān)谀阏J(rèn)為正確的題后括號(hào)內(nèi)打“”，錯(cuò)誤的打“”）1、若HN，HG,那么NHG。 （ ）2、設(shè)I是一主理想環(huán)，則I是一歐氏環(huán)。 （ ）3、商環(huán)是一個(gè)域。 （ ）4、設(shè)f 是群G到群的同態(tài)映射，HG，則 f (H) 。 （ ）5、素?cái)?shù)階的群G一定是循環(huán)群。 （ ）四、計(jì)算題（本題共2小題,每小題10分，共20分）（要求寫(xiě)出主要計(jì)算步驟及結(jié)果）1、在10次對(duì)稱(chēng)群S10中，=.將表成一些不相交輪換之積，并求及。2、在整數(shù)環(huán)Z中，試求出所有包含30的極大理想。五、證明題（本題共4小題,每小題10分，共40分）1、設(shè)f是環(huán)R到環(huán)的滿(mǎn)同態(tài)，A為R的理想，證明：。2、設(shè)