2016中考數(shù)學規(guī)律探究問題專題復習學案

1 / 16 2016中考數(shù)學規(guī)律探究問題專題復習學案 本資料為 WoRD 文檔，請點擊下載地址下載全文下載地址 規(guī)律探究問題 【題型特征】規(guī)律探究性問題的特點是問題的結論不是直接給出 ,而是通過對問題的觀察、分析、歸納、概括、演算、判斷等一系列的探究活動 ,才能得到問題的結論 .這類問題 ,因其獨特的規(guī)律性和探究性 ,對分析問題、解決問題的能力具有很高的要求 .在近幾年全國各地的中考試題中 ,不僅頻頻出現(xiàn)規(guī)律探究題 ,而且 “ 花樣百出 ”. 常見的類型有 :(1)數(shù)式規(guī)律型 ;(2)圖形變化規(guī)律型 ;(3)坐標變化規(guī)律型 ;(4)數(shù)形結 合規(guī)律型等 . 【解題策略】解決規(guī)律探究性問題常常利用特殊值 (特殊點、特殊數(shù)量、特殊線段、特殊位置等 )進行歸納、概括 ,從特殊到一般 ,從而得出規(guī)律 (符合一定的經(jīng)驗與事實的數(shù)學結論 ),然后驗證或應用這一規(guī)律解題即可 .解答時對分析問題、解決問題能力具有很高的要求 . (1)數(shù)式規(guī)律型 :數(shù)式規(guī)律涉及數(shù)的變化規(guī)律和式的變化規(guī)律 ,式變化規(guī)律往往包含數(shù)的變化規(guī)律 .數(shù)的變化規(guī)律問題是按一定的規(guī)律排列的數(shù)之間的相互關系或大小變化規(guī)律的問題 ,主要是通過觀察、分析、歸納、驗證 ,然后得出一般性的結論 ,以列代數(shù)式為主要內(nèi)容 ;式的變化 規(guī)律通常給定2 / 16 一些代數(shù)式 ,等式或者不等式 ,猜想其中蘊含的規(guī)律 ,一般解法是先寫出代數(shù)式的基本結構 ,然后通過橫比 (比較同一等式中的不同數(shù)量關系 )或縱比 (比較不同等式間相同位置的數(shù)量關系 ),找出各部分的特征 ,寫出符合條件的格式 . (2)圖形變化規(guī)律型 :圖形變化型問題涉及圖形排列規(guī)律和變化蘊含的規(guī)律 .主要是觀察圖形變化過程中的特點 ,分析其聯(lián)系和區(qū)別 ,用相應的算式由特殊到一般描述其中的規(guī)律 .這需要有敏銳的觀察能力和計算能力 . (3)坐標變化規(guī)律型 :此類題型主要考查了點的坐標規(guī)律 ,培養(yǎng)學生觀察和歸納能力 ,從所給的數(shù)據(jù) 和圖形中尋求規(guī)律進行解題是解答本類問題的關鍵 . (4)數(shù)形結合規(guī)律型 :這類問題主要考查學生綜合運用代數(shù)知識和幾何知識的能力 ,解決這類問題要求學生不僅要有很好的 “ 數(shù)感 ”, 還要有很強的 “ 圖形 ” 意識 . 類型一 數(shù)式規(guī)律型 【技法梳理】對于數(shù)式規(guī)律型問題 ,關鍵是根據(jù)已知的式子或數(shù)得出前后算式或前后數(shù)之間的變化關系和規(guī)律 ,然后再利用這個變化規(guī)律回到問題中去解決問題 . 舉一反三 3 / 16 1.(XX山東菏澤 )下面是一個某種規(guī)律排列的數(shù)陣 : 1 第 1 行 2 第 2 行 2 3 2 第 3 行 4 3 2 第 4 行 根據(jù)數(shù)陣的規(guī)律 ,第 n(n 是整數(shù) ,且 n3) 行從左到右數(shù)第n-2 個數(shù)是 (用含 n 的代數(shù)式表示 ). 2.(XX 山 東 臨 沂 ) 請 你 計算 :(1-x)(1+x),(1-x)(1+x+x2), 猜想(1-x)(1+x+x2+xn) 的結果是 ( ). +xn+xn 【小結】此類問題考查的知識點是單項式的知識 .找代數(shù)式的變化規(guī)律 ,一般是由特殊到一般 ,得出一般規(guī)律 .比如典例觀察單項式的規(guī)律 ,把一個單項 式分解成數(shù)字因數(shù)和字母因式的積 ,分別找出單項式的系數(shù)和次數(shù)的規(guī)律也是解決此類問題的關鍵 . 類型二 圖形變化規(guī)律型 典例 2 (XX四川內(nèi)江 )如圖 ,將若干個正三角形、正方形和圓按一定規(guī)律從左向右排列 ,那么第 XX個圖形是 . 【解析】根據(jù)圖象規(guī)律得出每 6 個數(shù)為一周期 ,用 XX先減 24 / 16 再除以 6, 根 據(jù) 余 數(shù) 來 決 定 第 XX 個 圖 形 . 因為(XX-2)6=3352, 故第 XX 個圖形與第 2 個圖象相同 ,故答案是正方形 . 【全解】正方形 【技法梳理】本題是一道找圖形循環(huán)排列規(guī)律的題目 .這類題首先應找出 哪些部分發(fā)生了變化 ,是按照什么規(guī)律變化的 ,解題時對觀察能力和歸納總結能力有一定要求 . 舉一反三 3.(XX湖北天門 )將相同的矩形卡片 ,按如圖方式擺放在一個直角上 ,每個矩形卡片長為 2,寬為 1,依此類推 ,擺放 XX個時 ,實線部分長為 . (1) (2) (3) (第 3 題 ) 4.(XX 珠海 ) 如圖 , 在 等 腰 RtoAA1中 ,oAA1=90,oA=1, 以 oA1 為直角邊作等腰 RtoA1A2,以 oA2為直角邊作等腰 RtoA2A3, 則 oA4的長度為 . 5 / 16 (第 4 題 ) 5.(XX湖北十堰 )根據(jù)如圖中箭頭的指向規(guī)律 ,從 XX到 XX再到 XX,箭頭的方向是以下圖示中的 ( ). (第 5 題 ) 【小結】 (1)圖形循環(huán)類問題 ,只要找到所求值在第幾個循環(huán) ,便可找出答案 ,一般難度不大 ;(2)圖形的變化規(guī)律計算問題 ,關鍵是根據(jù)題目中給出的圖形 ,通過觀察思考 ,歸納總結出規(guī)律 ,再利用規(guī)律解決問題 ,難度一般偏大 ,屬于難題 . 類型三 坐標變化規(guī)律型 典例 3 (XX廣東梅州 )如圖 ,彈性小球從點 P(0,3)出發(fā) ,沿所示方向運動 ,每當小球碰到矩形 oABc的邊時反彈 ,反彈時反射角等于入射角 ,當小球第 1 次碰到矩形的邊時的點為 P1,第 2次碰到矩形的邊時的點為 P2, 第 n次碰到矩形的邊時的點為 Pn,則點 P3 的坐標是 ;點 PXX 的坐標是 . 【解析】如圖 ,經(jīng)過 6 次反彈后動點回到出發(fā)點 (0,3), 當點 P 第 3 次碰到矩形的邊時 ,點 P 的坐標為 (8,3), XX6=3354, 當點 P 第 XX 次碰到矩形的邊時為第 336 個循環(huán)組的第 46 / 16 次反彈 . 點 P 的坐標為 (5,0). 故答案為 (8,3),(5,0). 【全解】 (8,3) (5,0) 【技法梳理】根據(jù)反射角與入射角的定義作出圖形 ,可知每6次反彈為一個循環(huán)組依次循環(huán) ,用 XX除以 6,根據(jù)商和余數(shù)的情況確定所對應的點的坐標即可 . 舉一反三 6.(XX 湖 北 荊 門 ) 如圖 , 在第 1 個 A1Bc中 ,B=30,A1B=cB; 在邊 A1B上任取一點 D,延長 cA1到 A2,使 A1A2=A1D,得到第 2個 A1A2D; 在邊 A2D上任取一點 E,延長 A1A2到 A3,使 A2A3=A2E,得到第 3個 A2A3E, 按此做法繼續(xù)下去 ,則第 n 個三角形中以 An 為頂點的內(nèi)角度數(shù)是( ). (第 6 題 ) 7.(XX山東濰坊 )如圖 ,已知正方形 ABcD,頂點A(1,3),B(1,1),c(3,1).規(guī)定 “ 把正方形 ABcD先沿 x軸翻折 ,再向左平移 1 個單位 ” 為一次變換 ,如此這樣 ,連續(xù)經(jīng)過 XX次變換后 ,正方形 ABcD的對角線交點 m 的坐標變?yōu)?( ). 7 / 16 (第 7 題 ) A.(-XX,2)B.(-XX,-2) c.(-XX,-2)D.(-XX,2) 【小結】此類題型主要考查點的坐標變化規(guī)律 ,解決此類問題的關鍵是從點的變化中發(fā) 現(xiàn)橫坐標、縱坐標的變化規(guī)律 . 類型四 數(shù)形結合規(guī)律型 典例 4 (XX山東泰安 )如圖 ,在平面直角坐標系中 ,將 ABo 繞點 A 順時針旋轉到 AB1c1 的位置 ,點 B,o分別落在點 B1,c1 處 ,點 B1 在 x 軸上 ,再將 AB1c1 繞點 B1 順時針旋轉到 A1B1c2 的位置 ,點 c2在 x軸上 ,將 A1B1c2 繞點 c2順時針旋轉到 A2B2c2 的位置 ,點 A2 在 x 軸上 ,依次進行下去 . 若點 ,B(0,4),則點 BXX的橫坐標為 . 故答案為 10070. 【全解】 10070 【技法梳理】首先 利用勾股定理得出 AB的長 ,進而得出三角形的周長 ,進而求出 B2,B4 的橫坐標 ,進而得出變化規(guī)律 ,即可得出答案 . 舉一反三 8 / 16 8.(XX四川內(nèi)江 )如圖 ,已知 A1,A2,A3,An,An+1是 x 軸上的點 ,且 oA1=A1A2=A2A3=AnAn+1=1, 分別過點A1,A2,A3,An,An+1 作 x 軸的垂線交直線 y=2x 于點B1,B2,B3,Bn,Bn+1, 連接A1B2,B1A2,B2A3,AnBn+1,BnAn+1, 依次相交于點P1,P2,P3,Pn.A1B1P1,A2B 2P2,AnBnPn 的面積依次記為 S1,S2,S3,Sn, 則 Sn為 ( ). (第 8 題 ) 9.(XX山東威海 )如圖 ,在平面直角坐標系 xoy中 ,RtoA1c1,RtoA2c2,RtoA3c3,RtoA4c4 的斜邊都在坐標軸上 ,A1oc1=A2oc2=A3oc3=A4oc4=30. 若點 A1的坐標為 (3,0),oA1=oc2,oA2=oc3,oA3=oc4, 則依此規(guī)律 ,點AXX的縱坐標為 ( ). (第 9 題 ) 【小結】此類題主要考查坐標的變化規(guī)律 .解決此類問題的關鍵是利用數(shù)形結合的思想發(fā)現(xiàn)運動的規(guī)律 .綜合其用勾股定理等知識點解出相應的問題 . 9 / 16 類型一 1.(XX山東煙臺 )將一組數(shù) ,3,2,3, 按下面的方式進行排列 : ,3,2,; 3,2,3,; 若 2的位置記為 (1,4),2的位置記為 (2,3),則這組數(shù)中最大的有理數(shù)的位置記為 ( ). A.(5,2)B.(5,3) c.(6,2)D.(6,5) 2.(XX 湖 北 咸 寧 ) 觀 察 分 析 下 列 數(shù)據(jù) :0,-,-3,2,-,3, 根據(jù)數(shù)據(jù)排列的規(guī)律得到第 16 個數(shù)據(jù)應是 .(結果需化簡 ) 3.(XX貴州銅仁 )一列數(shù) :0,-1,3,-6,10,-15,21,按此規(guī)律第 n 個數(shù)為 . 4.(XX甘肅白銀 )觀察下列各式 : 13=12, 13+23=32, 13+23+33=62, 13+23+33+43=102, 10 / 16 猜想 13+23+33+103= . 類型二 5.(XX湖北武漢 )觀察下 列一組圖形中點的個數(shù) ,其中第 1 個圖中共有 4 個點 ,第 2 個圖中共有 10 個點 ,第 3 個圖中共有 19 個點 按此規(guī)律第 5 個圖中共有點的個數(shù)是( ). (第 5 題 ) 6.(XX湖南婁底 )如圖是一組有規(guī)律的圖案 ,第 1 個圖案由 4 個 組成 ,第 2 個圖案由 7 個 組成 ,第 3 個圖案由10個 組成 ,第 4個圖案由 13個 組成 , 則第 n(n為正整數(shù) )個圖案由 個 組成 . (第 6 題 ) 7.(XX廣東深圳 )如圖 ,下列圖形是將正三角形按一定規(guī)律排列 ,則第 5 個圖形中所有正三角 形的個數(shù)有 . (第 7 題 ) 類型三 11 / 16 8.(XX湖南邵陽 )如圖 ,A點的初始位置位于數(shù)軸上的原點 ,現(xiàn)對 A 點做如下移動 :第 1次從原點向右移動 1個單位長度至 B 點 ,第 2 次從 B 點向左移動 3 個單位長度至 c 點 ,第3次從 c點向右移動 6個單位長度至 D點 ,第 4次從 D點向左移動 9 個單位長度至 E 點 , 依此類推 ,這樣至少移動 次后該點到原點的距離不小于 41. (第 8 題 ) 9.(XX 甘肅天水 ) 如圖 , 一 段 拋 物 線y=-x(x-1)(0x1) 記為 m1,它與 x 軸 交點為 o,A1,頂點為P1;將 m1繞點 A1旋轉 180 得 m2,交 x軸于點 A2,頂點為 P2;將 m2繞點 A2旋轉 180 得 m3,交 x軸于點 A3,頂點為 P3,如此進行下去 ,直至得 m10,頂點為 P10,則 P10 的坐標為( ). (第 9 題 ) 類型四 10.(XX四川遂寧 )已知 :如圖 ,在 ABc 中 ,點A1,B1,c1 分別是 Bc,Ac,AB 的中點 ,A2,B2,c2 分別是B1c1,A1c1,A1B1 的中點 ,依此類推 . 若 ABc 的周長為 1,則 AnBncn 的周長為 . 12 / 16 (第 10題 ) 11.(XX江蘇淮安 )如圖 ,順次連接邊長為 1 的正方形ABcD 四邊的中點 ,得到四邊形 A1B1c1D1,然后順次連接四邊形 A1B1c1D1 的中點 ,得到四邊形 A2B2c2D2,再順次連接四邊形 A2B2c2D2四邊的中點 ,得到四邊形 A3B3c3D3, 按此方法得到的四邊形 A8B8c8D8 的周長為 . 12.(XX廣東佛山 )(1)證明三角形中位線定理 :三角形的中位線平行于第三邊 ,且等于第三邊的一半 ;要求根據(jù)圖 (1)寫出已知、求證、證明 ;在證明過 程中 ,至少有兩處寫出推理依據(jù) (“ 已知 ” 除外 ) (2) 如圖 (2), 在 ABcD 中 , 對 角 線 焦 點 為o,A1,B1,c1,D1分別是 oA,oB,oc,oD 的中點 ,A2,B2,c2,D2 分別是 oA1,oB1,oc1,oD1的中點 , 以此類推 .若 ABcD的周長為 1,直接用算式表示各四邊形的周長之和 l; (3)借助圖形 (3)反映的規(guī)律 ,猜猜 l 可能是多少 ? 參考答案 【真題精講】 解析 :(1-x)(1+x)=1-x2,(1-x)(1+x+x2)=1+x+x2-x-x2-x3=1-x13 / 16 3, 依此類推 (1-x)(1+x+x2+xn)=1 -xn+1. 3.方法一 :由圖形可得出 :擺放一個矩形實線長為 3, 擺放 2 個矩形實線長為 5,擺放 3 個矩形實線長為 8, 擺放 4 個矩形實線長為 10,擺放 5 個矩形實線長為 13, 即第偶數(shù)個矩形實線部分在前一個的基礎上加 2, 第奇數(shù)個矩形實線部分在前一個的基礎上加 3, 擺放 XX個時 ,相等于在第 1個的基礎上加 1007個 2,1006個 3, 擺放 XX個時 ,實線部分長為 3+10072+10063=5035. 故答案為 5035. 方法二 :第 個圖實線部分長 3, 第 個圖實線部分長 3+2, 第 個圖實線部分長 3+2+3, 第 個圖實線部分長 3+2+3+2, 第 個圖實線部分長 3+2+3+2+3, 第 個圖實線部分長 3+2+3+2+3+2, 從上述規(guī)律可以看到 ,對于第 n 個圖形 , 當 n 為奇數(shù)時 ,第 n 個圖形實線部分長度為 解析 :oAA1 為等腰直角三角形 ,oA=1, 14 / 16 AA1=oA=1,oA1=oA=. oA1A2 為等腰直角三角形 , A1A2=oA1=,oA2=oA1=2. oA2A3 為 等腰直角三角形 , A2A3=oA2=2,oA3=oA2=2. oA3A4 為等腰直角三角形 , A3A4=oA3=2,oA4=oA3=4. 故答案為 4. 解析 :由圖可知 ,每 4 個數(shù)為一個循環(huán)組依次循環(huán) , XX4=5031, XX 是第 504個循環(huán)組的第 2 個數(shù) . 從 XX到 XX再到 XX,箭頭的方向是 . 故選 D. 解析 : 正方形 ABcD,點 A(1,3),B(1,1),c(3,1), m 的坐標變?yōu)?(2,2). 根據(jù)題意得 ,第 1 次變換后的點 m 的對應點的坐標為(2-1,-2),即 (1,-2), 第 2 次變換后的點 m 的對應點的坐標為 (2-2,2),即 (0,2), 第 3次變換后的點 m的對應點的坐標為 (2-3,-2),即