Felbin意義下模糊賦范空間中模糊有界線性算子-碩士學(xué)位論文.pdf

致謝 摘要 A b s t r a c t 第一章引言 第二章預(yù)備知識(shí) 第三章模糊有界線性算子 目錄 第四章模糊有界線性算子范數(shù)及空間 第五章幾種模糊有界線性算子的比較 后記 參考文獻(xiàn) n m 沁 1 4 9 “ 巧 釘 弛 致謝 衷心感謝導(dǎo)師嚴(yán)從華教授對我的悉心指導(dǎo)與熱情幫助，我才能順利地完成學(xué) 業(yè)本文從選題到成稿，每一步都是在老師的鼓勵(lì)和指導(dǎo)下完成的，我所取得的進(jìn)步 無不傾注著老師的心血嚴(yán)老師淵博的學(xué)識(shí)，嚴(yán)謹(jǐn)?shù)闹螌W(xué)精神以及誨人不倦的高尚 品格必將使我受益終身在此，我向嚴(yán)老師表示最衷心的感謝! 同時(shí)，我要感謝同學(xué)、朋友對我的關(guān)心、幫助和支持! 借此機(jī)會(huì)，我還要特別感謝我的家人，感謝他們的鼓勵(lì)和照顧，論文的完成與他 們的支持是分不開的 這篇論文是用C 碳軟件制作的感謝h t 七p ：w w w c t e x 。r g 免費(fèi)提供了 這個(gè)軟件 江蘇南京 2 0 1 0 年1 月 岳倩鈺 摘要 F e l b i n 意義下模糊賦范空間是一種較為典型的模糊賦范空間，本文致力于 F e l b 試意義下糊賦范空間上的的模糊有界線性算子的基本性質(zhì)的研究主要內(nèi)容包 括如下： 討論F e l b m 意義下模糊賦范空間模糊有界性線性算子和模糊連續(xù)線性算子的 一些基本性質(zhì)，證明了模糊連續(xù)線性算子的模糊集合式刻劃與序列式刻劃是等價(jià) 的，同時(shí)給出了模糊線性算子的幾個(gè)充要條件，證明了模糊線性算子的有界性與連 續(xù)性的等價(jià)關(guān)系引入模糊連續(xù)線性算子范數(shù)的概念，討論固定妒的模糊有界線性 算子空間，證明該算子空間為F e l b m 意義下的模糊賦范線性空間，此外給出該算子 空間成為模糊B o 禮o c 空間的充要條件，及在一定條件下算子的保范延拓定理對 已有的F e l b i n 意義下模糊賦范空間中幾種模糊有界線性算子的概念進(jìn)行了較深入 的研究，討論他們相互之間的關(guān)系 關(guān)鍵詞：模糊賦范空間，模糊有界線性算子，模糊連續(xù)線性算子，模糊范數(shù)，模 糊B a n a c h 空間 A b s t r a c t F u z z yn o 肌e ds p a c em s e n s eo fF e I b i ni so n eo fc l a s s i cs p a c i a lf u z z yn o r m e d s p a c e ，t h i sp a p e rb e n d s i t s e l ft 0s m d yt h eb a s i cp r o P e r t i e so ft h ef u z z yb o u n d e d 1 m e a ro p e r a t o r T h em a mc o n t e n t sc o n c l u d ea sf o o w s ： F i r s n 弦s o m eb a s i cP r o p e r H e s0 ff u z z y b o u n d e dl m e a r 叩e r a 毛0 ra n df u z z y c o n 婦u o u sH n e a ro p e r a t o ra r ed i s c u s s e d I ti sp r o V e dm a td 協(xié)r a c t e r i z a t i o r 略f o r f u z z yc o n t m u o u sn n e a ro p e r a t o r sb ya i d so fm ef u z z ys e t sa n dm ef u z z ys e q u e n c e si se q u i V a l e n t A tm e s a I n eH m e ，s e V e r a lo t h e rn e c e s s 時(shí)a n d s u f f i c i e n c y o ft h ef u z z yc o n t h l u o u sl i l l e a ro p e r a t o ra r eg a V e ，a n dm ee ( 1 u i V a l e r 忙eb e t w e e n t h eb o u n d e d n e s sa n dt h ec o n t i n u i 哆o fm ef u z z yl i I 論a ro p e r a t o ri sp r 0 V e d S e c o n d l 弦m ed e n i t i o no f 齔n o n no ff u z z yb o u n d e dl m e a r 叩e r a t o r si s i n t r o d u c e d ，t h es p a c eo ff u z z yb o 山1 d e dH n e a r 叩e r a t o r sd e t en n j n e db yaf i x e d o r d e r - h o m o m o 叩K s m 妒i sd i s c u s s e d ，a J l dt h e c o n c l u s i o nW h j c ht h e s p a c e o ff u z z y b o u n d e dH n e a r 叩e r a t o r si saf u z z yn o r m e dn n e a rs p a c ems e n s eo fF e l b 血i s p r o v e d A l s om en e c e s s i t ) ，a n ds u f ! f ：i c i e n c ) rm a tt h es p a c eo ff u z z yb o u n d e d l 試一 e a r 叩e r a t o r si saf u z z yB a J l a c hs P a c ei so b t a m e d M o r e o v e r ，n o r m p r e s e r V m g e x t e n S i o nm e o r e mu n d e rs o m ec o n d i t i o n si sp r o v e d A t1 a s t ，ar e l a t i v e l yd e e ps m d yo ft h ec o n c e p t sf o rs e V e r a lf u z z yb o u n d e d 1 i n e a ro p e r a t o r sh a V eb e e n 價(jià)t r o d u c eI l pt 0n o wi sc 刪e d0 u t ，a n dt h er e l a t i o n s a m o n g o fm e mi sd i s c u s s e d K e yw o r d s ：f L l Z z yn o r m e ds p a c e ；f u z z yb o u n d e dl i n e a r 叩e r a t o 巧f u z z yc o n _ t i l l u o u sH 1 1 e a ro p e r a t o 巧f u z z yn o m ；：F u z z yB a I 協(xié)c hs P a c e 第1 章引言 隨著科學(xué)技術(shù)的迅速發(fā)展，現(xiàn)代科技所面對的系統(tǒng)日益復(fù)雜，模糊性總是伴隨 著復(fù)雜性出現(xiàn)，而建立在經(jīng)典集合論基礎(chǔ)上的精確數(shù)學(xué)及隨機(jī)數(shù)學(xué)不能很好地描述 這些模糊性1 9 6 5 年美國控制論專家L A Z a d e h 教授【1 】發(fā)表了關(guān)于模糊集的開 創(chuàng)性論文，模糊數(shù)學(xué)作為一門新的學(xué)科誕生了把研究確定性對象的數(shù)學(xué)與不確定 性對象的數(shù)學(xué)溝通起來，實(shí)現(xiàn)了對模糊性進(jìn)行有效地定量描述，人們可以用精確的 數(shù)學(xué)方法來研究和處理模糊現(xiàn)象了模糊數(shù)學(xué)的發(fā)展近一步豐富和發(fā)展了經(jīng)典數(shù)學(xué) 的理論模糊數(shù)學(xué)理論及其應(yīng)用已取得巨大發(fā)展，在模糊分析學(xué)，模糊拓?fù)鋵W(xué)，模糊 代數(shù)學(xué)，模糊集合論等諸多領(lǐng)域都已取得了可喜得進(jìn)展，模糊數(shù)學(xué)已成為廣泛應(yīng)用 的新學(xué)科，吸引眾多學(xué)者專家從事這方面的理論和應(yīng)用研究，從而使模糊數(shù)學(xué)發(fā)展 為當(dāng)前十分活躍的學(xué)科之一 以L A Z a d e h 的模糊集合論為基礎(chǔ)，1 9 6 8 年C L C h a n g 【2 2 】引入了模糊拓?fù)洹?空間的概念，1 9 7 4 年C K W - 0 n g 【2 9 】在模糊拓?fù)淇臻g中引入模糊點(diǎn)及其鄰域概念， 但模糊點(diǎn)概念存在一定缺陷，給性質(zhì)的深入研究帶來許多局限性1 9 7 7 年蒲保明和 劉應(yīng)明【2 4 】首次突破傳統(tǒng)鄰域方法引入重域概念，并以重域基為工具對模糊拓?fù)?進(jìn)行系統(tǒng)而又深入地研究，使模糊拓?fù)鋵W(xué)的研究取得突破性進(jìn)展將模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu) 與線性結(jié)構(gòu)相結(jié)合，開展模糊拓?fù)渚€性空間的研究始于K a t s a r a s 與L i u 1 9 7 7 年 A K K a t s a r a s 與D B L i u 【2 3 】首次給出了模糊拓?fù)渚€性空間的定義，但存在一定 的不足，因該空間不具有平移不變性，無法進(jìn)行深入研究A K K a t s a r a s 【2 5 】后來 又利用R L o w e n 的滿層模糊拓?fù)涞母拍罱o出改進(jìn)的模糊拓?fù)渚€性空間的定義與 此同時(shí)，吳從忻，方錦暄先后給出了模糊拓?fù)渚€性空間的兩種定義，1 9 8 2 年又進(jìn)行 了再定義【2 7 】，以模糊點(diǎn)的重域系為工具展開了深入的研究吳從圻，方錦暄【2 7 】的 定義雖然在形式上與A K K a s a r a s 【2 5 】的定義有所不同，但這兩種定義實(shí)際上是等 價(jià)的1 9 9 7 年方錦暄和嚴(yán)從華【2 8 】引進(jìn)了厶模糊拓?fù)渚€性空間的概念，將模糊拓 撲空間的研究拓展到格上，進(jìn)行了相關(guān)深入地研究 1 第1 章引言 2 在初步建立模糊拓?fù)渚€性空間理論之后，作為模糊拓?fù)渚€性空間一種特殊情 形的模糊賦范空間，其研究很快引起學(xué)者的關(guān)注1 9 8 4 年吳從忻和方錦暄【3 0 】， A K K a s a r a S 【2 6 】分別引入了兩種模糊賦范空間的定義，其上的模糊拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)以 及Z a d e h 型模糊線性算子的研究得到了展開1 9 9 2 年F e l b i n 【3 】受o K a l e v a 和S S e i k k a l a 【2 】關(guān)于模糊度量空間的啟發(fā)定義了一種模糊范數(shù)為非負(fù)模糊數(shù)的模糊賦 范空間，2 0 0 3 年，B a g 與S 鋤趴t a 【2 0 】給出了一種基于概率范數(shù)的模糊賦范空間 最近，B a g 與S 鋤a n t a 【2 1 】對已有的各種模糊賦范空間的概念進(jìn)行深入地比較研究， 揭示了這些概念之間的關(guān)系，最后得到了如下結(jié)論：“上述所有的模糊賦范空間的 概念中，以F e l b m 意義下的模糊賦范空間及K a t s a r a s 意義下的模糊賦范空間最為 典型”此表明對上述兩種意義下的模糊賦范空間開展研究是非常有意義的肖建 中，朱杏華【1 5 】研究了F e l b i l l 意義下模糊賦范空間中由模糊范數(shù)誘導(dǎo)的分明線性 拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并討論了分明拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)下模糊賦范空間的一些性質(zhì)，如緊性，完備性等 肖建中，朱杏華【1 6 】中繼續(xù)深入研究模糊賦范線性空間上將分明集映到分明集的 經(jīng)典的模糊有界線性算子及模糊有界線性算子空間的若干性質(zhì)此外，M a s u oI t o h ， M u n e oC h o 【1 3 】和T B a g ，S K S a m a n t a 【1 9 】分別介紹了F e l b i n 意義下模糊賦范 線性空間上的另外三種經(jīng)典的模糊有界線性算子，并討論了相關(guān)性質(zhì)，取得一些較 為系統(tǒng)的成果徐國華【1 2 】文中研究了在F e l b 協(xié)意義下模糊賦范空間中由模糊范 數(shù)誘導(dǎo)的一種新的模糊線性拓?fù)浣Y(jié)構(gòu)，并討論了它的相關(guān)性質(zhì)，如收斂性，有界性， 稠密性，完備性等但還有一些性質(zhì)的研究尚未深入進(jìn)行，如相應(yīng)模糊賦范線性空 間上的模糊有界線性算子及其空間性質(zhì)的研究等等在以往的研究中，F(xiàn) e l b m 意義 下模糊賦范空間中模糊線性算子的研究，都是基于分明集之間的映射，甚至還不是 Z a d e h 型模糊線性算子，這與模糊分析學(xué)的研究是不相適應(yīng)的較為一般的模糊線 性算子的研究，可以追溯到1 9 8 8 年吳從忻與馬明【4 】的工作，1 9 9 6 年，方錦暄教授 將它推廣為模糊線性序同態(tài)，在模糊拓?fù)渚€性空間的研究中，已有的研究成果表明， 作為線性算子推廣的模糊線性序同態(tài)是非常理想的本文中模糊線性算子，我們采 用的是最為一般的模糊線性序同態(tài) 本文在徐國華【1 2 】中定義的模糊賦范空間的基礎(chǔ)上討論將模糊集映到模糊集 第1 章引言 3 的模糊有界線性算子的一些基本性質(zhì)，證明了模糊線性算子的有界性與連續(xù)性的 等價(jià)性，給出模糊有界線性算子的模糊范數(shù)的定義，證明了模糊有界線性算子空間 關(guān)于算子范數(shù)構(gòu)成F e l b i n 意義下模糊賦范空間，給出模糊有界線性算子空間成為 模糊B o n o c 九空間的充要條件及一定條件下算子的保范延拓性質(zhì)，同時(shí)還比較了 F e l b m 意義下模糊賦范空間中幾種模糊有界線性算子 本文是作者在碩士生學(xué)習(xí)期間工作的總結(jié)，主要內(nèi)容包括以下五個(gè)方面，論文 的大致框架如下： 第一章，介紹模糊賦范線性空間產(chǎn)生的背景和研究發(fā)展的現(xiàn)狀 第二章，作為預(yù)備知識(shí)，介紹模糊賦范線性空間的某些基本概念和性質(zhì)，模糊線 性算子的基本概念和運(yùn)算及有關(guān)記號(hào) 第三章，討論模糊有界性線性算子的一些基本性質(zhì)，證明了模糊線性算子的有 界性與連續(xù)性的等價(jià)關(guān)系 第四章，討論模糊有界線性算子空間，證明該算子空間為F e l b i n 意義下的模糊 賦范線性空間，此外給出該算子空間成為模糊B o 禮o c I l 空間的充要條件，及在一定 條件下算子的保范延拓定理 第五章，比較F e l b i n 意義下模糊賦范空間中幾種模糊有界線性算子，討論他們，_ 相互之間的關(guān)系 第2 章預(yù)備知識(shí) 本文中J ，如分別表示【o ，1 】，( o ，l 】，p 是x 上的所有模糊集組成的的集合，口 是x 上的零元，N 表示全體自然數(shù)的集合， z ) n N 為一個(gè)模糊點(diǎn)列對7 【o ，1 】， X 上取常值r 的模糊集記為匕設(shè)A p ，z A 是一個(gè)模糊點(diǎn)，P t ( p ) 為所有模糊 點(diǎn)的集合若A ( o ) 之A ，則稱z A 屬于A ，記為z A A ；若A ( z ) 1 一A ，則稱z A 重 于A ，記為。A 毛A ，反之若A ( z ) 1 一A ，則稱縱不重于A ，記為z A 聾A 用R 表示 實(shí)數(shù)域，R 上的映射7 7 ：R _ ，稱為模糊數(shù)，設(shè)模糊數(shù)的Q 一水平集表示為M a ，它 定義為M a = t RI 叩( t ) Q ) ，VQ ( o ，1 】，彤( ，) 表示所有上半連續(xù)的，正規(guī) 的，凸的，非負(fù)模糊實(shí)數(shù)組成的集合B 莎( X ，y ) 為所有模糊有界線性算子的集合， B 瓦( X ，y ) 為所有由固定序同態(tài)妒的模糊有界線性算子的集合 定義2 1 ( 【3 】) 設(shè)x 為R 上的線性空間，| l 0 ：x _ 彤( J ) 是一個(gè)映射，又 設(shè)厶冗：【o ，1 】 o ，1 】_ 【o ，1 】是關(guān)于兩個(gè)變元對稱的，不減的二元函數(shù)，滿足： L ( o ，o ) = o ，R ( 1 ，1 ) = 1 記z | l 】口= 【她嶺，忙，Vz x ，口( o ，1 】，又設(shè)存在不 依賴z 的Q o ( o ，1 】，使得對所有的z x 【口) ，有 ( A ) I l z | | 呈 o 如果| I 0 還滿足： ( F 一1 ) 忙I I ：石當(dāng)且僅當(dāng)z ：伊，此處6 ( 亡) ： 1 。_ o 【o t o ( F 一2 )0 七z 0 = I 后II I z l l ，z x ，尾R ( F 一3 ) Vz ，可x ，成立 ( o ) sSJ I z I I i ，t I | y | I i ，且s + t I I z + 可l l i ，有I I z + 可I I ( s + t ) L ( 1 | z | l ( s ) ，I l I I ( ) ) ； ( 6 ) s I I z I I i ，舌I I 可I l ，且s + t f I z + 可I I ，有I I 。+ l I ( 8 + ) 月( I l z I l ( s ) ，I I I I ( t ) ) 則稱”I I 為x 上的模糊范數(shù)，稱( x ，”I I ，厶R ) 為模糊賦范空間 4 第2 章預(yù)備知識(shí) 5 注記2 1 條件( A ) Va ( o ，1 】，忙峪 o ，定義x 上的模 糊集如下：展( z ) = s u p l Q ：忙峪 o ，展( z ) = s u p 【l a ：I I z 0 口2 o ) 為基坯( Q L ) 一型，一拓?fù)渚€性空間 引理2 3 ( 【1 2 】) 設(shè) z 5 ：) ) n 為( x ，0 0 ，厶兄) 中的模糊點(diǎn)列，z A 是x 中的模 糊點(diǎn)則z 5 ：? _ z A = 號(hào)挫恐I I z n 一zI | ；“= o 且桌罷入n2A n n 定義2 3 ( 【1 2 】) 設(shè)( x ，少) 為，拓?fù)渚€性空間，J 4 p ，如果對每個(gè)入( o ，1 】 及以的任一Q 一重域u ，存在亡 o 及7 ( 1 一入，1 】，使得An c 亡u 則稱A 為 羅一有界的模糊集 定義2 4 ( 【5 】) 設(shè)( x ，”I l ，厶兄) 為模糊賦范空間，A p ，則A 是昂I I - 有界 的，當(dāng)且僅當(dāng)對每個(gè)A ( o ，1 】，刪z 吲z 口乏A ，Q A ，1 】) 是R 中有界集 第2 章預(yù)備知識(shí) 6 定義2 5 ( 【1 2 】) 設(shè)【z 5 ：? ) 為( x ，”I l ，厶R ) 中c 。仳c 切點(diǎn)列，當(dāng)且僅當(dāng)概入n = 肛 o 且V 入( o ，1 ) ，有l(wèi) Iz ( n ) 一z ( m ) 峪一o ( m ，他_ O 。) 定義2 6 ( 【1 】) 設(shè)，：x _ y 是一個(gè)普通的映射，則能被擴(kuò)張成莎( x ) 記為： 當(dāng)A 莎) 時(shí) 廠。+ c A ，c 可，= 霉案們A ( z ：，二! ：二 ，( B ) ( z ) = B ( ， ) ) B ：尹( y ) ， ( A + B ) ( z ) = s u pm i n ( A ( s ) ，B ( ) ) ， ( 后A ) ( z ) = A ( z 后) 鳧o ， ( 。A ) ( z ) ： ：醬A 。) z = 以 I o z 口 z A + 鼽= ( z + 可) m i n ( ，m ， 定義2 7 ( 【7 】) 如果映射妒：j 一，滿足： ( 1 )妒( 0 ) = 0 ； ( 2 )妒為保并的，即妒( V 毗) = V 妒( 吼) ； ( 3 ) 妒一1 為保逆合的，即對V6 J ，妒一1 ( 6 ，) = ( 妒一1 ( 6 ) ) ； 其中妒一1 ( 6 ) = V 【口JI 妒( o ) 6 ) 則稱妒為序同態(tài) 第2 章預(yù)備知識(shí) 7 定義2 8 ( 【7 】) 設(shè)x ，y 是數(shù)域K 上的兩個(gè)向量空間，映射F ：羅( x ) _ 歲( y ) 為序同態(tài)，滿足：F ( Q A + p B ) = Q F ( A ) + p F ( B ) ，W ，B 莎( x ) ，口，盧K 則稱 F 為一個(gè)模糊線性序同態(tài) 引理2 4 ( 【7 】) 設(shè)x ，y 為兩個(gè)向量空間，F(xiàn) ：廬( x ) _ 伊( y ) 為模糊線性序同 態(tài)令j 一個(gè)通常的線性算子，：X _ y 和一個(gè)序同態(tài)妒：J _ J 使得F 是一個(gè) 關(guān)于，和妒的雙線性映射，即F ( A ) ( 秒) = V 妒( A ( z ) ) ，A 莎( x ) ，可y ，仁) = v 定義2 9 ( 【7 】) 設(shè)x ，y 是數(shù)域K 上的兩個(gè)向量空間，映射F ：P t ( J x ) _ P t ( ，y ) 滿足： ( 1 ) F ( Q z A + p 軌) = a F O A ) + p F ( p ) ； ( 2 ) F ( 目v 沁) = VF ( p A 。) ； ( 3 ) 夕t F 一1 ( 以，) = 【 夕t F 一1 ( 以) 】7V 入( o ，1 ) 其中F 一1 ( 縱) = U 莎( x ) ：F ( ) c 叭) ， 9 以= s u pA ( z ) 則稱F 為一個(gè)模糊線性算子 引理2 5 ( 【7 】) F ：R ( P ) 一P t ( ，y ) 為模糊線性算子乍令| 一個(gè)通常的線性算 子，：x _ y 和一個(gè)序同態(tài)妒：，一，使得F ( z A ) = ( ，( z ) ) 妒( A ) ，Vz A 尸t ( p ) 記F = ( ，妒) 。 注記2 4 從【6 】中知每個(gè)模糊線性序同態(tài)可由一個(gè)模糊線性算子唯一確定，反 之成立故可將模糊線性序同態(tài)與模糊線性算子視為同一，模糊線性算子為模糊線 性序同態(tài)的點(diǎn)式刻劃 引理2 6 ( 【8 】) 設(shè)( ，妒) _ + ：莎( x ) _ 莎( y ) 為模糊序同態(tài)，z A P t ( p ) ，A 莎( x ) ，B 莎( y ) ，r ( o ，l 】貝U ( 1 )( ，妒) 。( z A ) = ( ，( z ) ) 妒( A ) ( 2 )( ，妒) 。( B ) ( z ) = 妒- 1 ( B ( 廠( z ) ) ) ( 3 )( ，妒) 。( An D = ( ，妒) 。( A ) n 妒( r ) ( 4 )( ，妒) 。( A n 妒一1 p ) ) c ( ，妒) 。( A ) n 第2 章預(yù)備知識(shí) 8 引理2 7 ( 【1 0 】) 設(shè)妒：J _ ，為序同態(tài)，入，p ，s J 則 ( 1 )p 1 一A號(hào)妒( 肛) 1 一妒( A ) ； ( 2 )妒( p ) 1 一入 專妒一1 ( 入) 1 一p ； ( 3 ) 妒- 1 ( s ) r 凈妒( r ) 1 一Q ，于是妒( u ( z ) ) 1 一妒( a ) ，即( ，妒) _ + ( z 口) 毛( ，妒) 。( U ) ( 2 ) z n 乏( ，妒) 。( y ) 督( ，妒) 。( y ) ( z ) = 妒一1 ( y ( ，( z ) ) ) 1 一Q 甘 妒( Q ) 1 一y ( ， ) )錚y ( ， ) ) l 一妒( 口) 車= 爭( ，妒) 。( z 。) 乏礦 ( 3 ) 因( ，妒) 。( u ) 盛y ，從而了鯫萑( ，妒) 。( u ) ，但軋隹礦由鼽毛( ，妒) 。( u ) ， 知( ( ，妒) _ + ( u ) ) 白) 1 一p 于是V 妒( U ( 名) ) 1 一p ，即j 翔x ，滿足 廠( 勁) = 可，使得妒( u ( 徇) ) 1 一肛辛 【廠( 詢) 1 一妒一1 ( p ) 凈絢I P 一- ( p ) 乏u 令 z a = 細(xì)妒一- ( p ) ，由( 1 ) 有( ，妒) 。( z 口) 乏( ，妒) 。( U ) 又由鯫譬y 號(hào)y ( ) 1 一p 1 一妒妒。( p ) = 爭 蜘I P 一- ( p ) 隹y 即( ，妒) 。( 銣一- ( p ) ) 隹y = 爭 ( ，妒) ( z 口) 隹y 定理3 1 設(shè)( x ，1 1 1 1 1 厶R ) ，( VI I 恢厶R ) 為兩個(gè)模糊賦范空間，A p ， ( ，妒) 。：P t ( J x ) 一R ( ，y ) 為模糊線性算子，( ，妒) 。( A ) 為妒( 入) 一模糊有界車號(hào) 刪廠( z ) 0 筻o 。lz 口毛A ，口隊(duì)，1 捋為R 中有界，V 入( o ，1 】 證明：哥對V A ( o ，1 】，因( ，妒) _ + ( A ) 是妒( 入) 一有界模糊集，G 為吆A ) 的 9 第3 章模糊有界線性算子 1 0 t 鄉(xiāng)i 1 。重域，了亡 o ，r ( 1 一妒( A ) ，1 】，使得( ，妒) 。( A ) n c 亡a 對Vz 口萑A ，Q 入，1 】由弓I 理3 1 知，( ，妒) 。( z a ) 乏( ，妒) 。( A ) 由于a 隊(duì)，l 】凈 妒( a ) 妒( 入) 凈 7 + 妒( Q ) 1 一妒( A ) + 妒( A ) = 1 冷 ( ，妒) 。( ?？? 乏( ，妒) - + ( A ) n 號(hào) ( ，妒) 一( z 口) 乏t q = G 從而有I I ，( z ) 愷a ) 1 一妒( A n ) ， 有妒( A n ) 妒( A o ) 一g n 叢筍= l 一( 1 一亟筍) = 爭1 一A n 1 一妒一1 ( 1 一掣) ，于是jE 7 o ，使得h 1 一妒- 1 ( 1 一掣) + g 1 一妒一1 ( 1 一掣) 由伯 1 一妒( k ) ，“遞減趨于o ，故j N ，對V 幾，使得 r o 1 一妒( 入o ) + 1 一妒( 入o ) ，進(jìn)一步地，有伽 1 一妒( A o ) + 。 1 一妒( A 。) ，故有 ( 妒) 。( z 5 ：) ) 套魚兮( ，妒) 。( z 5 ：) ) 疊佗Q 。= c k 。所以I I ，( z ( n ) 幢k 眥o ( 佗 ) 辛 l I 廠( z ) | I 曼a Iz 。萑A ，Q 【1 一妒_ 1 ( 1 一掣) + E 7 ，1 】) 在R 中無界，與假設(shè)產(chǎn) 生矛盾 定理3 2 設(shè)( x ，”1 1 1 ，L ，冗) ，( y ，l | 恢厶R ) 為兩個(gè)模糊賦范空間，( ，j 妒) 。： P t ( P ) 一P 亡( ，) 為模糊線性算子，則下面幾個(gè)條件等價(jià)： ( 1 ) ( ，妒) 。模糊有界； ( 2 ) 對V o ，入( o ，1 】( ，妒) _ + ( 最) 是妒( A ) 一有界模糊集； ( 3 ) 對VA ( o ，1 】，( ，妒) 。( B 1 ) 是妒( 入) 一有界模糊集 證明：( 1 ) 號(hào)( 2 ) 對V o ，入( o ，l 】，展為| 鄉(xiāng)i i I I 。有界，則展為A 一有界模 糊集( ，妒) 。為模糊有界線性算子號(hào)( ，妒) 。( B ) 為妒( 入) 一有界模糊集 ( 2 ) 兮( 3 ) 取s = 1 即可得( 廠，妒) 。( B 1 ) 為妒( A ) 一有界模糊集 第3 章模糊有界線性算子 1 1 ( 3 ) 號(hào)( 1 ) 對V 入( o ，l 】，A p 為鄉(xiāng)i i 。有界，即A 為入一有界模糊集 V o ，展為以的鄉(xiāng)i l 1 l 。重域，于是| t o ，p ( 1 一入，1 】，使得A pc 亡展= 玩 當(dāng)然成立( ，妒) 。( A 人p ) c ( ，妒) 。( 玩) = 紀(jì)( ，妒) - + ( B 1 ) 因( ，妒) 。( B 1 ) 為妒( A ) 一 有界模糊集對吆 ) 的任一重域G 互存在s o ，( 1 一妒( A ) ，1 】，使得 ( ，妒) 。( B 1 ) 八芝cs G ，y 記a = m i n 妒) ，y ) ，由引理3 1 ，知口 l 一妒( A ) 故有 ( ，妒) 。( A ) g = ( ，妒) 。( A p ) 芝c 拓( ，妒) - + ( B 1 ) 人芝ct s E 餃 ，y 此表明( ，妒) 。( A ) 為妒( 入) 一有界模糊集，即( ，妒) 。為模糊有界線性算子 定理3 3 設(shè)( x ，”| 1 1 厶R ) ，( KI I 恢厶R ) 為兩個(gè)模糊賦范空間，模糊線性算 子( ，妒) 。：尸t ( p ) 一P t ( J y ) 為連續(xù)的號(hào)當(dāng)模糊點(diǎn)列z 5 ：? 旦罵z 時(shí)，有 ( ，妒) 。( z 5 ：7 ) 業(yè)( ，妒) 1 ( z A ) 證明：號(hào)對( ，妒) 1 ( z A ) 的任意| 鄉(xiāng)i i 。重域y ，存在z 的t 鄉(xiāng)i i I l 。重域u ，使得 ( ，妒) 。( ) cy ，當(dāng)z 是! 坐kz A 時(shí)，| N ，對Vn ，有z 廷乏u 于是有 ( 廠，妒) 。( z 東) 萑( ，妒) 。( u ) cy 故( ，妒) 。( z 掣) 二墜與( ，妒) 。( z ) 乍設(shè)( ，妒) 1 不連續(xù)，于是存在( ，妒) 。( z A ) 的玩。重域y ，對z A 的任意 | 鄉(xiāng)i l 。重域u ，總有( ，妒) 。( U ) 仁y 即U 茌( ，妒) ( y ) ，則對V n N ，7 ( 1 一A ，1 】， 有z + B 丟人茹( ，妒) 。( y ) 取z 5 ：) 乏z + B 砉 己但z 5 ：) 譬( ，妒) 。( y ) ，由此可知， ( 廠，妒) 。( z 2 ) 磊y 因z 5 ：) 乏z + B 去 易我們有z 5 ：? 旦業(yè)z ，由充分性的假設(shè)可知， ( ，妒) 。( z 2 ) 型當(dāng)( 廠，妒) 。( z A ) 此與( ，妒) 。 5 ：? ) 隹y 產(chǎn)生矛盾所以模糊線性算 子( 妒) 。：P t ( J x ) 斗尸t ( ，y ) 是連續(xù)的 定理3 4 設(shè)( x ，”1 1 1 ，L ，兄) ，( V ”l | 2 ，厶冗) 為兩個(gè)模糊賦范空間，( 妒) _ + ： P t ( p ) _ P 亡( ，y ) 為模糊線性算子，( ，妒) 。連續(xù)，則對Vp ( o ，1 】，：( x ，I I I I 也) _ ( y ，”I 隧“ ) 在入【p ，1 】等度連續(xù) 證明：對Vz x ， o ，p ( o ，1 】及任意，y ( 1 一妒( p ) ，1 】，因，( z ) + Q 八，y 是( ，妒) 。( 唧) 的鄉(xiāng)i | ：重域及( 廠，妒) 。的連續(xù)性，知j6 o ，7 ( 1 一肛，1 】，使得 ( ，妒) 。( o + 風(fēng)人) c ，( z ) + Q 7 第3 章模糊有界線性算子 對VA 阻，1 】，且忙一圳如 1 一p ，有r 1 一入，從而 一可) A 萑故有( z 一耖) A 萑風(fēng) D 即有 樅乏z + 風(fēng)八據(jù)引理3 1 ，有( 廠，妒) ( 弧) 乏( ，妒) 。( 茁+ 風(fēng)八dc ，( z ) + Q 7 于 是有( ，( z ) 一，( ) ) 妒( A ) 萑G 人2cQ 進(jìn)一步地，有I I ，( z ) 一，( ) I l 爨“ o ，使得對VA p ，1 】，當(dāng)| | z 一! ，l I 趙 1 一妒( A ) ，即( ，妒) 。( A ) 為妒( 入) 一有界，此表 明( - 廠，妒) 。為模糊有界線性算子 仁假設(shè)( ，妒) 。有界但不連續(xù)V 入( o ，1 】，jQ ( o ，妒( A ) ) ，取( o ，妒( A ) 一 Q ) ，遞減趨于o ，令p n = 1 一妒( 入) + ，可以驗(yàn)證集族 丟B 王人妒_ 1 ( ) I 禮N 為以的碭。重域基由假設(shè)( ，妒) 。不連續(xù)，故jA ( o ，1 】和吆A ) 的碭f f 。重域 Q 。八魚使得( ，妒) 。( 去B 擊 竺玉越) 茌G 。八堡即 B 砉 竺二：( 絲竺2 茌( ，妒) 。( 佗c ：。 薊 于是jz 5 ：) 萑B 丟 竺塑但z 5 ：) 霉( ，妒) ( 佗G 。八魚) 因z 5 ：) 乏竺塑 凈 妒一1 ( p 。) 1 一入n = 爭乒h 1 一妒( 入n ) ，即1 一妒( A ) + g n 1 一妒( A 。) 專 妒( 入n ) 妒( 入) 一E n Q = 爭妒( A n ) 1 一( 1 一Q ) = 爭1 一入n l 一妒一1 ( 1 一口) 從而| 0 ，使得k 1 一妒一1 ( 1 一a ) + 1 一妒一1 ( 1 一a ) 由z 5 ：) 隹( ，妒) 。( 佗G 。八魚) 兮( ，妒) 。( z 對) 隹扎 魚因禮G 。 堡是吆A ) 的t 鄉(xiāng)i i 。重域，r 0 1 一妒( 入) ，因n 遞減趨于o ，兮j N ，對V 禮，有 咱 1 一妒( A ) + 住 l 一妒( 入) ，進(jìn)一步地有伯 1 一妒( 入) + n 1 一妒( h ) 于是有 第3 章模糊有界線性算子 1 3 ( ，妒) 。( z 5 ：? ) 乏魚則( ，妒) 。( z 2 ) 躉n c ：。= G 瞻。令0 ，( z ) l I 曼h 船o ( n ) 令刪，( z ) l I 蘢口Iz n 乏B 丟，Q 【1 一妒一1 ( 1 一a ) + 1 】) 在R 上無界，由定理3 1 知 ( ，妒) 。( B 擊) 無界，但由定理3 2 及( ，妒) 。有界，知( ，妒) 。( B 擊) 有界，產(chǎn)生矛盾結(jié) 論為真 定理3 6 設(shè)( x ，I I | 1 1 ，厶兄) ，( I | I | 2 ，L ，兄) 為兩個(gè)模糊賦范空間，( ，妒) 。： P t ( p ) _ P t ( ，) 為模糊線性算子，( ，妒) 。有界錚Vp ( o ，l 】，有，：，” 0 乞) _ ( l I 1 I 曼“ ) 在A p ，1 】等度有界，即對V 入【p ，1 】，jM = M ( 肛) ，使得 V z x ，I I ，( z ) I I 爨A ， o ，對任意A 【肛，1 】，當(dāng)忙0 乞 o ，使得J J 廠( z o ) J J 爨糊 洲z oJ l 招此時(shí)有 l | 囂I l 翹 0 ( ，妒) 。+ ( 9 ，妒) 。I I 。( s + 亡) 一于是s + 亡【o ，I I ( ，妒) 。+ ( 夕，妒) 。I I ( 口) 】注意到 s + t I I ( ，妒) 。+ ，妒) 。I I ( Q ) I | ( ，妒) 。I I ( a ) + I l ( 9 ，妒) 。l I ( 口) 故有s 0 ( 廠，妒) 。I I ( Q ) 或亡l l ( 夕，妒) 。0 ( ) ，即I I ( ，妒) 。I r ( s ) Q 或l l ( 夕，妒) 1 0 + ) Q 所以 m a X I I ( 廠，妒) 。I r ( 8 ) ，0 0 ，妒) 。0 + ( t ) ) Q I I ( ，妒) 。+ ( 夕，妒) 。I r ( s + 亡) 一E 由的任意性，得I I ( ，妒) + ( 夕，妒) 。曠( s + t ) m a X 刪( ，妒) 。曠( s ) ，I I ( 夕，妒) 1 阜( t ) ) 第4 章模糊有界線性算子范數(shù)及空間 1 9 由定義證得0 ( ，妒) 曠為B 玩( x ，y ) 上模糊算子范數(shù)，( B 玩( x ，y ) ，0 憶L ，m 口z ) 為模糊賦范空間 定理4 2 設(shè)( x ，| | 憶厶R ) ，( KI I 1 1 2 ，L ，R ) 為兩個(gè)模糊賦范空間，冗m 喲則 ( B 玩( x ，y ) ，I I I I 。，L ，m a X ) 為模糊B o 佗口眈空間告專( y 1 2 ，厶冗) 為模糊B o n 口c 九 空間 證明： 昔設(shè)( B 玩( x ，y ) ，0 I I ，L ，m a X ) 為模糊J E i n n o c 空間由x 口) ，jz 。x 且忙。l I 2 = 1 再由( x ，1 1 I I 2 ) 為分明賦范空間，由H o 危幾一B n n n c 定理，j ，( x ，忙。I I 2 ) ，使得廠( z 。) = I I 文| I i 2 = 1 = I I ，I I 設(shè)_ 【可2 ) 為( y 0 恢L ，R ) 中任意模糊C 口u c 幻列，則l i mA n = p ，且對V 入( o ，1 】，j N ，使得 當(dāng)m ，他，總有 0 暑，( n ) 一可( m l I 爨A ) t 又 IJ y ( n ) 一夕J | 爨k ) = J J 廠( t I ( z 。) 一9 ( z 。) | J 爨h I J ( 廠( n ) 一夕，妒) 。| l ( 入。) I | 以I | 掃 I I ( ，m ) 一夕，妒) 。0 ( 入n ) l l z 。| I i 2 此表明芝一釓，即( V | | 1 1 2 ，厶R ) 為模糊B o 禮o c 空間 仁設(shè) ( ，( 川，妒) ) 為( B 昂( x ，y ) ，J | 憶厶R ) 中任意模糊G D 牡洗3 ，列，且 l i mk = p o 對V 入( o ，1 】， o ， | N ，使得當(dāng)Vm ，n 時(shí)，有J J ( ，( 刪，妒) 。一( ，( ，妒) 。J | ( 入) t 取= m a X 1 ，2 ) ，當(dāng)n 時(shí)，有 I I ( ，) 一，妒) 。I I ( A n ) I I ( ，m ) 一，妒) 。I I ( t ) g 即( ，( 川，妒) 毫_ ( ，妒) 7 ，故( B 昂( x ，y ) ，”n 厶R ) 為模糊B o n o c 九空間 定理4 3 設(shè)( x ，”I I l ，L ，R ) ，( K ”| 1 2 ，厶兄) 為兩個(gè)模糊賦范空間，且( K ” 恢厶R ) 為模糊B o n 口撫日口u s d D r ，空間，知cx 為分明集且在( x ，| I 憶L ，R ) 上層層一致稠密，( ，妒) 。 氣( ，y ) ，則存在唯一( 夕，妒) - B 昂( x ，y ) ， 使得( ，妒) 。( z A ) = 0 ，妒) 。( z A ) ，Vz A 尸t ( ，) 且I I ( 廠，妒) 臚= I I ( 9 ，妒) 。| | 證明：因弱在( x ，”1 1 1 ，厶R ) 上層層一致稠密，對Vz x ，j 【z ( n ) ) c 凰， 使得V 入( O ，1 】，有 忙( “) 一z I I 如_ o ，_ 。o ) ( 4 4 ) 于是當(dāng)m ，佗一，有I l z ( n ) 一z ( 仇I I 也一o 由引理4 1 知，對V 入( o ，1 】，有 I I ，( z ( n ) 一，( z ( 仇) I l 爨A ) = | I ，0 ( 竹) 一z ( m ) I I 曩 ) 0 ( 廠，妒) 。I I ( A ) 忙( n ) 一z ( m I I 乞_ o ，( m ，n _ o o ) ( 4 5 ) 即【，( z ( n ) ) P ( A ) ) 是y 中模糊C o 仳c 幻列因( I I 1 1 2 ，厶R ) 為模糊B o 扎o c 九空間， 存在秒y ，使得廠( z ( n ) ) 妒( A ) _ 妒( A ) 定義映射夕：x y ，夕( z ) = ! ，下證與z ，( ，妒) 1 有關(guān)，但與 z 0 ) 的選擇無 關(guān)取名( “) ，使得對V 入( o ，1 】，有I I z ( n ) 一z 0 乞_ o ，即名，_ z A ，( 佗_ 。o ) 采用與上述證明一樣的方法，| 叫y ，使得，( z ( n ) ) l P ( A ) _ 叫壚( A ) ，( n 葉o 。) 令 u ( n ) = z ( n ) 一z ，有 I I u ( n ) 一目| f 趨I I z ( “) 一z I | 詫+ I I z ) 一z l I 趨_ o ，( n _ o o ) ，V 入( o ，1 】 即u 0 _ 以因( 廠，妒) 。B 昂( ，y ) ，有( ，妒) 。( u 0 ) 一吆A ) 又 第4 章模糊有界線性算子范數(shù)及空間 ( ，妒) 1 ( 仳，) = ( ，妒) - + ( ( z ( n ) 一名加) ) = ，( z ( n ) P ( A ) 一，( 名( n ) I p ( A ) 一 一伽) I P ( A ) 因( V ”1 1 2 厶冗) 為日n u s d 卯，空間，有 一叫) 妒( A ) = 吆A ) 兮剪= 叫 ( 9 ，妒) _ + 顯然為從P t ( p ) 映射到P 亡( ，) 的模糊線性算子( 9 ，妒) 。( z A ) = ( ，妒) 。( z A ) ，Vz A P t ( J x 0 ) 事實(shí)上，對Vz x o ，取z ( n ) = z ，V 佗，易知 z 妒_ z A ，VA ( o ，l 】由夕的定義，( ，妒) 。( z ，) = ( ，( z ( n ) ) ) 妒( A ) _ 9 ( z ) 妒( A ) 由( ，妒) ( z 0 ) = ( ，妒) 。( z A ) = ( ，( z ) ) I P ( A ) ，推知，夕( z ) = ，( z ) ，Vz 由( 4 4 ) 式，有川z ( ”) I I 趙一忙I I 乜l I I z ( n ) 一z I I 也_ o 即對V 入( o ，1 】，有 j i 哩忖n ) 嗆= 惻盼 由( 4 5 ) 式，有l(wèi) | | 廠( z ( n ) 0 曼舢一怕( z ) 0 曼A I I I ，( z ( n ) 一夕( z ) 0 曼A ) _ o 即對 VA ( o ，1 】，有l(wèi) i ml l ，( z ( n ) | I 曼“ = l I 夕