高考數(shù)學(xué)知識(shí)點(diǎn)大總結(jié).pdf

- 1 - 高一數(shù)學(xué)必修 1 知識(shí)網(wǎng)絡(luò) 集合 1 2 3 4 12 n xAxBABAB AnA （）元素與集合的關(guān)系：屬于（）和不屬于（） （ ）集合中元素的特性：確定性、互異性、無序性 集合與元素 （ ）集合的分類：按集合中元素的個(gè)數(shù)多少分為：有限集、無限集、空集 （ ）集合的表示方法：列舉法、描述法（自然語言描述、特征性質(zhì)描述）、圖示法、區(qū)間法 子集：若，則，即 是 的子集。 、若集合 中有 個(gè)元素，則集合的子集有個(gè)， 注 關(guān)系 集合 集合與集合 00 (2 -1) 2 3, , ,. 4 / n AA A B CABBCAC ABABxBxAAB ABABAB ABx xAxB AAAAABBAAB 真子集有個(gè)。 、任何一個(gè)集合是它本身的子集，即 、對于集合如果，且那么 、空集是任何集合的（真）子集。 真子集：若且（即至少存在但），則 是 的真子集。 集合相等：且 定義：且 交集 性質(zhì)：， 運(yùn)算 , / ()( )( )-() / ()()()()()() U UUUUUUU A ABBABABA ABx xAxB AAAAAABBAABA ABBABABB Card ABCard ACard BCard AB C Ax xUxAA C AAC AAUCC AACABC AC B ， 定義：或 并集 性質(zhì)：， 定義：且 補(bǔ)集 性質(zhì)：， ()()() UUU CABC AC B - 2 - 函數(shù) , , ABAx ByfBAB xyx fyyxy 映射定義：設(shè)，是兩個(gè)非空的集合，如果按某一個(gè)確定的對應(yīng)關(guān)系，使對于集合中的任意一個(gè)元素， 在集合中都有唯一確定的元素與之對應(yīng)，那么就稱對應(yīng)：為從集合到集合的一個(gè)映射 傳統(tǒng)定義：如果在某變化中有兩個(gè)變量并且對于在某個(gè)范圍內(nèi)的每一個(gè)確定的值， 定義按照某個(gè)對應(yīng)關(guān)系都有唯一確定的值和它對應(yīng)。那么就是 的函數(shù)。記作 函數(shù)及其表示 函數(shù) (). ,()()(), 1212 ()()(), 12 fx a ba xxbfxfxfxa ba b fxfxfxa ba b a 近代定義：函數(shù)是從一個(gè)數(shù)集到另一個(gè)數(shù)集的映射。 定義域 函數(shù)的三要素值域 對應(yīng)法則 解析法 函數(shù)的表示方法列表法 圖象法 單調(diào)性 函數(shù)的基本性質(zhì) 傳統(tǒng)定義：在區(qū)間上，若如，則在上遞增 ,是 遞增區(qū)間；如，則在上遞減 ,是的遞減區(qū)間。 導(dǎo)數(shù)定義：在區(qū)間 ()1() 2()() 00 ,() 0(),() 0 (), yfxIMx IfxM xIfxMMyfx bfxfxa ba bfx fxa ba b 最大值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)?，如果存在?shí)數(shù)滿足：（）對于任意的，都有； （ ）存在，使得。則稱是函數(shù)的最大值 最值 最 上，若，則在上遞增 ,是遞增區(qū)間；如 則在上遞減 ,是的遞減區(qū)間。 ()1() 2()() 00 (1)()(),() ( 2)()(),() yfxINx IfxN xIfxNNyfx fxfxxDfx fxfxxDfx 小值：設(shè)函數(shù)的定義域?yàn)椋绻嬖趯?shí)數(shù)滿足：（）對于任意的，都有； （ ）存在，使得。則稱是函數(shù)的最小值 定義域，則叫做奇函數(shù)，其圖象關(guān)于原點(diǎn)對稱。 奇偶性定義域，則叫做偶函數(shù)，其圖 ()()()(0)() () 1 ,() 11 2 y fxfx TfxTfxT Tfx yy xa xyfx a a 象關(guān)于軸對稱。 奇偶函數(shù)的定義域關(guān)于原點(diǎn)對稱 周期性：在函數(shù)的定義域上恒有的常數(shù)則叫做周期函數(shù)，為周期； 的最小正值叫做的最小正周期，簡稱周期 （ ）描點(diǎn)連線法：列表、描點(diǎn)、連線 向左平移個(gè)單位： 向右平移個(gè) 平移變換 函數(shù)圖象的畫法 （ ）變換法 ,() 11 ,() 11 ,() 11 101 1 1/() 1 1)01) 1 yy xa xyfx a bxx ybyy bfx bxx ybyy bfx xww wxwxyfwx yAA 單位： 向上平移個(gè)單位： 向下平移個(gè)單位： 橫坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的橫坐標(biāo)縮短（當(dāng)時(shí)）或伸長（當(dāng)時(shí)） 到原來的倍（縱坐標(biāo)不變），即 伸縮變換 縱坐標(biāo)變換：把各點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸長（或縮短（到 /() 1 22 1010 (,)2( 2) 0000 22 1010 22 1010 ( 2) 00 11 11 2( 00 22 1010 A yyAyfx x xxxxx xyyyfxx yyyyyy x xxxxx xxyfxx yyyy x xxx yyyyf yyyyyy 原來的倍 （橫坐標(biāo)不變），即 關(guān)于點(diǎn)對稱： 關(guān)于直線對稱： 對稱變換 關(guān)于直線對稱： ) 1 1 () 1 x x x yxyfx yy 關(guān)于直線對稱： - 3 - 附： 一、函數(shù)的定義域的常用求法： 1、分式的分母不等于零；2、偶次方根的被開方數(shù)大于等于零；3、對數(shù)的真數(shù)大于零；4、 指 數(shù) 函 數(shù) 和 對 數(shù) 函 數(shù) 的 底 數(shù) 大 于 零 且 不 等 于1 ； 5 、 三 角 函 數(shù) 正 切 函 數(shù)tanyx中 () 2 xkkZ；余切函數(shù)cotyx中； 6、如果函數(shù)是由實(shí)際意義確定的解析式，應(yīng)依據(jù) 自變量的實(shí)際意義確定其取值范圍。 二、函數(shù)的解析式的常用求法： 1、定義法； 2、換元法； 3、待定系數(shù)法；4、函數(shù)方程法；5、參數(shù)法； 6、配方法 三、函數(shù)的值域的常用求法： 1、換元法； 2、配方法； 3、判別式法；4、幾何法； 5、不等式法；6、單調(diào)性法； 7、直接 法 四、函數(shù)的最值的常用求法： 1、配方法； 2、換元法； 3、不等式法；4、幾何法； 5、單調(diào)性法 五、函數(shù)單調(diào)性的常用結(jié)論： 1、若( ),( )f xg x均為某區(qū)間上的增（減）函數(shù)，則( )( )f xg x在這個(gè)區(qū)間上也為增（減） 函數(shù) 2、若( )f x為增（減）函數(shù)，則( )f x為減（增）函數(shù) 3、若( )f x與( )g x的單調(diào)性相同，則 ( )yf g x是增函數(shù)；若( )f x與( )g x的單調(diào)性不 同，則( )yf g x是減函數(shù)。 4、奇函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在對稱區(qū)間上的單調(diào)性相反。 5、常用函數(shù)的單調(diào)性解答：比較大小、求值域、求最值、解不等式、證不等式、作函數(shù)圖 象。 六、函數(shù)奇偶性的常用結(jié)論： 1、如果一個(gè)奇函數(shù)在0 x處有定義，則(0)0f，如果一個(gè)函數(shù)( )yf x既是奇函數(shù)又 是偶函數(shù)，則( )0f x（反之不成立） 2、兩個(gè)奇（偶）函數(shù)之和（差）為奇（偶）函數(shù)；之積（商）為偶函數(shù)。 3、一個(gè)奇函數(shù)與一個(gè)偶函數(shù)的積（商）為奇函數(shù)。 4、兩個(gè)函數(shù)( )yf u和( )ug x復(fù)合而成的函數(shù)，只要其中有一個(gè)是偶函數(shù)，那么該復(fù)合 函數(shù)就是偶函數(shù)；當(dāng)兩個(gè)函數(shù)都是奇函數(shù)時(shí)，該復(fù)合函數(shù)是奇函數(shù)。 5 、若函 數(shù)( )f x的定 義域關(guān)于 原 點(diǎn)對稱 ，則( )f x可以 表示 為 11 ( )( )()( )() 22 f xfxfxf xfx，該式的特點(diǎn)是：右端為一個(gè)奇函數(shù)和一個(gè)偶 函數(shù)的和。 - 4 - ,()0() (),()()0, (),(,),()0, ()0 ()0 yfxfxxyfx yfxabfafb yfxabcabfcc fx fx 零點(diǎn)：對于函數(shù)（ ） 我們把使的實(shí)數(shù)叫做函數(shù)的零點(diǎn)。 定理：如果函數(shù)在區(qū)間上的圖象是連續(xù)不斷的一條曲線，并且有 零點(diǎn)與根的關(guān)系那么，函數(shù)在區(qū)間內(nèi)有零點(diǎn)。即存在使得這個(gè)也是方 程的根。（反之不成立） 關(guān)系：方程 函數(shù)與方程 函數(shù)的應(yīng)用 ()() (1),()()0, (2)(,); (3)() ()0, ()( )0,(,) 0 ()()0, 0 yfxyfxx abfafb abc fc fcc fafcbcxab fcfbacx 有實(shí)數(shù)根函數(shù)有零點(diǎn)函數(shù)的圖象與軸有交點(diǎn) 確定區(qū)間驗(yàn)證給定精確度； 求區(qū)間的中點(diǎn) 計(jì)算； 二分法求方程的近似解若則就是函數(shù)的零點(diǎn)； 若則令（此時(shí)零點(diǎn)）； 若則令（此時(shí)零點(diǎn)(,) (4)-,();24 cb abab ）； 判斷是否達(dá)到精確度：即若則得到零點(diǎn)的近似值或否則重復(fù)。 幾類不同的增長函數(shù)模型 函數(shù)模型及其應(yīng)用用已知函數(shù)模型解決問題 建立實(shí)際問題的函數(shù)模型 , (0,) ()(0,) ()(0,0,) (01) 1 lo mn ana nm n aa rsrs aaaarsQ rsrs aaarsQ rrs abababrQ x yaaa x 根式：為根指數(shù)，為被開方數(shù) 分?jǐn)?shù)指數(shù)冪 指數(shù)的運(yùn)算 指數(shù)函數(shù)性質(zhì) 定義：一般地把函數(shù)且叫做指數(shù)函數(shù)。 指數(shù)函數(shù) 性質(zhì)：見表 對數(shù)： 基本初等函數(shù) 對數(shù)的運(yùn)算 對數(shù)函數(shù) g, log()loglog; logloglog; . loglog; (0,1,0,0) log log(01) 1 log (,0,1 ,0) log c a c NaN a MNMN aaa M MN aaa N n MnMaaMN aa yxaa a b bacacb a 為底數(shù)，為真數(shù) 性質(zhì) 換底公式： 定義：一般地把函數(shù)且叫做對數(shù)函數(shù) 對數(shù)函數(shù) 性質(zhì)：見表 且 yxx 冪函數(shù) 定義：一般地，函數(shù)叫做冪函數(shù)，是自變量，是常數(shù)。 性質(zhì)：見表2 - 5 - 表 1 指數(shù)函數(shù) 0,1 x yaaa 對數(shù)數(shù)函數(shù) log0,1 a yx aa 定 義 域 xR 0,x 值 域 0,y yR 圖 象 性 質(zhì) 過定點(diǎn)(0,1)過定點(diǎn)(1,0) 減函數(shù)增函數(shù)減函數(shù)增函數(shù) (,0)(1,) (0,)(0,1) xy xy 時(shí)， 時(shí)， (,0)(0,1) (0,)(1,) xy xy 時(shí)， 時(shí)， (0,1)(0,) (1,)(,0) xy xy 時(shí)， 時(shí)， (0,1)(,0) (1,)(0,) xy xy 時(shí)， 時(shí)， abab ab ab 表 2 冪函數(shù)()yxR p q 00111 p q 為奇數(shù) 為奇數(shù) 奇函數(shù) - 6 - p q 為奇數(shù) 為偶數(shù) p q 為偶數(shù) 為奇數(shù) 偶函數(shù) 第一象限 性質(zhì) 減函數(shù)增函數(shù)過定點(diǎn)0 1（ ， ） - 7 - 高中數(shù)學(xué)必修 2 知識(shí)點(diǎn) 一、直線與方程 （ 1）直線的傾斜角 定義：x 軸 正向 與直線 向上方向 之間所成的角叫直線的傾斜角。特別地， 當(dāng)直線與x 軸平行或重合時(shí), 我們規(guī)定它的傾斜角為0 度。因此，傾斜角的取值范圍是0 180 （ 2）直線的斜率 定義：傾斜角不是90的直線， 它的傾斜角的正切叫做這條直線的斜率。直線的斜率常用k 表示。 即 tank 。斜率反映直線與軸的傾斜程度。 當(dāng) 90,0時(shí)，0k；當(dāng)180,90時(shí)，0k；當(dāng)90時(shí)，k不存在。 過兩點(diǎn)的直線的斜率公式：)( 21 12 12 xx xx yy k 注意下面四點(diǎn)：(1) 當(dāng) 21 xx時(shí)，公式右邊無意義，直線的斜率不存在，傾斜角為90； (2)k與P1、P2的順序無關(guān)； (3) 以后求斜率可不通過傾斜角而由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)直接求得； (4) 求直線的傾斜角可由直線上兩點(diǎn)的坐標(biāo)先求斜率得到。 （ 3）直線方程 點(diǎn)斜式：)( 11 xxkyy直線斜率k，且過點(diǎn) 11, yx 注意： 當(dāng)直線的斜率為0時(shí)， k=0，直線的方程是 y=y1。 當(dāng)直線的斜率為90時(shí)，直線的斜率不存在，它的方程不能用點(diǎn)斜式表示但因l上每一點(diǎn) 的橫坐標(biāo)都等于x1，所以它的方程是x=x1。 斜截式：bkxy，直線斜率為k，直線在y軸上的截距為b 兩點(diǎn)式： 11 2121 yyxx yyxx （ 1212 ,xxyy）直線兩點(diǎn) 11, yx ， 22, yx 截矩式：1 xy ab 其中直線 l 與x軸交于點(diǎn)( ,0)a,與y軸交于點(diǎn)(0, )b,即l與x軸、y軸的 截距 分別為,a b 。 一般式：0CByAx（A，B 不全為 0） 注意： 1各式的適用范圍2特殊的方程如： 平行于 x 軸的直線：by（b 為常數(shù)）；平行于 y 軸的直線：ax（a 為常數(shù)）； （ 5）直線系方程：即具有某一共同性質(zhì)的直線 （一）平行直線系 平 行 于 已 知 直 線0 000 CyBxA（ 00,B A是 不 全 為0的 常 數(shù) ） 的 直 線 系 ： 0 00 CyBxA（C 為常數(shù)） （二）過定點(diǎn)的直線系 （）斜率為k的直線系： 00 xxkyy，直線過定點(diǎn) 00, y x； （）過兩條直線0: 1111 CyBxAl，0: 2222 CyBxAl的交點(diǎn)的直線系方程為 0 222111 CyBxACyBxA（為參數(shù)），其中直線 2 l 不在直線系中。 （ 6）兩直線平行與垂直 當(dāng) 111 :bxkyl， 222 :bxkyl時(shí)， 212121 ,/bbkkll；1 2121 kkll 注意：利用斜率判斷直線的平行與垂直時(shí)，要注意斜率的存在與否。 （ 7）兩條直線的交點(diǎn) 0: 1111 CyBxAl0: 2222 CyBxAl相交 - 8 - 交點(diǎn)坐標(biāo)即方程組 0 0 222 111 CyBxA CyBxA 的一組解。 方程組無解 21 / ll；方程組有無數(shù)解 1 l與 2 l重合 （ 8）兩點(diǎn)間距離公式：設(shè) 1122 (,),A xyB xy，（）是平面直角坐標(biāo)系中的兩個(gè)點(diǎn)， 則 22 2121 |()()ABxxyy （ 9）點(diǎn)到直線距離公式：一點(diǎn) 00,y xP到直線0: 1 CByAxl的距離 22 00 BA CByAx d （ 10）兩平行直線距離公式 在任一直線上任取一點(diǎn)，再轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到直線的距離進(jìn)行求解。 二、圓的方程 1、圓的定義：平面內(nèi)到一定點(diǎn)的距離等于定長的點(diǎn)的集合叫圓，定點(diǎn)為圓心，定長為圓的半徑。 2、圓的方程 （ 1）標(biāo)準(zhǔn)方程 222 rbyax，圓心ba,，半徑為r； （ 2）一般方程0 22 FEyDxyx 當(dāng)04 22 FED時(shí)，方程表示圓，此時(shí)圓心為 2 , 2 ED，半徑為 FEDr4 2 1 22 當(dāng)04 22 FED時(shí)，表示一個(gè)點(diǎn)；當(dāng)04 22 FED時(shí)，方程不表示任何圖形。 （ 3）求圓方程的方法： 一般都采用待定系數(shù)法：先設(shè)后求。確定一個(gè)圓需要三個(gè)獨(dú)立條件，若利用圓的標(biāo)準(zhǔn)方程， 需求出 a，b，r；若利用一般方程，需要求出D，E，F(xiàn)； 另外要注意多利用圓的幾何性質(zhì)：如弦的中垂線必經(jīng)過原點(diǎn)，以此來確定圓心的位置。 3、直線與圓的位置關(guān)系： 直線與圓的位置關(guān)系有相離，相切，相交三種情況，基本上由下列兩種方法判斷： （ 1） 設(shè) 直 線0:CByAxl， 圓 2 22 :rbyaxC ， 圓 心baC,到l的 距 離 為 22 BA CBbAa d ，則有相離與 Clrd；相切與Clrd；相交與Clrd （2）設(shè)直線0:CByAxl，圓 2 22 :rbyaxC，先將方程聯(lián)立消元，得到一個(gè)一元 二次方程之后，令其中的判別式為，則有 相離與Cl0；相切與Cl0；相交與Cl0 注：如果圓心的位置在原點(diǎn)，可使用公式 2 00 ryyxx去解直線與圓相切的問題，其中 00, y x 表示切點(diǎn)坐標(biāo)，r 表示半徑。 (3)過圓上一點(diǎn)的切線方程： 圓 x2+y2=r 2，圓上一點(diǎn)為 (x0， y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為 2 00 ryyxx(課本命題 ) 圓 (x-a) 2+(y-b)2 =r 2，圓上一點(diǎn)為 (x0，y0)，則過此點(diǎn)的切線方程為 (x0-a)(x-a)+(y0-b)(y-b)= r 2 (課本命 題的推廣 ) 4、圓與圓的位置關(guān)系：通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 設(shè)圓 2 2 1 2 11: rbyaxC， 2 2 2 2 22: RbyaxC 兩圓的位置關(guān)系常通過兩圓半徑的和（差），與圓心距（d）之間的大小比較來確定。 當(dāng)rRd時(shí)兩圓外離，此時(shí)有公切線四條； 當(dāng) rRd 時(shí)兩圓外切，連心線過切點(diǎn)，有外公切線兩條，內(nèi)公切線一條； 當(dāng)rRdrR時(shí)兩圓相交，連心線垂直平分公共弦，有兩條外公切線； 當(dāng)rRd時(shí)，兩圓內(nèi)切，連心線經(jīng)過切點(diǎn)，只有一條公切線； 當(dāng)rRd時(shí)，兩圓內(nèi)含；當(dāng)0d時(shí)，為同心圓。 三、立體幾何初步 1、柱、錐、臺(tái)、球的結(jié)構(gòu)特征 - 9 - （ 1）棱柱：定義 ：有兩個(gè)面互相平行，其余各面都是四邊形，且每相鄰兩個(gè)四邊形的公共邊都互相 平行，由這些面所圍成的幾何體。 分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱柱、四棱柱、五棱柱等。 表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱柱 EDCBAABCDE或用對角線的端點(diǎn)字母，如五棱柱 AD 幾何特征 ：兩底面是對應(yīng)邊平行的全等多邊形；側(cè)面、對角面都是平行四邊形；側(cè)棱平行且相等； 平行于底面的截面是與底面全等的多邊形。 （ 2）棱錐 定義 ：有一個(gè)面是多邊形，其余各面都是有一個(gè)公共頂點(diǎn)的三角形，由這些面所圍成的幾何體 分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱錐、四棱錐、五棱錐等 表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱錐 EDCBAP 幾何特征 ：側(cè)面、對角面都是三角形；平行于底面的截面與底面相似，其相似比等于頂點(diǎn)到截面距 離與高的比的平方。 （ 3）棱臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于棱錐底面的平面去截棱錐，截面和底面之間的部分 分類 ：以底面多邊形的邊數(shù)作為分類的標(biāo)準(zhǔn)分為三棱態(tài)、四棱臺(tái)、五棱臺(tái)等 表示 ：用各頂點(diǎn)字母，如五棱臺(tái) EDCBAP 幾何特征 ：上下底面是相似的平行多邊形側(cè)面是梯形側(cè)棱交于原棱錐的頂點(diǎn) （ 4）圓柱：定義：以矩形的一邊所在的直線為軸旋轉(zhuǎn),其余三邊旋轉(zhuǎn)所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征 ：底面是全等的圓；母線與軸平行；軸與底面圓的半徑垂直；側(cè)面展開圖是一個(gè) 矩形。 （ 5）圓錐：定義：以直角三角形的一條直角邊為旋轉(zhuǎn)軸,旋轉(zhuǎn)一周所成的曲面所圍成的幾何體 幾何特征 ：底面是一個(gè)圓；母線交于圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)扇形。 （ 6）圓臺(tái)：定義：用一個(gè)平行于圓錐底面的平面去截圓錐，截面和底面之間的部分 幾何特征： 上下底面是兩個(gè)圓；側(cè)面母線交于原圓錐的頂點(diǎn)；側(cè)面展開圖是一個(gè)弓形。 （ 7）球體：定義：以半圓的直徑所在直線為旋轉(zhuǎn)軸，半圓面旋轉(zhuǎn)一周形成的幾何體 幾何特征： 球的截面是圓；球面上任意一點(diǎn)到球心的距離等于半徑。 2、空間幾何體的三視圖 定義三視圖：正視圖（光線從幾何體的前面向后面正投影）；側(cè)視圖（從左向右） 、 俯視圖（從上向下） 注：正視圖反映了物體上下、左右的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和長度； 俯視圖反映了物體左右、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的長度和寬度； 側(cè)視圖反映了物體上下、前后的位置關(guān)系，即反映了物體的高度和寬度。 3、空間幾何體的直觀圖斜二測畫法 斜二測畫法特點(diǎn)：原來與x 軸平行的線段仍然與x 平行且長度不變； 原來與y 軸平行的線段仍然與y 平行，長度為原來的一半。 4、柱體、錐體、臺(tái)體的表面積與體積 （ 1）幾何體的表面積為幾何體各個(gè)面的面積的和。 （ 2）特殊幾何體表面積公式（c 為底面周長，h 為高， h 為斜高， l 為母線） chS直棱柱側(cè)面積rhS2 圓柱側(cè) 2 1 chS正棱錐側(cè)面積rlS 圓錐側(cè)面積 )( 2 1 21 hccS正棱臺(tái)側(cè)面積lRrS)( 圓臺(tái)側(cè)面積 lrrS2 圓柱表 lrrS圓錐表 22 RRlrlrS圓臺(tái)表 （ 3）柱體、錐體、臺(tái)體的體積公式 - 10 - VSh 柱 2 VShr h 圓柱 1 3 VSh 錐 hrV 2 3 1 圓錐 1 () 3 VSS SS h 臺(tái) 2211 ()() 33 VSSSS hrrRRh圓臺(tái) （ 4）球體的表面積和體積公式：V 球= 34 3 R ； S球面= 2 4 R 4、空間點(diǎn)、直線、平面的位置關(guān)系 （ 1）平面 平面的概念：A.描述性說明；B.平面是無限伸展的； 平面的表示：通常用希臘字母、表示，如平面（通常寫在一個(gè)銳角內(nèi)）； 也可以用兩個(gè)相對頂點(diǎn)的字母來表示，如平面BC。 點(diǎn)與平面的關(guān)系：點(diǎn) A 在平面內(nèi)，記作A；點(diǎn)A不在平面內(nèi)，記作A 點(diǎn)與直線的關(guān)系：點(diǎn) A 的直線 l 上，記作： Al；點(diǎn) A 在直線 l 外，記作A l； 直線與平面的關(guān)系：直線 l 在平面 內(nèi)，記作l；直線 l 不在平面 內(nèi)，記作l 。 （ 2）公理 1：如果一條直線的兩點(diǎn)在一個(gè)平面內(nèi)，那么這條直線是所有的點(diǎn)都在這個(gè)平面內(nèi)。 （即直線在平面內(nèi)，或者平面經(jīng)過直線） 應(yīng)用： 檢驗(yàn)桌面是否平；判斷直線是否在平面內(nèi) 用符號(hào)語言表示公理1：,Al Bl ABl （ 3）公理 2：經(jīng)過不在同一條直線上的三點(diǎn)，有且只有一個(gè)平面。 推論： 一直線和直線外一點(diǎn)確定一平面；兩相交直線確定一平面；兩平行直線確定一平面。 公理 2 及其推論作用：它是空間內(nèi)確定平面的依據(jù)它是證明平面重合的依據(jù) （ 4）公理 3：如果兩個(gè)不重合的平面有一個(gè)公共點(diǎn),那么它們有且只有一條過該點(diǎn)的公共直線 符號(hào)： 平面 和 相交，交線是a，記作 a。 符號(hào)語言：,PABABl Pl 公理 3 的作用： 它是判定兩個(gè)平面相交的方法。 它說明兩個(gè)平面的交線與兩個(gè)平面公共點(diǎn)之間的關(guān)系：交線必過公共點(diǎn)。 它可以判斷點(diǎn)在直線上，即證若干個(gè)點(diǎn)共線的重要依據(jù)。 （ 5）公理 4：平行于同一條直線的兩條直線互相平行 （ 6）空間直線與直線之間的位置關(guān)系 異面直線定義：不同在任何一個(gè)平面內(nèi)的兩條直線 異面直線性質(zhì)：既不平行，又不相交。 異面直線判定：過平面外一點(diǎn)與平面內(nèi)一點(diǎn)的直線與平面內(nèi)不過該店的直線是異面直線 異面直線所成角：直線 a、b 是異面直線，經(jīng)過空間任意一點(diǎn)O，分別引直線a a，b b，則把 直線 a 和 b 所成的銳角（或直角）叫做異面直線a和 b所成的角。兩條異面直線所成角的范圍是（0， 90，若兩條異面直線所成的角是直角，我們就說這兩條異面直線互相垂直。 說明 ： （1）判定空間直線是異面直線方法：根據(jù)異面直線的定義；異面直線的判定定理 （2）在異面直線所成角定義中，空間一點(diǎn)O 是任取的，而和點(diǎn)O 的位置無關(guān)。 求異面直線所成角步驟： - 11 - A、利用定義構(gòu)造角，可固定一條，平移另一條，或兩條同時(shí)平移到某個(gè)特殊的位置，頂點(diǎn)選在特 殊的位置上。B、證明作出的角即為所求角C、利用三角形來求角 （ 7）等角定理：如果一個(gè)角的兩邊和另一個(gè)角的兩邊分別平行，那么這兩角相等或互補(bǔ)。 （ 8）空間直線與平面之間的位置關(guān)系 直線在平面內(nèi) 有無數(shù)個(gè)公共點(diǎn) 三種位置關(guān)系的符號(hào)表示：aaA a （ 9）平面與平面之間的位置關(guān)系：平行沒有公共點(diǎn)； 相交有一條公共直線。 b 5、空間中的平行問題 （ 1）直線與平面平行的判定及其性質(zhì) 線面平行的判定定理：平面外一條直線與此平面內(nèi)一條直線平行,則該直線與此平面平行。 線線平行線面平行 線面平行的性質(zhì)定理：如果一條直線和一個(gè)平面平行，經(jīng)過這條直線的平面和這個(gè)平面相交， 那么這條直線和交線平行。線面平行線線平行 （ 2）平面與平面平行的判定及其性質(zhì) 兩個(gè)平面平行的判定定理 （1）如果一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個(gè)平面，那么這兩個(gè)平面平行 （線面平行面面平行）， （2）如果在兩個(gè)平面內(nèi)，各有兩組相交直線對應(yīng)平行，那么這兩個(gè)平面平行。 （線線平行面面平行）， （3）垂直于同一條直線的兩個(gè)平面平行， 兩個(gè)平面平行的性質(zhì)定理 （1）如果兩個(gè)平面平行，那么某一個(gè)平面內(nèi)的直線與另一個(gè)平面平行。（面面平行線面平行） （2）如果兩個(gè)平行平面都和第三個(gè)平面相交，那么它們的交線平行。（面面平行線線平行） 7、空間中的垂直問題 （ 1）線線、面面、線面垂直的定義 兩條異面直線的垂直：如果兩條異面直線所成的角是直角，就說這兩條異面直線互相垂直。 線面垂直：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的任何一條直線垂直，就說這條直線和這個(gè)平面垂直。 平面和平面垂直：如果兩個(gè)平面相交，所成的二面角（從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖 形）是直二面角（平面角是直角），就說這兩個(gè)平面垂直。 （ 2）垂直關(guān)系的判定和性質(zhì)定理 線面垂直判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一條直線和一個(gè)平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，那么這條直線垂直這個(gè)平面。 性質(zhì)定理：如果兩條直線同垂直于一個(gè)平面，那么這兩條直線平行。 面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理 判定定理：如果一個(gè)平面經(jīng)過另一個(gè)平面的一條垂線，那么這兩個(gè)平面互相垂直。 性質(zhì)定理： 如果兩個(gè)平面互相垂直，那么在一個(gè)平面內(nèi)垂直于他們的交線的直線垂直于另一個(gè)平面。 9、空間角問題 （ 1）直線與直線所成的角 兩平行直線所成的角：規(guī)定為 0 。 兩條相交直線所成的角：兩條直線相交其中不大于直角的角，叫這兩條直線所成的角。 兩條異面直線所成的角：過空間任意一點(diǎn)O，分別作與兩條異面直線a，b 平行的直線ba ,， 形成兩條相交直線，這兩條相交直線所成的不大于直角的角叫做兩條異面直線所成的角。 （ 2）直線和平面所成的角 平面的平行線與平面所成的角：規(guī)定為0 。平面的垂線與平面所成的角：規(guī)定為90。 平面的斜線與平面所成的角：平面的一條斜線和它在平面內(nèi)的射影所成的銳角，叫做這條直線和 這個(gè)平面所成的角。 求斜線與平面所成角的思路類似于求異面直線所成角：“一作，二證，三計(jì)算”。 - 12 - 在“作角”時(shí)依定義關(guān)鍵作射影，由射影定義知關(guān)鍵在于斜線上一點(diǎn)到面的垂線， 在解題時(shí)，注意挖掘題設(shè)中兩個(gè)主要信息：（1）斜線上一點(diǎn)到面的垂線；（2）過斜線上的一點(diǎn)或過 斜線的平面與已知面垂直，由面面垂直性質(zhì)易得垂線。 （ 3）二面角和二面角的平面角 二面角的定義：從一條直線出發(fā)的兩個(gè)半平面所組成的圖形叫做二面角，這條直線叫做二面角的 棱，這兩個(gè)半平面叫做二面角的面。 二面角的平面角：以二面角的棱上任意一點(diǎn)為頂點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi) 分別作 垂直于棱的兩條射線，這 兩條射線所成的角叫二面角的平面角。 直二面角：平面角是直角的二面角叫直二面角。 兩相交平面如果所組成的二面角是直二面角，那么這兩個(gè)平面垂直；反過來，如果兩個(gè)平面垂直， 那么所成的二面角為直二面角 求二面角的方法 定義法：在棱上選擇有關(guān)點(diǎn)，過這個(gè)點(diǎn)分別在兩個(gè)面內(nèi)作垂直于棱的射線得到平面角 垂面法：已知二面角內(nèi)一點(diǎn)到兩個(gè)面的垂線時(shí)，過兩垂線作平面與兩個(gè)面的交線所成的角為二面角 的平面角 7、空間直角坐標(biāo)系 （ 1）定義 ：如圖， , OBCDD A B C是單位正方體 . 以 A為原點(diǎn)， 分別以 OD,O , A,OB 的方向?yàn)檎较?，建立三條數(shù)軸x軸.y 軸.z 軸。 這時(shí)建立了一個(gè)空間直角坐標(biāo)系Oxyz. 1）O叫做坐標(biāo)原點(diǎn) 2 ）x 軸， y 軸， z 軸叫做坐標(biāo)軸 . 3 ）過每兩個(gè)坐標(biāo)軸的平面叫做坐標(biāo)面。 （ 2）右手表示法：令右手大拇指、食指和中指相互垂直時(shí)，可能形成的位置。大拇指指向?yàn)閤 軸正 方向，食指指向?yàn)閥 軸正向，中指指向則為z軸正向，這樣也可以決定三軸間的相位置。 （ 3）任意點(diǎn)坐標(biāo)表示：空間一點(diǎn)M的坐標(biāo)可以用有序?qū)崝?shù)組( , , )x y z來表示， 有序?qū)崝?shù)組( , , )x y z叫 做點(diǎn) M在此空間直角坐標(biāo)系中的坐標(biāo)，記作( , , )M x y z（x 叫做點(diǎn) M的橫坐標(biāo)， y 叫做點(diǎn) M的縱坐 標(biāo)， z 叫做點(diǎn) M的豎坐標(biāo)） （ 4）空間兩點(diǎn)距離坐標(biāo)公式： 2 12 2 12 2 12)()()(zzyyxxd - 13 - 高一數(shù)學(xué)必修 3 公式總結(jié)以及例題 1 算法初步 秦九韶算法：通過一次式的反復(fù)計(jì)算逐步得出高次多項(xiàng)式的值，對于一個(gè)n 次多項(xiàng) 式，只要作 n 次乘法和 n 次加法即可。表達(dá)式如下： 12211 1 1 .axaxxaxaxaaxaxa nnn n n n n 例題：秦九韶算法計(jì)算多項(xiàng)式,1876543 23456 xxxxxx,0.4 x時(shí)當(dāng) ?運(yùn)算需要做幾次加法和乘法答案：6 ， 6 1876543x:xxxxx即 理解算法的含義 ：一般而言，對于一類問題的機(jī)械的、統(tǒng)一的求解方法稱為算法，其意義具 有廣泛的含義，如：廣播操圖解是廣播操的算法，歌譜是一首歌的算法，空調(diào)說明書是空調(diào)使用的 算法 (algorithm ) 1. 描述算法有三種方式：自然語言，流程圖，程序設(shè)計(jì)語言（本書指偽代碼）. 2. 算法的特征： 有限性：算法執(zhí)行的步驟總是有限的，不能無休止的進(jìn)行下去 確定性：算法的每一步操作內(nèi)容和順序必須含義確切，而且必須有輸出，輸出可以是一 個(gè)或多個(gè)。沒有輸出的算法是無意義的。 可行性：算法的每一步都必須是可執(zhí)行的，即每一步都可以通過手工或者機(jī)器在一定時(shí) 間內(nèi)可以完成，在時(shí)間上有一個(gè)合理的限度 3. 算法含有兩大要素：操作：算術(shù)運(yùn)算，邏輯運(yùn)算，函數(shù)運(yùn)算，關(guān)系運(yùn)算等控制結(jié)構(gòu): 順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu) 流程圖： （flow chart）: 是用一些規(guī)定的圖形、連線及簡單的文字說明表示算法及程序結(jié)構(gòu) 的一種圖形程序，它直觀、清晰、易懂，便于檢查及修改。 注意： 1. 畫流程圖的時(shí)候一定要清晰，用鉛筆和直尺畫，要養(yǎng)成有開始和結(jié)束的好習(xí)慣 2. 拿不準(zhǔn)的時(shí)候可以先根據(jù)結(jié)構(gòu)特點(diǎn)畫出大致的流程，反過來再檢查，比如：遇到判斷框 時(shí)，往往臨界的范圍或者條件不好確定，就先給出一個(gè)臨界條件，畫好大致流程，然后檢查這 個(gè)條件是否正確，再考慮是否取等號(hào)的問題，這時(shí)候也就可以有幾種書寫方法了。 3. 在輸出結(jié)果時(shí)，如果有多個(gè)輸出，一定要用流程線把所有的輸出總結(jié)到一起，一起終結(jié) 到結(jié)束框。 算法結(jié)構(gòu)：順序結(jié)構(gòu)，選擇結(jié)構(gòu)，循環(huán)結(jié)構(gòu) A B Y N A B p N Y A p Y N p A - 14 - 直到型循環(huán)當(dāng)型循環(huán) .順序結(jié)構(gòu)（ sequence structure ） ：是一種最簡單最基本的結(jié)構(gòu)它不存在條件判斷、控制轉(zhuǎn) 移和重復(fù)執(zhí)行的操作，一個(gè)順序結(jié)構(gòu)的各部分是按照語句出現(xiàn)的先后順序執(zhí)行的。 .選擇結(jié)構(gòu)（ selection structure ） ：或者稱為分支結(jié)構(gòu)。其中的判斷框，書寫時(shí)主要是注意臨 界條件的確定。它有一個(gè)入口，兩個(gè)出口，執(zhí)行時(shí)只能執(zhí)行一個(gè)語句，不能同時(shí)執(zhí)行，其中 的 A,B 兩語句可以有一個(gè)為空，既不執(zhí)行任何操作， 只是表明在某條件成立時(shí)，執(zhí)行某語句， 至于不成立時(shí)，不執(zhí)行該語句，也不執(zhí)行其它語句。 . 循環(huán)結(jié)構(gòu)（ cycle structure） ：它用來解決現(xiàn)實(shí)生活中的重復(fù)操作問題，分直到型（until）和 當(dāng)型 (while)兩種結(jié)構(gòu) ( 見上圖 ) 。當(dāng)事先不知道是否至少執(zhí)行一次循環(huán)體時(shí)（即不知道循環(huán)次 數(shù)時(shí)）用當(dāng)型循環(huán)。 基本算法語句： 本書中指的是 偽代碼 （pseudo code ） ，且是使用BASIC 語言編寫 的,是介于自然語言和機(jī)器語言之間的文字和符號(hào)，是表達(dá)算法的簡單而實(shí)用的好 方法。偽代碼沒有統(tǒng)一的格式，只要書寫清楚，易于理解即可，但也要注意符號(hào) 要相對統(tǒng)一，避免引起混淆。如： 賦值語句中可以用 yx， 也可以用yx ; 表 示兩變量相乘時(shí)可以用“*” ，也可以用“” .賦值語句（ assignment statement） ：用表示，如： yx ，表示將y 的值賦給x，其 中 x 是一個(gè)變量， y 是一個(gè)與x 同類型 的變量或者表達(dá)式. 一般格式： “表達(dá)式變量” ，有時(shí)在偽代碼的書寫時(shí)也可以用“yx” ，但此時(shí) 的 “ = ”不是數(shù)學(xué)運(yùn)算中的等號(hào)，而應(yīng)理解為一個(gè)賦值號(hào)。 注 ： 1.賦值號(hào)左邊只能是變量，不能是常數(shù)或者表達(dá)式，右邊可以是常數(shù)或者表達(dá)式。“ = ” 具有計(jì)算功能。如： 3 = a ,b + 6 = a ,都是錯(cuò)誤的，而a = 3*5 1 , a = 2a + 3 都是正確的。2. 一個(gè)賦值語句一次只能給一個(gè)變量賦值。如： a = b = c = 2 , a , b , c =2 都是錯(cuò)誤的，而 a = 3 是正確的 . 例題：將 x 和 y 的值交換 py yx xp , 同樣的如果交換三個(gè)變量x,y,z的值 : pz zy yx xp . 輸入語句（ input statement）: Read a ,b 表示輸入的數(shù)一次送給 a ,b 輸出語句（ out statement） ：Print x ,y 表示一次輸出運(yùn)算結(jié)果 x ,y 注：1.支持多個(gè)輸入和輸出，但是中間要用逗號(hào) 隔開！2.Read 語句輸入的只能是變量而不是 表達(dá)式3. Print 語句不能起賦值語句，意旨不能在Print 語句中用“ = ”4. Print語句 可以輸出常量和表達(dá)式的值.5.有多個(gè)語句在一行書寫時(shí)用“； ”隔開 . 例題：當(dāng) x 等于 5 時(shí)， Print “x = ”; x 在屏幕上輸出的結(jié)果是 x = 5 . 條件語句（ conditional statement） ： 1. 行 If 語句: If A Then B 注：沒有End If - 15 - 2. 塊 If 語句：注：不要忘記結(jié)束語句End If ， 當(dāng)有 If 語句嵌套使用時(shí)， 有幾個(gè) If， 就必須要有幾個(gè)End If . ElseIf 是對上一個(gè)條件的否定，即已經(jīng)不屬于上面的條件，另外 ElseIf 后面也要有End If注意每個(gè)條件的臨界性，即某個(gè)值是屬于上一個(gè)條件里， 還是屬于下一個(gè)條件。為了使得書寫清晰易懂，應(yīng)縮進(jìn)書寫。格式如下： 例題 : 用條件語句寫出求三個(gè)數(shù)種最大數(shù)的一個(gè)算法. 或者 注： 1. 同樣的你可以寫出求三個(gè)數(shù)中最小的數(shù)。 2. 也可以類似的求出四個(gè)數(shù)中最小、大的數(shù) . 循環(huán)語句（ cycle statement ） ：當(dāng)事先知道循環(huán)次數(shù)時(shí)用For 循環(huán)，即使是N 次也是 已知次數(shù)的循環(huán)當(dāng)循環(huán)次數(shù)不確定時(shí)用While 循環(huán)Do 循環(huán)有兩種表達(dá)形式，與循環(huán)結(jié)構(gòu)的兩 種循環(huán)相對應(yīng). 說明：1.While 循環(huán)是前測試型的，即滿足什么條件才進(jìn)入循環(huán)，其實(shí)質(zhì)是當(dāng)型循環(huán)，一般在解決 有關(guān)問題時(shí)， 可以寫成While 循環(huán)， 較為簡單， 因?yàn)樗臈l件相對好判斷. 2. 凡是能用While 循環(huán)書寫的循環(huán)都能用For 循環(huán)書寫3.While 循環(huán)和 Do 循環(huán)可以相互轉(zhuǎn)化4.Do 循環(huán)的兩種形 If A Then B Else C End If If A Then B ElseIfCThen D End If Read a , b , c If ab Then If ac Then Print a Else Print c End If Else If bc Then Print b Else Print c End If End If Read a , b , c If ab and ac Then Print a Else If bc Then Print b Else Print c End If For I From 初值to 終值Step 步長 End For For 循環(huán) While A End While While 循環(huán) Do While p Loop 當(dāng)型 Do 循環(huán) Do Loop Until p 直到型 Do 循環(huán) - 16 - 式也可以相互轉(zhuǎn)化，轉(zhuǎn)化時(shí)條件要相應(yīng)變化5.注意臨界條件的判定. 例題：.99.531的一個(gè)算法設(shè)計(jì)計(jì)算（見課本 21 P ） SintPr End ISS 2Step99To3FromI 1 For For S SintPr hileEnd ISS 2II 97Ihile 1 1 W W I S SintPr hileEnd 2II ISS 99Ihile 1 1 W W I S SintPr )99I(001I 2II ISS o 1 1 或者UntilLoop D I S SintPr 99I ISS 2II o 1 1 UntilLoop D I S SintPr 2II ISS )100I(99I Whileo 1 1 Loop D I S 或者 SintPr ISS 2II )99I(97I Whileo 1 1 Loop D I S 或者 顏老師友情提醒：1.一定要看清題意，看題目讓你干什么，有的只要寫出算法，有的只要求寫出偽 代碼，而有的題目則是既寫出算法畫出流程還要寫出偽代碼。 2.在具體做題時(shí)， 可能好多的同學(xué)感覺先畫流程圖較為簡單，但也有的算法偽代碼比較好寫， 你也可以在草稿紙上按照你自己的思路先做出來，然后根據(jù)題目要求作答。一般是先寫算法，后 畫流程圖，最后寫偽代碼。 3.書寫程序時(shí)一定要規(guī)范化，使用統(tǒng)一的符號(hào)，最好與教材一致，由于是新教材的原因，再加上各 種版本，可能同學(xué)會(huì)看到各種參考書上的書寫格式不一樣，而且有時(shí)還會(huì)碰到我們沒有見過的語言， 希望大家能以課本為依據(jù)，不要被鋪天蓋地的資料所淹沒！ 高中數(shù)學(xué)必修4 知識(shí)點(diǎn) - 17 - 正角: 按逆時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 1、任意角 負(fù)角: 按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)形成的角 零角: 不作任何旋轉(zhuǎn)形成的角 2、角的頂點(diǎn)與原點(diǎn)重合，角的始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，終邊落在第幾象限，則 稱為第幾象限角 第一象限角的集合為36036090 ,kkk 第二象限角的集合為36090360180 ,kkk 第三象限角的集合為360180360270 ,kkk 第四象限角的集合為360270360360 ,kkk 終邊在x軸上的角的集合為180 ,kk 終邊在 y軸上的角的集合為 18090 ,kk 終邊在坐標(biāo)軸上的角的集合為90 ,kk 3、與角終邊相同的角的集合為360,kk 4、已知是第幾象限角，確定 * n n 所在象限的方法：先把各象限均分n等份，再 從x軸的正半軸的上方起，依次將各區(qū)域標(biāo)上一、二、三、四，則原來是第幾象限對 應(yīng)的標(biāo)號(hào)即為 n 終邊所落在的區(qū)域 5、長度等于半徑長的弧所對的圓心角叫做1弧度 6、半徑為r的圓的圓心角所對弧的長為l，則角的弧度數(shù)的絕對值是 l r 7、弧度制與角度制的換算公式：2360，1 180 ， 180 157.3 8、 若扇形的圓心角為為弧度制， 半徑為r， 弧長為l， 周長為C， 面積為S， 則 lr， 2Crl， 2 11 22 Slrr 9、設(shè)是一個(gè)任意大小的角，的終邊上任意一點(diǎn)的坐標(biāo)是, x y ，它與原點(diǎn)的距離 是 22 0r rxy，則sin y r ，cos x r ，tan0 y x x 10、三角函數(shù)在各象限的符號(hào)：第一象限全為正，第二象限正弦為正，第三象限正切為 正，第四象限余弦為正 - 18 - P x y A O M T 11、三角函數(shù)線：sin，cos，tan 12、同角三角函數(shù)的基本關(guān)系： 22 1 sincos1 2222 sin1cos,cos1sin； sin 2tan cos sin sintancos,cos tan 13、三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式： 1 sin 2sink， cos 2cosk， tan 2tankk 2 sinsin， coscos， tantan 3 sinsin，coscos， tantan 4 sinsin， coscos， tantan 口訣：函數(shù)名稱不變，符號(hào)看象限 5 sincos 2 ，cossin 2 6 sincos 2 ，cossin 2 口訣：正弦與余弦互換，符號(hào)看象限 14、 函數(shù)sinyx的圖象上所有點(diǎn)向左 （右）平移個(gè)單位長度，得到函數(shù)sinyx 的圖象；再將函數(shù)sinyx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長 （縮短）到原來的 1 倍 （縱 坐標(biāo)不變），得到函數(shù)sinyx的圖象；再將函數(shù)sinyx的圖象上所有點(diǎn) 的縱坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的倍 （橫坐標(biāo)不變）， 得到函數(shù)sinyx的圖象 函數(shù)sinyx的圖象上所有點(diǎn)的橫坐標(biāo)伸長（縮短）到原來的 1 倍（縱坐標(biāo)不變），得 到函數(shù) sinyx的圖象；再將函數(shù)sinyx的圖象上所有點(diǎn)向左 （右）平移個(gè)單位長度， 得到函數(shù)sinyx的圖象；再將函數(shù)sinyx的圖象上所有點(diǎn)的縱坐標(biāo)伸 長（縮短）到原來的倍（橫坐標(biāo)不變），得到函數(shù)sinyx的圖象 函數(shù)sin0,0yx的性質(zhì)： - 19 - 振幅： ；周期： 2 ；頻率： 1 2 f；相位： x ；初相： 函數(shù)sinyx，當(dāng) 1 xx 時(shí)，取得最小值為 min y；當(dāng) 2 xx 時(shí)，取得最大值為 max y，則 maxmin 1 2 yy， maxmin 1 2 yy， 2112 2 xxxx 15、正弦函數(shù)、余弦函數(shù)和正切函數(shù)的圖象與性質(zhì)： sinyx cosyx tanyx 圖象 定義 域 RR, 2 x xkk 值域 1,11,1R 最值 當(dāng)2 2 xk k 時(shí) ， max 1y； 當(dāng) 2 2 xk k時(shí)，min1y 當(dāng)2xkk時(shí)， max 1y；當(dāng)2xk k時(shí)， min 1y 既無最大值也無最小值 周期 性 22 奇偶 性 奇函數(shù)偶函數(shù)奇函數(shù) 單調(diào) 性 在2,2 22 kk k上是增函數(shù)；在 3 2,2 22 kk k上是減函數(shù) 在2,2kkk上 是增函數(shù)；在 2,2kk k上是減函數(shù) 在, 22 kk k上是增函數(shù) 對稱 性 對稱中心,0kk 對稱中心對稱中心 函 數(shù) 性 質(zhì) - 20 - 對稱軸 2 xkk ,0 2 kk 對稱軸 xkk ,0 2 k k 無對稱軸 16、向量：既有大小，又有方向的量 數(shù)量：只有大小，沒有方向的量 有向線段的三要素：起點(diǎn)、方向、長度 零向量：長度為0的向量 單位向量：長度等于1個(gè)單位的向量 平行向量（共線向量） ：方向相同或相反的非零 向量零向量與任一向量平行 相等向量：長度相等且方向相同 的向量 17、向量加法運(yùn)算： 三角形法則的特點(diǎn)：首尾相連 平行四邊形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn) 三角形不等式：ababab 運(yùn)算性質(zhì)： 交換律：abba； 結(jié)合律： abcabc ； 00aaa 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) 11 ,ax y ， 22 ,bxy，則 1212 ,abxxyy 18、向量減法運(yùn)算： 三角形法則的特點(diǎn)：共起點(diǎn)，連終點(diǎn)，方向指向被減向量 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè) 11 ,ax y ， 22 ,bxy ，則 1212 ,abxxyy 設(shè)、兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為 11 ,x y， 22 ,xy， 則 1212 ,xx yy 19、向量數(shù)乘運(yùn)算： 實(shí)數(shù)與向量a的積是一個(gè)向量的運(yùn)算叫做向量的數(shù)乘，記作a aa； 當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相同；當(dāng)0時(shí)，a的方向與a的方向相反；當(dāng)0時(shí)， 0a 運(yùn)算律：aa；aaa； abab 坐標(biāo)運(yùn)算：設(shè),ax y，則,ax yxy 20、向量共線定理：向量0a a 與b共線，當(dāng)且僅當(dāng)有唯一一個(gè)實(shí)數(shù)，使ba b a C abCC - 21 - 設(shè) 11 ,ax y ， 22 ,bxy ， 其中0b， 則當(dāng)且僅當(dāng) 1221 0 x yx y時(shí)，向量a、0b b 共線 21、平面向量基本定理：如果 1 e 、 2 e 是同一平面內(nèi)的兩個(gè)不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任意 向量a，有且只有一對實(shí)數(shù) 1、2 ，使 1122 aee （不共線 的