3[1].14發(fā)2012年考研數(shù)學：高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）.doc

高數(shù)中的重要定理與公式及其證明（一）文章來源：跨考教育考研數(shù)學中最讓考生頭疼的當屬證明題，而征服證明題的第一關就是教材上種類繁多的定理證明。如果本著嚴謹?shù)膶Υ龜?shù)學的態(tài)度，一切定理的推導過程都是應該掌握的。但考研數(shù)學畢竟不是數(shù)學系的考試，很多時候要求沒有那么高。而有些定理的證明又過于復雜，硬要要求自己掌握的話很多時候可能是又費時又費力，最后還弄得自己一頭霧水。因此，在這方面可以有所取舍?，F(xiàn)將高數(shù)中需要掌握證明過程的公式定理總結如下。這些證明過程，或是直接的考點，或是蘊含了重要的解題思想方法，在復習的初期，先掌握這些證明過程是必要的。1）常用的極限0ln(1)lim1xxx，01lim1xxex，01limlnxxaax，0(1)1limaxxax，201cos1lim2xxx【點評】：這幾個公式大家在計算極限的過程中都再熟悉不過了，但有沒有人想過它們的由來呢？事實上，這幾個公式都是兩個重要極限10lim(1)xxxe與0sinlim1xxx的推論，它們的推導過程中也蘊含了計算極限中一些很基本的方法技巧。證明：0ln(1)lim1xxx：由極限10lim(1)xxxe兩邊同時取對數(shù)即得0ln(1)lim1xxx。01lim1xxex：在等式0ln(1)lim1xxx中，令ln(1)xt，則1txe。由于極限過程是0x，此時也有0t，因此有0lim11ttte。極限的值與取極限的符號是無關的，因此我們可以吧式中的t換成x，再取倒數(shù)即得01lim1xxex。01limlnxxaax：利用對數(shù)恒等式得ln0011limlimxxaxxaexx，再利用第二個極限可得lnln0011limlnlimlnlnxaxaxxeeaaxxa。因此有01limlnxxaax。0(1)1limaxxax：利用對數(shù)恒等式得ln(1)ln(1)ln(1)00000(1)111ln(1)1ln(1)limlimlimlimlimln(1)ln(1)aaxaxaxxxxxxxeexexaaaxxaxxaxx上式中同時用到了第一個和第二個極限。201cos1lim2xxx：利用倍角公式得22220002sinsin1cos1122limlimlim222xxxxxxxxx。2）導數(shù)與微分的四則運算法則22(),d()(),d()(),d()(0)uvuvuvdudvuvuvuvuvvduudvuvuuvuvduudvvvvvv【點評】：這幾個求導公式大家用得也很多，它們的證明需要用到導數(shù)的定義。而導數(shù)的證明也恰恰是很多考生的薄弱點，通過這幾個公式可以強化相關的概念，避免到復習后期成為自己的知識漏洞。具體的證明過程教材上有，這里就不贅述了。3）鏈式法則設(),()yfuux，如果()x在x處可導，且()fu在對應的()ux處可導，則復合函數(shù)()yfx在x處可導可導，且有：()()()dydydufxfuxdxdudx或【點評】：同上。4）反函數(shù)求導法則設函數(shù)()yfx在點x的某領域內連續(xù)，在點0x處可導且()0fx，并令其反函數(shù)為()xgy，且0x所對應的y的值為0y，則有：000111()()()dxgydyfxfgydydx或【點評】：同上。5）常見函數(shù)的導數(shù)1xx，sincosxx，cossinxx，1lnxx，1loglnaxxa，xxee，lnxxaea【點評】：這些求導公式大家都很熟悉，但很少有人想過它們的由來。實際上，掌握這幾個公式的證明過程，不但可以幫助我們強化導數(shù)的定義這個薄弱點，對極限的計算也是很好的練習。現(xiàn)選取其中典型予以證明。證明：1xx：導數(shù)的定義是0()()()limxfxxfxfxx，代入該公式得1100(1)1(1)1()limlimxxxxxxxxxxxxxxx。最后一步用到了極限0(1)1limaxxax。注意，這里的推導過程僅適用于0x的情形。0x的情形需要另行推導，這種情況很簡單，留給大家。sincosxx：利用導數(shù)定義0sin()sinsinlimxxxxxx，由和差化積公式得002cos()sinsin()sin22limlimcosxxxxxxxxxxx。cossinxx的證明類似。1lnxx：利用導數(shù)定義00ln(1)ln()ln1lnlimlimxxxxxxxxxxx。1loglnaxxa的