多自由度系統(tǒng)的動力學(xué)特性.ppt

第四章多自由度系統(tǒng)(MDOF)的動力學(xué)特性,用一個獨(dú)立坐標(biāo)描述的單自由度系統(tǒng)，是實(shí)際振動系統(tǒng)的最簡單模型；用兩個或更多有限個獨(dú)立坐標(biāo)描述的振動系統(tǒng)稱作多自由度系統(tǒng)；工程上各種機(jī)械的結(jié)構(gòu)物，總是由桿、梁、板、殼等元件組成的彈性體，它們的質(zhì)量與剛度都具有分布的性質(zhì)，理論上是無限自由度系統(tǒng)，然而在多數(shù)情況下，無限自由度問題可以簡化為有限多個自由度系統(tǒng)進(jìn)行研究；,多自由度系統(tǒng)運(yùn)動方程的建立,采用拉格朗日方程建立多自由度系統(tǒng)運(yùn)動微分方程動能：勢能：耗散能：代入拉格朗日方程：得,多自由度系統(tǒng)的運(yùn)動是由一組二階常微分方程描述的，多采用數(shù)值法求解。如：直接積分法、有限元法和無限元法。,無阻尼兩自由度振動系統(tǒng)的運(yùn)動微分方程式,以靜平衡位置為坐標(biāo)原點(diǎn)，設(shè)質(zhì)量M1和M2的廣義坐標(biāo)為x1和x2，并假設(shè)它們足夠小，以保證系統(tǒng)在線性范圍內(nèi)運(yùn)動；得到以下二階常系數(shù)線性齊次常微分方程組,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,更一般形式：,求解步驟：,（1）假設(shè)簡諧形式的解：,設(shè)振動時兩質(zhì)量塊按相同頻率和相位作簡諧振動：,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,（2）將上述假設(shè)解代入運(yùn)動方程，得代數(shù)特征值問題：,（3）該線性齊次代數(shù)方程組，非零解的條件是系數(shù)行列式為零：,的特征方程，是的二次多項(xiàng)式，又稱頻率方程。,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,（4）求解得到特征方程的兩個根：,數(shù)學(xué)上稱固有頻率的平方值和為特征值。,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,（5）將代入下式，對應(yīng)于和，分別得到振幅A1和A2之間的兩個確定的比值：,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,當(dāng)系統(tǒng)按某一固有頻率振動時，振幅比只取決于系統(tǒng)本身的物理性質(zhì)，而與初始條件無關(guān)在振動過程中，系統(tǒng)各廣義坐標(biāo)的位移之相對比值可以由該振幅比確定該比值確定了整個振動系統(tǒng)的振動形態(tài)，稱為主振型或固有振型,固有振型示意圖,兩質(zhì)量-彈簧系統(tǒng)三質(zhì)量-彈簧系統(tǒng),一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,（6）主振動的確定：,系統(tǒng)以某一階固有頻率按其相應(yīng)的主振型作振動，稱為系統(tǒng)的主振動。故第一和第二階主振動分別為,系統(tǒng)作主振動時，各廣義坐標(biāo)同時經(jīng)過靜平衡位置和達(dá)到最大偏離位置，是一種有確定的頻率和振型的簡諧振動,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,上述兩種主振動的疊加，即,（7）一般情況下，自由振動的通解為:,A1、A2和、是由初始條件決定的待定常數(shù)；,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,（7）通解正規(guī)化處理:將其中一個振幅取為單位1,是模態(tài)矩陣，P是主坐標(biāo)。,一、兩自由度系統(tǒng)的自由振動,只有在特定的初始條件下，其自由振動才表現(xiàn)為單一振型的主振動，才是一種簡諧振動，如：，系統(tǒng)作第一主振動；，系統(tǒng)作第二主振動；其他；,一般情況下，系統(tǒng)的自由振動是由兩種不同頻率的主振動的線性組合，其結(jié)果不一定是簡諧振動，這是和單自由度系統(tǒng)自由振動有很大區(qū)別的地方。,二、多自由度系統(tǒng)的自由振動,多自由度系統(tǒng)，無阻尼自由振動方程式的一般形式：,展開式為：,設(shè)有以下解：,二、多自由度系統(tǒng)的自由振動,矩陣形式：,代入動力學(xué)方程得：,方程有非零解的條件：,其中為振型向量,上式為廣義特征值問題,二、多自由度系統(tǒng)的自由振動,該特征方程存在的n個正實(shí)根，即系統(tǒng)的特征值，也叫系統(tǒng)的固有頻率。固有頻率對應(yīng)的特征向量Xi叫固有振型或主振型。,即：,展開得到系統(tǒng)的特征方程：,二、多自由度系統(tǒng)的自由振動,每個特征值由小到大按序排列為：,多自由度系統(tǒng)的固有頻率也是由系統(tǒng)本身的物理參數(shù)決定，與起始運(yùn)動狀態(tài)無關(guān)；多自由度系統(tǒng)有多個固有頻率，其中的最低固有頻率稱為系統(tǒng)的基頻；,振型矩陣（模態(tài)矩陣）n自由度系統(tǒng)，有n個主振型Xi(i=1,2,n)，振型矩陣為,節(jié)點(diǎn)：第i個主振型有i-1個節(jié)點(diǎn),特征向量的正交性,對于第i個、第j個特征值和特征向量，有,兩邊分別左乘XjT和XiT得,特征值矩陣（頻率矩陣）n個特征值組成的對角矩陣，稱為特征值矩陣或譜矩陣。,兩式相減得,第i階主剛度,第i階主質(zhì)量,主振型關(guān)于質(zhì)量矩陣和剛度矩陣正交,振型矩陣,模態(tài)質(zhì)量矩陣,模態(tài)剛度矩陣,模態(tài)質(zhì)量、廣義質(zhì)量或主質(zhì)量,正則化的振型矩陣,正則化振型矩陣的正交性,模態(tài)剛度、廣義剛度或主剛度,第i階特征值,正則化振型矩陣的正交性,展開定理,系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。,方程,主振型,設(shè)位形u可用下式表示,如果Xi線性相關(guān)，必有,其中ci為非零常數(shù)。,兩邊同時左乘XrTM得：,由矩陣的正交性：,展開定理,系統(tǒng)任一位形能用系統(tǒng)主振型的線性組合表示。,因此只有當(dāng)cr=0時，等式才成立。取r1,2,n，重復(fù)n次，可得結(jié)論，只有當(dāng)c1=c2=cn=0時，等式才成立，與前面的假設(shè)矛盾，因此系統(tǒng)的振型矢量是線性獨(dú)立的。,ci的計(jì)算可對展開式兩邊左乘XrTM得到,三、廣義特征值的數(shù)值計(jì)算方法,計(jì)算多自由度系統(tǒng)低階固有頻率和振型可以歸結(jié)為求如下特征值問題：1）MK型2）MCK型：常見解法分為直接解和變換為標(biāo)準(zhǔn)型后求解。先求特征值時，解MK型的廣義雅可比法、子空間迭代法、STURM法；解MCK型的Lanczos法和伯努利法；先求特征向量時，解MCK型的冪法、Householder法、子空間迭代法、逆迭代法和同時迭代法。,自學(xué)這些數(shù)學(xué)方法，并會用MATLAB編程調(diào)用求解廣義特征值問題。,瑞雷商：若X是A的特征向量，則R是相應(yīng)于x的特征值。定義MK型特征值問題的瑞雷商為定義MCK型特征值問題的瑞雷商為,例題1,求二層樓房的自振頻率與振型已知m1=m2=1000kg，k1=1000N/m，k2=1500N/m。解：1）寫出動力學(xué)方程，設(shè)其解的簡諧形式2）寫出頻率方程式3）解方程得特征值，回代得特征向量。,例題2瞬態(tài)