大學(xué)數(shù)學(xué)函數(shù)的連續(xù)性.pptVIP

函數(shù)的連續(xù)性(continuity),氣溫的變化，河水的流動(dòng)，植物的生長(zhǎng)等都是連續(xù)地變化著，反映在函數(shù)關(guān)系上是函數(shù)的連續(xù)性。,當(dāng)時(shí)間變化很微小時(shí)，氣溫的變化也很微小，一般的，當(dāng)自變量改變很微小時(shí)，因變量也很微小，這個(gè)特性稱為連續(xù)性。,連續(xù)函數(shù)在圖像上是一條連續(xù)無(wú)間斷點(diǎn)的曲線。,自變量的增量,函數(shù)的增量,增量的概念,定義1設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，,在區(qū)間(a,b)上每一點(diǎn)都連續(xù)的函數(shù),叫做在該區(qū)間上的連續(xù)函數(shù),或者說(shuō)函數(shù)在該區(qū)間上連續(xù),若在該區(qū)間左右端點(diǎn)處連續(xù),稱函數(shù)是閉區(qū)間上的連續(xù)函數(shù)。,如果函數(shù)y=f(x)在x0點(diǎn)連續(xù),則必須同時(shí)滿足下列三個(gè)條件：(1)f(x)在x0的某個(gè)鄰域內(nèi)有定義極限值存在極限值與函數(shù)值相等,定義2設(shè)函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0的某一鄰域內(nèi)有定義，如果當(dāng)自變量的增量x=x-x0趨于零時(shí)，對(duì)應(yīng)的函數(shù)的增量y=f(x0+x)-f(x0)也趨于零，即那末就稱函數(shù)y=f(x)在點(diǎn)x0連續(xù).,連續(xù)函數(shù)在幾何圖象上是一條連續(xù)不斷的曲線.,函數(shù)在一點(diǎn)處連續(xù)的本質(zhì)特征：當(dāng)自變量改變很微小時(shí)，函數(shù)值變化也很微小,連續(xù)性舉例,1.討論絕對(duì)值函數(shù)在x=0處的連續(xù)性.,解因?yàn)?所以,所以絕對(duì)值函數(shù)在x=0處連續(xù),2.作為例子我們來(lái)證明函數(shù)y=sinx在區(qū)間內(nèi)是連續(xù)的,由三角公式有,一般地,證明一個(gè)函數(shù)在某個(gè)區(qū)間內(nèi)連續(xù)時(shí),宜使用等價(jià)定義式;若要證明函數(shù)在某點(diǎn)處連續(xù),則宜使用原定義式.,解因?yàn)?要使函數(shù)在點(diǎn)連續(xù),則應(yīng)有,所以,函數(shù)的間斷點(diǎn)discontinuity,Discontinuityatx=1andx=2,若函數(shù)有下列三種情形之一：,則稱函數(shù)在點(diǎn)處不連續(xù)，點(diǎn)稱為函數(shù)的間斷點(diǎn)。,不連續(xù)點(diǎn)即為間斷點(diǎn),可去間斷點(diǎn)(1)第一類,點(diǎn)x=1是函數(shù)f(x)的可去間斷點(diǎn),函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型,可去間斷點(diǎn)(2)第一類,函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型,例如,但不存在,點(diǎn)稱為函數(shù)的可去間斷點(diǎn)。,跳躍間斷點(diǎn)第一類,點(diǎn)x=0是函數(shù)f(x)的跳躍間斷點(diǎn)。,函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型,函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型,無(wú)窮間斷點(diǎn)第二類,振蕩間斷點(diǎn)第二類,點(diǎn)x=0是函數(shù)f(x)的振蕩間斷點(diǎn)。,函數(shù)的間斷點(diǎn)的類型,解這是一個(gè)初等函數(shù)，其定義域?yàn)?而,所以，x=1是函數(shù)的第一類的可去間斷點(diǎn)；x=2是函數(shù)的第二類的無(wú)窮間斷點(diǎn)。,例題,解,由的定義可知，函數(shù)在內(nèi)連續(xù),而,所以，x=1是函數(shù)的第二類間斷點(diǎn)(無(wú)窮間斷點(diǎn))，x=0是函數(shù)的第一類間斷點(diǎn)(跳躍間斷點(diǎn))。,解由連續(xù)性的定義可知，要使函數(shù)在x=0點(diǎn)連續(xù)，則應(yīng)有,而,連續(xù)函數(shù)在連續(xù)點(diǎn)處的極限值等于函數(shù)在該點(diǎn)處的函數(shù)值，即極限號(hào)lim與函數(shù)號(hào)f可以交換次序。,連續(xù)函數(shù)求極限法則,例如,一、連續(xù)函數(shù)的和、差、積、商的連續(xù)性,二、反函數(shù)與復(fù)合函數(shù)的連續(xù)性,例,反三角函數(shù)在其定義域內(nèi)皆連續(xù).,定理1單調(diào)連續(xù)函數(shù)的反函數(shù)仍是單調(diào)連續(xù)函數(shù)。即,例,定理2連續(xù)函數(shù)的復(fù)合函數(shù)仍是連續(xù)函數(shù)。即,三、初等函數(shù)的連續(xù)性,基本初等函數(shù)在定義域內(nèi)是連續(xù)的.,一切初等函數(shù)在其定義區(qū)間內(nèi)都是連續(xù)的.,初等函數(shù)求極限的方法代入法.,例1,解,例2,解,例3,解,例4求,解,如果函數(shù)f(x)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)連續(xù),在右端點(diǎn)b左連續(xù),在左端點(diǎn)a右連續(xù),那么函數(shù)f(x)就是在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的,定義,閉區(qū)間連續(xù)函數(shù)的性質(zhì),最值定理（Themax-mintheorem）,在閉區(qū)間a,b上連續(xù)的函數(shù),一定能取得它的最大值和最小值。,說(shuō)明：可在區(qū)間內(nèi)部取得最值，也可在區(qū)間端點(diǎn)取得最值。,注意:1.若區(qū)間是開區(qū)間,定理不一定成立;2.若區(qū)間內(nèi)有間斷點(diǎn),定理不一定成立.,介值定理Theintermediatevaluetheorem,根的存在定理,設(shè)函數(shù)f(x)在閉區(qū)間a,b上連續(xù),且