洛必達(dá)法則.ppt

1,第二節(jié)洛必達(dá)法則,復(fù)習(xí),一、羅爾(Rolle)定理,二、拉格朗日中值定理,設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件:,(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；,(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；,設(shè)函數(shù)f(x)滿足條件:,(1)在閉區(qū)間上連續(xù)；,(2)在開區(qū)間內(nèi)可導(dǎo)；,2,微分中值定理,柯西(17891857),三、柯西中值定理,3,設(shè)函數(shù)f(x)與g(x)滿足：,若在拉格朗日定理的幾何背景中曲線由參數(shù)方程表示,由參數(shù)方程的導(dǎo)數(shù)公式可推出下述柯西定理。,使得,則至少存在一點(diǎn),(2)在開區(qū)間(a,b)內(nèi)可導(dǎo),上連續(xù),(1)在閉區(qū)間a,b,定理,內(nèi),(3)在開區(qū)間(a,b),C,A,B,三、柯西中值定理,4,中值定理之間關(guān)系,若取g(x)=x,羅爾定理,拉格朗日定理,柯西定理,因此拉格朗日定理可以看成是羅爾定理的推廣。,定理。,則得到羅爾,在拉格朗日定理中,若取f(a)=f,(b),因此，柯西定理可以看成是拉格朗日定理的推廣。,則得到拉格朗日定理。,在柯西定理中,微分中值定理建立了函數(shù)在一個區(qū)間上的增量(整體性)與該區(qū)間內(nèi)某點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)(局部性)之間的關(guān)系,搭建了導(dǎo)數(shù)與函數(shù)增量之間的橋梁,使導(dǎo)數(shù)成為研究函數(shù)性態(tài)的工具.,g(x)=x,f(a)=f,(b),重點(diǎn),5,6,第二節(jié)洛必達(dá)法則,確定未定式的極限是求極限的主要類型,由無窮小的商和無窮大的商形成的,法國數(shù)學(xué)家洛必達(dá)給出了解決這些未定式極限的最有力工具,未定式主要有：,常見的,在同一極限過程下,由無窮小與無窮大之間的冪形成的,由無窮大與無窮大的差形成的,由無窮小與無窮大的積形成的,型未定式；,型未定式；,型未定式；,型未定式.,如何來求解這些未定式的極限？,第二節(jié)洛必達(dá)法則,洛必達(dá)法則.,7,若f(x)和g(x)滿足下列條件：,則,定理(洛比達(dá)法則),8,則,若f(x)和g(x)滿足下列條件：,定理(洛比達(dá)法則),第二節(jié)洛必達(dá)法則,9,對于其它極限形式,(1)對于求未定型極限的洛比達(dá)法則,(2)在使用洛比達(dá)法則求極限時,說明:,不僅適用于極限過程,未定型,若法則使用后仍為,未定型是使用法則求極限的前提.,判別是否為,則法則可以重復(fù)使用.,法則同樣適用.,第二節(jié)洛必達(dá)法則,10,解,解,例2求極限,第二節(jié)洛必達(dá)法則,例1,注意：,在多次使用洛必達(dá)法則時，一定要注意驗證是否滿足條件,11,例3,解,例4,解,極限為未定型,由洛必達(dá)法則有,第二節(jié)洛必達(dá)法則,12,解,（等價代換化簡）,（洛必達(dá)法則）,先用無窮小等價代換化簡，再用洛必達(dá)法則得,例5求極限,第二節(jié)洛必達(dá)法則,注意：洛必達(dá)法則是求未定式的一種有效方法，但與其它求極限方法結(jié)合使用，效果更好.,13,應(yīng)單獨(dú)求,例6：,為型,由洛必達(dá)法則有,解,說明：若型或型極限中含有非零因子,可以簡化極限運(yùn)算.,極限而不要參與洛必達(dá)法則運(yùn)算,第二節(jié)洛必達(dá)法則,14,使用洛比達(dá)法則應(yīng)注意的問題：,2.使用中要注意化簡，以及將極限存在的因式進(jìn)行必要的分離.,3.使用中要注意與重要極限、無窮小等價代換等其他求極限方法結(jié)合使用.,1.使用前必須判別是否為未定式.,第二節(jié)洛必達(dá)法則,15,由洛必達(dá)法則得,由等價無窮小代換,得,例7,解,因為,也可由等價代換求此極限,第二節(jié)洛必達(dá)法則,16,二、其它未定式的極限,為型未定型.,若,對于型可將其化為型或型未定型.,則,第二節(jié)洛必達(dá)法則,17,例8,解,二、其它未定式的極限,18,步驟:,例9,例9,解,步驟:,二、其它未定式的極限,19,二、其它未定式的極限,20,例10,所求極限為型未定式，,解,因為,所以,解法二,二、其它未定式的極限,21,例11:,解：,求極限,二、其它未定式的極限,22,使用洛必達(dá)法則求極限時,應(yīng)注意:,但(1)不存在,并不能斷定極限(2)也不存在。,洛必達(dá)法則并非總有效,應(yīng)改用其他方法,此時，,(充分而非必要),討論。,只能說明該法則失效。,第二節(jié)洛必達(dá)法則,23,例證明存在但不能用洛必達(dá)法則求解.,解,所以，所給極限存在,該極限不存在.,因為,但由洛必達(dá)法則,因此，所給極限不能用洛必達(dá)法則求。,第二節(jié)洛必達(dá)法則,24,解,失效,解法二,例,第二節(jié)洛必達(dá)法則,25,小結(jié),型未定式,型未定式,型未定式,型未定式,一、基本類型：,二、非基本類型：,洛必達(dá)法則,第二節(jié)洛必達(dá)法則,26,第二節(jié)洛必達(dá)法則,27,1、利用極限的四則運(yùn)算法則,2、利用兩個重要極限,3、利用無窮大與無窮小的關(guān)系及無窮小的性質(zhì),4、利用,6、利用函數(shù)的連續(xù)性,7、利用洛必達(dá)法則,5、利用無窮小等價代換原理,8、利用導(dǎo)數(shù)定義,求函數(shù)極限的方法,28,作業(yè)講評:,解