專題2-導數(shù)的綜合應用含詳細答案.doc

專題2 導數(shù)的綜合應用刷難題1. 已知是自然對數(shù)的底數(shù)，。（1）求曲線在點處的切線方程；（2）當，時，求證：。答案（1）因為，所以，。.3分所以曲線在點處的切線方程為，即。.6分（2）設，則。.8分設，則。因為，所以，。所以在內單調遞增。所以當時，即。.10分因為，所以。所以當時，在內單調遞增。所以當，時，即。.12分解析:本題主要考查導數(shù)的計算，導數(shù)在研究函數(shù)中的應用。（1）因為曲線在點處的導數(shù)即為切線的斜率，求出的導數(shù)，結合題中條件，即可求得切線方程；（2）令，對二次求導，結合題中所給條件“，”，即可證得結論。2. 已知函數(shù),的圖象在處的切線方程為(1)求實數(shù)a,b的值;(2)若存在,使恒成立,求k的最大值.解:(1)f(x),f(1),根據(jù)題意得f(1)=3,又,綜上:,(2)(x),設,g(x),;,是減函數(shù);,是增函數(shù);,又,恒成立,所以又,所以3. 已知函數(shù).()討論的單調性;()若有兩個極值點,證明:.解:(1),不妨設,則關于x的方程的判別式,當時,故,函數(shù)在上單調遞減,當時,方程有兩個不相等的正根,不妨設,則當及時,當時,在,遞減,在遞增;(2)由(1)知當且僅當時有極小值和極大值,且,是方程的兩個正根,則,令,當時,在內單調遞減,故,.解析:(1)先求出函數(shù)的導數(shù),通過討論a的范圍,確定導函數(shù)的符號,從而判斷函數(shù)的單調性;(2)表示出,通過求導進行證明.4.已知函數(shù)（1）求f（x）的單調區(qū)間；（2）求曲線y=f（x）在點（1，f（1）處的切線方程；（3）求證：對任意的正數(shù)a與b，恒有答案（1）先求出函數(shù)f（x）的定義域，再求出函數(shù)f（x）的導數(shù)和駐點，然后列表討論，求函數(shù)f（x）的單調區(qū)間和極值（2）欲求在點（1，f（1）處的切線方程，只須求出其斜率的值即可，故先利用導數(shù)求出在x=1處的導函數(shù)值，再結合導數(shù)的幾何意義即可求出切線的斜率從而問題解決（3）所證不等式等價為，而，設t=x+1，則，由（1）結論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調遞減，在（1，+）單調遞增，從而得到證明解析（1）函數(shù)，由f（x）0x0；由f（x）0-1x0；f（x）的單調增區(qū)間（0，+），單調減區(qū)間（-1，0）（2），當x=1時，y=得切線的斜率為，所以k=；所以曲線在點（1，f（1）處的切線方程為：y-ln2+=（x-1），即x-4y+4ln2-3=0故切線方程為x-4y+4ln2-3=0（3）所證不等式等價為而，設t=x+1，則，由（1）結論可得，F(xiàn)（t）在（0，1）單調遞減，在（1，+）單調遞增，由此F（t）min=F（1）=0，所以F（t）F（1）=0即，記代入得：得證5已知函數(shù).(1)討論的單調性;(2)若對任意恒成立,求實數(shù)a的取值范圍(e為自然常數(shù)).解:(),當時,的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;當時,的單調增區(qū)間為,單調減區(qū)間為;()令,則,若,即,在上是增函數(shù),無解.若,即,在上是減函數(shù);在上是增函數(shù),即.,即,.若,即,在上是減函數(shù),即,綜上所述,.解析:(1)先求導,再分類討論即可得到函數(shù)的單調性;(2)令,從而求導,再由導數(shù)的正負討論確定函數(shù)的單調性,從而求函數(shù)的最大值,從而化恒成立問題為最值問題即可.6. 已知函數(shù)(1)討論函數(shù)的單調性;(2)當有極大值與極小值時,求證函數(shù)在定義域內有唯一的零點.解:(1)根據(jù)題意得,f(x),由f(x)=0,得,當,即,令f(x),又,可得或;令f(x),可得,函數(shù)的單調增區(qū)間是和,單調減區(qū)間是;當,即時,f(x),當且僅當時,f(x)=0,函數(shù)在區(qū)間上是單調增函數(shù);當,即時,令f(x),又,可得或;令f(x),可得函數(shù)的單調增區(qū)間是和,單調減區(qū)間是;當,即時,令f(x),計算得出:,令f(x),計算得出:,在遞減,在遞增.(2)有極大值與極小值,由(1)可以知道,或,當時,函數(shù)的單調增區(qū)間是和,單調減區(qū)間是,若,無零點,若,則,有一個零點,則當時,有唯一的零點,當函數(shù)的單調增區(qū)間是和,單調減區(qū)間是;若,有,則,則,即在內無零點,若,則,即在有一個零點,則當時,有唯一的零點,綜上所述函數(shù)在