2014年寒假物理競賽-運動學 動力學 靜力學 能量 天體運動等

2014 年寒假 物理競賽提高班 導學 （第一次） 資料 說明 本 導學用于學員在實際授課 之 前 ，了解授課方向及重難點。 同時 還 附上部分知識點 的詳細解讀。每個班型導學共由 4 次書面資料構成。此次發(fā)布的為第一次導學，后面的第二次導學 ， 將于 2013 年 12 月 5 日發(fā)布。在 2013 年 12 月 20 日，公司 還 會發(fā)布 相應班型的詳細授課大綱，敬請關注。 2014 年寒假物理競賽提高班導學 (力學 部分 ) 知識框架 . 2 重點難點 . 3 知識梳理 . 4 一、 運動學 . 4 1. 相對運動 . 4 2. 直線運動 . 4 清北學堂集中 培訓課程 導學資料 （ 2014 年寒假集中培訓 課程 使用 ） QBXT/JY/DX2013/11-1-6 2013-11-30 發(fā)布 清北學堂教學研究部 清北學堂集中培訓課程導學資料 3. 曲線運動 . 4 4. 剛體運動 . 5 二、 動力學 . 6 1. 牛頓運動定律 . 6 2. 質心系運動定律 . 6 3. 非慣性參考系和慣性力 . 6 4. 剛體動力學 . 7 三、 靜力學 . 8 1. 靜力平衡 . 8 2. 流體靜力學 . 8 3. 摩擦角 . 9 四、 能量、動量和角動量 . 10 1. 功能原理 . 10 2. 動能定理 . 10 3. 動量守恒 . 10 4. 角動量守恒 . 10 五、 天體運動 . 12 1. 萬有引力 . 12 2. 開普勒行星運動定律 . 12 3. 宇宙速度與軌道能量 . 12 例題選講 . 14 清北學堂集中培訓課程導學資料 知識框架 運動學 相對運動 直線運動 曲線運動 剛體運動 動力學 牛頓運動定律 質心系運動定律 非慣性參考系和慣性力 剛體動力學 靜力學 靜力平衡 流體靜力學 摩擦角 能量、動量和角動量 功能原理 動能定理 動量守恒 角動量守恒 天體運動 萬有引力 開普勒行星運動定律 宇宙速度與軌道能量 清北學堂集中培訓課程導學資料 重點難點 運動學中 曲線運動 部分解題方法種類及變化多，需要熟練掌握并靈活使用。動力學中需要熟練掌握并使用 質心系的運動定律 、 非慣性參考系 ；剛體動力學中 轉動慣量 及計算轉動慣量的定理非常重要，也較有難度。靜力學中需要熟練掌握并使用 靜力平衡的條件 ，還需要靈活運用 摩擦角 簡化摩擦力問題求解。能量、動量和角動量中動量守恒涉及較多 碰撞 問題，需要靈活運用碰撞規(guī)律；還需要熟悉 角動量守恒 ，并在天體運動中靈活運用。天體運動 開普勒行星運動定律 是重點，結合角動量守恒定律基本可求解天體運動問題。 清北學堂集中培訓課程導學資料 知識梳理 一、 運動學 1. 相對運動 我們一般把質點對地或對地面上靜止物體的運動稱為絕對運動，質點對運動參照系的運動稱相對運動，而運動參照系對地的運動稱牽連運動。以速度為例這三種速度分別稱 絕對速度 、 相對速度 、 牽連速度 ，且有 牽連相對絕對 vvv 。 使用相對運動或相對速度有時可 簡化問題 計算。 2. 直線運動 （ 1） 勻速直線運動 vts 常數v 0a （ 2） 勻變速直線運動 1) 勻變速直線運動的一般規(guī)律 atvvt 0 20 21 attvs asvvt 2202 2) 自由落體運動 gtvt 221gts 3) 豎直拋體運動 1 豎直下拋運動的規(guī)律：規(guī)定 拋出點為原點 ，豎直 向下為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 2 豎直上拋運動的規(guī)律：規(guī)定 拋出點為原點 ，豎直 向上為正方向 ，公式為 gtvvt 0 20 21 gttvs 直線運動由于規(guī)律簡單，常與 運動合成分解 及 相對運動 結合，或考察 變加速 直線運動等。 3. 曲線運動 （ 1） 斜拋運動 分速度公式： cos0vvx gtvvy sin0 ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 分位移公式： tvx cos0 20 21s in gttvy ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。消去參數 t ，得軌跡方程： 清北學堂集中培訓課程導學資料 2220 c o s2ta n xvgxy ， 斜上拋運動 ， 斜下拋運動 。 斜上拋運動 的幾個 特征量 ：飛行時間gvT sin2 0 射高gvH 2sin220 射程gvs 2sin20 （ 2） 圓周運動 1) 勻速圓周運動 線速度、角速度的公式和關系為： tsv t rv ， s 為弧長， 為圓心角 切向加速度 0ra ，法向加速度 rrvan 22 ， 指向圓心 。 2) 變速圓周運動 加速度 不指向圓心 ，加速度可分解為 向心 和 切向 兩個分量，即 rn aaa 22 rn aaa nraatan （ 3） 一般曲線運動 每一光滑平面曲線中任何一個 無限小部分 均可屬于某一 圓 ，此圓稱為曲線在該部位的 曲率圓 ，其半徑稱為 曲率半徑 ，常記為 ，運動速度 v 及向心加速度 na 與曲率半徑 間有關系式： 2n va 4. 剛體運動 剛體上 任意一條直線 在各個時刻位置 彼此平行 稱之為剛體的平動。其特點為：剛體上 任意兩點的運動軌跡相似 。因此，剛體的平動可用其內任一質點的運動來代表。其公式同質點（組）運動公式。 剛體繞定軸轉動特點是剛體上的 各點 都在 與轉軸垂直的平面內做圓周運動 ，各點做圓周運動的 半徑可以不相等 ，但各點的 轉過的角度都相同 。 轉動涉及的運動學變量為 角位移 、角速度 、 角加速度 ： 20 21 ttrs 0rv ra )(2 0202 清北學堂集中培訓課程導學資料 二、 動力學 1. 牛頓運動定律 牛頓運動定律為 牛頓第一定律 、 牛頓第二定律 和 牛頓第三定律 。 牛頓第一定律：慣性定律，不受力物體保持靜止或勻速直線運動狀態(tài)。 牛頓第二定律：物體的 加速度跟合外力成正比，跟質量成反比 ，即： amF 牛頓第三定律：作用力與反作用力等大反向，在同一條直線上。 三大定律中 第二定律 使用最多，也最為重要。第二定律同樣 適用于質點系 。質點系某一時刻各質點 受外力 x 方向分量為 xF1 ， xF2 ， kxF ，加速度 x 方向分量為 xa1 ， xa2 ，kxa ，則： kxxxx FFFF 21 為質點系 x 方向上所受的 合外力 ，進而有： kxkxxx amamamF 2211 上式為 質點系的牛頓第二定律 。 2. 質心系運動定律 對 n 個質點組成的系統， 1m ， 2m ， nm 和 1r ， 2r ， nr 分別為質量和位置矢量，系統 質心的位置矢量 為： mrmmmmrmrmrmrni iinnnc 1212211 ，其中 ni imm 1。 質心位置矢量在 直角坐標系 三個方向上的 投影分量 為： mxmxni iic 1 ， mymyni iic 1 ， mzmzni iic 1 對質心的牛頓第二定律 為 camF ， F 為 系統所受合外力 ， ca 為 質心加速度 。 質心運動定律說明：不管物體的質量如何分布，也不管外力作用點在物體的哪個位置，質心的運動總等效于物體的質量全部集中在此點、外力作用于此點的運動。 以 質心作參照 的參考系為質心系，多質點系統 不受外力 時 質心運動狀態(tài)不變 ，結合質心定義可確定各質點運動狀態(tài)。 3. 非慣性參考系和慣性力 牛頓第一定律不成立 的參考系叫非慣性參考系，簡稱 非慣性系 ，如加速運動的小車、考慮自轉時地球等。 非慣性系相對慣性系有加速度，因此相對慣性系沒有加速度的物體對非慣性系有加速度，因此在非慣性系看來認為物體受到了一種 方向與非慣性系相對于慣性系的加速度相反 的力，這種力叫慣性力： amF 慣 ， m 為物體質量， a 為非慣性系相對于慣性系的加速度。 清北學堂集中培訓課程導學資料 慣性力 不是真實存在 的，因此 沒有反作用力 。引入慣性力后非慣性系中動力學方程與慣性系 形式相同 。 4. 剛體動力學 對饒定軸轉動的剛體，描述其轉動運動的運動學量為剛體對轉軸的 角位移 、剛體旋轉的 角速度 和剛體旋轉的 角加速度 ，動力學量為剛體受外力對轉軸的 合外力矩 M ，剛體對轉軸的 轉動慣量 I 。 剛體對軸的轉動慣量定義為 12i iirmI。 類比質點牛頓運動定律， 剛體轉動運動定律 為 IM 。 計算轉動慣量有三個定理，即 平行軸定理 、 垂直軸定理 和 伸展定則 。 平行軸定理 ：剛體對 過質心的軸 的轉動慣量為 I ，則剛體對 與該軸平行 且相距為 d 的軸的轉動慣量 2mdII 。 垂直軸定理 ：設三維直角坐標系 xy 平面內有一 平板狀剛體 ，對 x 軸和 y 軸的轉動慣量分別為 xI 和 yI ，則剛體對 z 軸的轉動慣量 yxz III 。 伸展定則 ：剛體上任一點 平行的沿一直軸 移動一段距離，剛體 對該軸 的轉動慣量不變。 清北學堂集中培訓課程導學資料 三、 靜力學 1. 靜力平衡 （ 1） 彈力 彈力由 形變 引起，為 接觸力 。產生必要條件為 相互接觸且有形變 。 1) 輕繩、輕桿、輕彈簧 輕繩 受力， 只能產生 拉力 ，方向 沿繩子且指向繩子收縮的方向 。 輕桿 受力，有 拉伸 、 壓縮 、 彎曲 、 扭轉 形變，與之對應，桿的彈力 方向具有多向性 。 輕彈簧 受力，有 壓縮 和 拉伸 形變，能產生 拉力 和 壓力 ，方向 沿彈簧的軸線方向 。 2) 面與面、點與面接觸 面與面、點與面接觸時，彈力方向 垂直于面 （若是曲面則 垂直于切面 ）， 指向受力物體 。 對于不能明確是否產生形變的，可采用 假設法 判斷物體間是否具有 相對運動趨勢 或 相對運動 。它們的大小，可通過 牛頓定律 和 力平衡條件 來確定。 （ 2） 共點力平衡 共點力平衡條件為 合力為零 ，即 0i iF ，分量形式為 0i ixF ， 0i iyF 。物體受三個 不平行 的力作用平衡時，三力必為共點力。 （ 3） 一般性平衡條件 1) 物體受力平衡的一般條件 物體一般的受力平衡條件為 合力為零且合力矩為零 ，即 0i iF ， 0i iM 。合力矩為零的含義是對 任意轉軸（支點） 合力矩為零。 2) 平衡分類 物體的平衡可分為 穩(wěn)定平衡 、 不穩(wěn)定平衡 和 隨遇平衡 三類。 穩(wěn)定平衡 ：當物體 稍稍偏離 平衡位置時，有力或力矩使其回到平衡位置。 不穩(wěn)定平衡 ：當物體 稍稍偏離 平衡位置時，有力或力矩使其偏離繼續(xù)增大。 隨遇平衡 ：當物體偏離平衡位置時，它所受的力或力矩不發(fā)生變化，能 在新的位置再次平衡 。 平衡類型的判斷方法有 受力（力矩）分析法、重心升降法和支面判斷法 。 受力（力矩）分析法 ：偏離平衡位置時，所受外力指向平衡位置，穩(wěn)定平衡；外力背離平衡位置，不穩(wěn)定平衡；外力為零，隨遇平衡。 重心升降法 ：偏離平衡位置時，重心升高，穩(wěn)定平衡；重心降低，不穩(wěn)定平衡；重心高度不變，隨遇平衡。 支面判斷法 ：有支面物體平衡時 重力作用線過支面 。偏離平衡位置時，重力作用線仍過支面，穩(wěn)定平衡；重力作用線不過支面，不穩(wěn)定平衡。 2. 流體靜力學 （ 1） 液體壓強與浮力 靜止液體的壓強與 液體密度和深度成正比 ，即 ghP ， 為液體密度， h 為深度。 浸在靜止液體中物體受到液體對它 各個方向 總壓力的 合力 ，其大小就等于被物體所 排開的液體受的重力 。 gVF ，式中 V 為物體浸沒在液體部分 的體積， 為液體密度。浮力的方向是 豎直向上 的，浮力的大小 與物體的重量無關 ， 與物體在液體中 深度無關 。 （ 2） 液體表面張力 清北學堂集中培訓課程導學資料 液體與其他相物體 交界面 處會產生表面張力， LF ， 為表面張力系數， L 為交界面長度。表面張力 垂直于交界面 。 3. 摩擦角 設靜摩擦因數為 s ，則摩擦角定義為 s arctan 。 摩擦角 幾何意義 ：最大靜摩擦力 smf 與支持力 N 的合力 mR 與接觸面法線間的夾角。 全反力 ：物體受到的摩擦力 f 與支持力 N 的合力 R 叫 支持面對物體 的全反力。當 R 與法線夾角 時，靜摩擦力不超過最大靜摩擦力。因此在 的范圍內斜向下推物體，無論力多大物體都不會滑動，這就是 “自鎖現象” 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 四、 能量、動量和角動量 1. 功能原理 系統 機械能的變化量 等于 外力 對系統所做 總功 與 系統內 耗散力做功 的代數和。耗散力指的是 非保守力 ，即 做功與路徑有關 的力。目前接觸到的力除 重力 、庫侖力外其他力均為非保守力。 2. 動能定理 （ 1） 機械能守恒 系統內 只有保守力做功 ，其他非保守內力和外力做功之和為零，系統的機械能守恒。 （ 2） 動能定理 系統 所有外力 與 所有內力 對系統做功的代數和等于系統 總動能的變化量 ，即： 12 kk EEWW 內外 需要注意，考慮質點系時要考慮內力做功。 類比質點運動動能，剛體 轉動動能 為 221 IEk ，對轉動剛體動能定理仍然成立，即 202 2121 IIW 動能定理常用于計算 變加速運動速度 。 3. 動量守恒 （ 1） 動量守恒 質點系動量定理： 0)( pptF 外 如果 0外F ，則 0pp 。因此，系統 不受外力或者受外力之和為零 ，系統的總動量保持不變，即質點系的總動量是守恒的。 若系統在 某一方向上 不受外力（或外力分量之和為零），則系統在該方向上的動量守恒。 在處理碰撞或爆炸問題時，系統 內力作用遠強于外力作用 ，可近似認為無外力作用于系統， 動量守恒仍然成立 。 （ 2） 碰撞 碰撞過程滿足動量守恒。碰撞前后物體速度在同一直線為 正碰 ，否則為 斜碰 。碰撞中無機械能損失為 彈性碰撞 ，有機械能損失為 非彈性碰撞 。當碰撞后兩物體速度相同時，為 完全非彈性碰撞 。 描述碰撞非彈性程度的量為 恢復系數 ，定義為碰撞后分離速度與碰撞前接近速度的比值，即1212 vv vve 。對彈性碰撞， 1e ，完全非彈性碰撞 0e ，一般非彈性碰撞 10 e 。對斜碰，取 沿碰撞接觸面法線方向 的相對速度為接近速度和分離速度即可。 對彈性碰撞，使用 1e 及動量守恒計算碰撞后速度，比使用機械能守恒方便得多。 4. 角動量守恒 角動量定義為動量對轉軸（支點）的矩，也稱為 動量矩 ，即 si nmvrvmrL 。 角動量是剛體轉動中的物理量，類比質點運動動量的定義，質量對應轉動慣量，速度對應角速度，有 IL 。 清北學堂集中培訓課程導學資料 類比動量定理，角動量定理的形式為 )( ItM 。 對 剛體 ，繞定軸 轉動慣量 I 為常數 ，角動量定理為 ItM 。 對 非剛體 ， 轉動慣量 I 不為常數 ，角動量定理為 1122 IItM 。 當物體所受 合外力矩為零 時，角動量守恒。合外力矩為零的一種特殊情況是物體受到 有心力 場 作用，如行星繞恒星轉動。 清北學堂集中培訓課程導學資料 五、 天體運動 1. 萬有引力 質量為 M 的 球對稱分布 球體，半徑為 R ，則與另一個質量為 m 的質點 B 間的萬有引力為 Rrr mrMGRrrMmGF22)( ，其中 )(rM 表示半徑 r 內的部分球的質量。 如果 A 、 B 都是質量球對稱分布的球形物體， 相距很遠 ，則萬有引力為將其質量集中于球心處的 質點 間的萬有引力，即2rMmGF 兩個相距為 r 的質點 M 、 m ，其間 引力勢能 為 rGMmEp 。若 M 為質量均勻半徑為 R 的球殼，則引力勢能RrRGM mRrrGM mE p 。 2. 開普勒行星運動定律 開普勒第一定律 ：行星圍繞太陽的運動 軌道為橢圓 ，太陽在橢圓的一個 焦點 上。 開普勒第二定律 ：行星與太陽的 連線 在相等的時間內 掃過相等的面積 。 開普勒第三定律 ：各行星橢圓軌道半長軸 a 的三次方與軌道運動周期 T 的平方之比值為相同的常量，即 CTa 23 其中，開普勒第二定律與行星運動中角動量守恒等價。 3. 宇宙速度與軌道能量 （ 1） 第一宇宙速度 第一宇宙速度是使物體 繞地球公轉 的最小速度，又稱 環(huán)繞速度 ，即萬有引力恰好提供物體公轉所需的向心力，得 RmvRMmG 22 ，解得 skm9.7 gRRGMv。 （ 2） 第二宇宙速度 第二宇宙速度是使物體 脫離地球引力 的最小速度，又稱 脫離速度 。物體恰好脫離地球引力 即 物 體 到 達 無 窮 遠 處 時 速 度 為 零 ， 得 021 2 RMmGmv ， 解 得skm2.1122 gRRGMv 。 （ 3） 第三宇宙速度 第三宇宙速度是使物體 脫離太陽系 的最小速度，又稱 逃逸速度 。物體脫離太陽系的過程分為兩步，第一步脫離地球引力，第二步脫離太陽引力。設脫離地球引力后相對太陽速度為xv ，類似第二宇宙速度的求法，脫離太陽引力需滿足 021 2 日地太陽R mMGmv x ，解得清北學堂集中培訓課程導學資料 skm2.422 日地太陽RGMv x 。地球繞太陽公轉速度為 skm8.29 ，由伽利略速度變化公式，物體相對地球速度 skm4.12skm)8.292.42( xv 。在地球參考系中由機械能守恒得RMmGmvvm x 22 2121 ，解得 skm7.162 2222 vvRGMvv xx （ 4） 軌道能量與軌道形狀 將行星繞太陽運動的 機械能 記為 E ， E 與三種軌道的對應關系為： 雙曲線軌道拋物線軌道橢圓軌道圓00/0EEE 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 例題選講 例 1. 一只兔子沿直線以恒定速度sm5u 奔跑。某時一只狐貍發(fā)現了這只兔子，便以恒定的速度 sm4v 開始 追它。狐貍奔跑時速度方向始終對準兔子。開始時兩者距離減小。 后又不斷增大。已知最近距離為m30L ，求兩者距離最近時，狐貍的加速度。 解： 當狐貍與兔子相距最近時，以兔子為參考系的狐貍相對速度 v 方向與二者連線垂直，由相對運動原理，有 uvv ，矢量關系如圖所示。 當兔子經時間 t 從 AA 時，狐貍從 BB ，有 tuAA ，而 tvBB c o sc o sB B v vu l l u lAA 狐貍軌跡該處（與兔子最近距離）的曲率半徑 lvv ，而 22 vuv ，所以狐貍此時的加速度 2222 sm4.0l vuvlvvva 。 簡析： 本題使用“微元思想”結合曲線運動中“曲率半徑”概念，取最近距離附近的微小運動進行分析，解決了難以整體計算運動過程的問題。此類解題思路及方法值得學習和借鑒。 例 2. 一只螞蟻從螞蟻洞沿直線爬出，已知爬出速度 v 的大小與距螞蟻洞中心的距離 L成反比，當螞蟻到達距螞蟻洞中心的距離 m11L 的 A 點時，速度大小為 scm201 v ，問當螞蟻到達距螞蟻洞中心的距離 m22L 的 B 點時，其速度大小為 2v 是多少？ 螞蟻從 A 點到達 B 點所用的時間 t 是多少？ 解： 由已知可得 螞蟻在距離洞中心上 L 處的速度 v 為 Lkv 1 ，代入已知得： sm2.0sm12.0 22 vLk ，所以當 m22L 時，其速度 sm1.02 v 。 由速度的定義得：螞蟻從 L 到 LL 所 需時間 t 為 LLkvLt 1 （ 1） 類比初速度為零的勻加速直線運動的兩個基本公式 atv tvs 在 t 到 tt 時刻所經位移 s 為 ttas （ 2） 比較 （ 1） 、 （ 2） 兩式可以看出兩式的表述形式相同。 據此可得螞蟻問題中的參量 t 和 L 分別類比為初速度為零的勻加速直線運動中的 s 和 t ，清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 而 k1 相當于加速度 a 。 于是，類比 221ats 可得：在此螞蟻問題中 2121 Lkt 令 1t 對應 1L ， 2t 對應 2L ，則所求時間為2222112121LktLkt 代入已知可得從 A 到 B 所用時間為： s75)(21 212212 LLkttt 。 簡析： 本題實質上是一道微積分的計算題，如果掌握一定的微積分知識，本題求解會十分容易。在物理競賽中有許多題目使用微積分方法進行計算能起到另辟蹊徑的作用。 例 3. 質量為 M 的運動員手持一質量為 m 的物塊，以速率 v0 沿與水平面成 角的方向向前跳躍 (如圖所示 )為了能跳得更遠一點，運動員可在跳遠全過程中的某一位置處，沿某一方向把物塊拋出物塊拋出時相對運動員的速度的大小 u 是給定的，物塊拋出后，物塊和運動員都在同一豎直平面內運動 (1) 若運動員在跳遠的全過程中的某時刻 t0 把物塊沿與 x 軸負方向成某 角的方向拋出，求運動員 從起跳到落地所經歷的時間。 (2) 在跳遠的全過程中，運動員在何處把物塊沿與 x軸負方向成 角的方向拋出，能使自己跳得更遠？若 v0 和 u 一定，在什么條件下可跳得最遠？并求出運動員跳的最大距離。 解： （ 1）規(guī)定運動員起跳的時刻為 0t ，設運動員在 P 點（見下圖）拋出物塊，以 0t 表示運動員到達 P 點的時刻，則運動員在 P 點的坐標 Px 、 Py 和拋物前的速度 v 的分量 pxv 、 pyv分別為 0 cospxvv （ 1） 00sinpyv v gt （ 2） 00cospx v t （ 3） 20 0 01sin 2py v t gt （ 4） 設在剛拋出物塊后的瞬間，運動員的速度 V 的分量大小分別為 pxV 、 pyV ，物塊相對運動員的速度 u 的分量大小分別為 xu 、 yu ，方向分別沿 x 、負 y 方向。由動量守恒定律可知 ( ) ( )p x p x x p xM V m V u M m v （ 5） ( ) ( )p y p y y p yM V m V u M m v （ 6） 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 因 u 的方向與 x 軸負方向的夾角為 ，故有 cosxuu （ 7） sinyuu （ 8） 解式（ 1）、（ 2）、（ 5）、（ 6）和式（ 7）、（ 8），得 0 c o sc o spx muVv Mm （ 9） 00 s ins inpy muV v g t Mm （ 10） 拋出物塊后，運動員從 P 點開始沿新的拋物線運動，其初速度為 pxV 、 pyV 。在 t 時刻（ 0tt ）運動員的速度和位置為 x pxVV （ 11） 0()y pyV V g t t （ 12） 0 0 0( ) ( c o s )xxp p x m u m ux x V t t v t tM m M m （ 13） 2001( ) ( )2p p yy y V t t g t t （ 14） 由式（ 3）、（ 4）、（ 9）、（ 10）、（ 13）、（ 14）可得 00c o s c o sc o s m u m ux v t tM m M m （ 15） 2s i n 2 s i n2 s i n m u m uy v t g t tM m M m （ 16） 運動員落地時， 0y 由式（ 16）得 200s i n 2 s i n2 s i n 0m u m ug t v t tM m M m （ 17） 方程的根為 20 0 0s in s in s ins in ( s in ) 2m u m u m uv v g tM m M m M mtg （ 18） 式（ 18）給出的兩個根中，只有當 “ ”取 “ ”時才符合題意，因為從式（ 12）和式（ 10），可求出運動員從 P 點到最高點的時間為式 0sinsin muvMmg 而從起跳到落地所經歷的時間應比上面給出的時間大，故從起跳到落地所經歷的時間為 20 0 0s in s in s ins in ( s in ) 2m u m u m uv v g tM m M m M mt g （ 19） （ 2）由式（ 15）可以看出， t 越大， 0t 越小，跳的距離 x 越大，由式（ 19）可以看出，清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 當 0t 0 時， t 的值最大，由式（ 3）和式（ 4）可知，拋出物塊處的坐標為 0px ， 0py （ 20） 即應在原點亦即在剛起跳時把物塊拋出，運動員可跳得遠一點。由式（ 19）可以得到運動員自起跳至落地所經歷的時間為 0 s i n s i n22v muTg M m g 把 0 0t 和 tT 代入式（ 15），可求得跳遠的距離，為 2 22002s i n 2 2 s i n ( ) s i n 2( ) ( )v m v u mux g M m g M m g （ 21） 可見，若 s i n 2 1 , s i n ( ) 1 , s i n 2 1 ， 即 /4 ， /4 （ 22） 時， x 有最大值，即沿與 x 軸成 45方向跳起，且跳起后立即沿與負 x 軸成 45方向拋出物塊，則 x 有最大值，此最大值為 2 220022( ) ( )m v m v u mux g M m g M m g （ 23） 簡析： 本題是運動與動量的綜合性題目，雖然求解思路清晰但計算量大，需要一定的計算能力，這也是有些競賽題目的考查目的，在競賽中要引起重視。 例 4 如圖所示的系統中滑輪與細繩的質量可忽略不計，細繩不可伸長，且與滑輪間無摩擦，三個物體的質量分別為 m1、m2、 m3,它們的加速度方向按圖示設定。試求這三個加速度量 a1、a2 和 a3。 解： 系統中各段繩子的張力如圖 三個物體的動力學方程為 : 1 1 1mg T ma （ 1） 2 2 22T m g T m a （ 2） 3 3 32T m g m a （ 3） 確定三物體的加速度的關聯關系： （ 1） 先假定 2m 不動，當 1m 下降 1h 時， 3m 將上升 12h （ 2） 再假定 1m 不動，當 2m 下降 2h 時， 3m 將上升 22h 綜合以上兩種情況，則實際上 1m 下降 1h ， 2m 下降 2h 時， 3m 將上升 123 22hhh 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 于是得到 123 22aaa （ 4） 解方程組得： 1 2 1 3 2 311 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 321 2 1 3 2 3434m m m m m magm m m m m m 1 2 1 3 2 331 2 1 3 2 344 m m m m m magm m m m m m 簡析： 本題主要難點在確定復雜滑輪系統的位移關系，定滑輪兩端物體位移直接對應，動滑輪移動距離等于繩子伸縮距離的一半。把握好這一關系則本題可輕易求解。 例 5 一簡諧運動的系統如圖所示，不計一切摩擦，繩不可伸長，m1、 m2 及彈簧的勁度系數 k 已知。求 m2 上下振動的周期。 解： 設某一時刻彈簧伸長 x ，繩上張力是 FT。 分析 m1： 11Tkx m g F m a 分析 m2：222 2T aF m g m 消去 FT： 21 2 12 2 ( 2 )2mk x m g m g a m ， 假設振子平衡時彈簧伸長 0x ，此時 m1、 m2 的加速度為零，則有 0 2 122k x m g m g 設 m1 偏離平衡位置的位移為 x ，則 0x x x 20 1 2 12 ( ) 2 ( 2 )2mk x x m g m g a m 將 210 22m g m gx k代入 式，可得 212 (2 )2mk x a m 21()4mF k x a m 所以這個振子系統的等效質量是 21 4mm，周期為 12424mmT k 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 簡析： 本題是一個彈簧振子的變式模型，解題時要根據受力分析由牛頓運動定律得出振動的動力學特征，然后由周期公式就可求出其振動周期 。 例 6. 嫦娥 1 號奔月衛(wèi)星與長征 3 號火箭分離后，進入繞地運行的橢圓軌道，近地點離 地 面 高 22.05 10nH km ， 遠 地 點 離 地 面 高45.0930 10fH km，周期約為 16 小時，稱為 16 小時軌道（如圖中曲線 1 所示）。隨后，為了使衛(wèi)星離地越來越遠，星載發(fā)動機先在遠地點點火，使衛(wèi)星進入新軌道（如圖中曲線 2 所示），以抬高近地點。后來又連續(xù)三次在抬高以后的近地點點火，使衛(wèi)星加速和變軌，抬高遠地點，相繼進入 24 小時軌道、 48 小時軌道和地月轉移軌道（分別如圖中曲線 3、 4、 5 所示）。已知衛(wèi)星質量 32.350 10m kg，地球半徑 36.3 78 10R km，地面重力加速度 29.81 /g m s ，月球半徑 31.738 10r km。 1、試計算 16 小時軌道的半長軸 a 和半短軸 b 的長度，以及橢圓偏心率 e。 2、在 16 小時軌道的遠地點點火時，假設衛(wèi)星所受推力的方向與衛(wèi)星速度方向相同，而且點火時間很短，可以認為橢圓軌道長軸方向不變。設推力大小 F=490N，要把近地點抬高到 600km，問點火時間應持續(xù)多長？ 3、試根據題給數據計算衛(wèi)星在 16 小時軌道的實際運行周期。 4、衛(wèi)星最后進入繞月圓形軌道，距月面高度 Hm 約為 200km，周期 Tm=127 分鐘，試據此估算月球質量與地球質量之比值。 解 ： 1. 橢圓半長軸 a 等于近地點和遠地點之間距離的一半，亦即近地點與遠地點矢徑長度（皆指衛(wèi)星到地心的距離） nr 與 fr 的算術平均值，即有 n f n f n f1 1 12 2 2a r r H R H R H H R (1) 代入數據得 43.1946 10a km (2) 橢圓半短軸 b 等于近地點與遠地點矢徑長度的幾何平均值，即有nfb rr (3) 代入數據得 41.9 42 10 kmb (4) 橢圓的偏心率 a bae 22 (5) 代入數據即得 0.7941e (6) 2. 當衛(wèi)星在 16 小時軌道上運行時，以 nv 和 fv 分別表示它在近地點和遠地點的速度，根據能量守恒，衛(wèi)星在近地點和遠地點能量相等，有 清北學堂集中培訓課程導學資料 北京清北學堂教育科技有限公司 400-699-3290 22nfnf1122G M m G M mmmrr vv (7) 式中 M 是地球質量， G 是萬有引力常量 . 因衛(wèi)星在近地點和遠地點的速度都與衛(wèi)星到地心的連線垂直，根據 角動量守恒 ，有 n n f fm r m rvv (8) 注意到 gRGM2 (9) 由 (7)、 (8)、 (9)式可得 fnn f n2r g Rr r r v (10) nnfnf f f n2rr g Rr r r r vv (11) 當衛(wèi)星沿 16 小時軌道運行時，根據題給的數據有 nnr R H ffr R H 由 (11)式并代入有關數據得 f 1.198 /km sv (12) 依題意，在遠地點星載發(fā)動機點火，對衛(wèi)星作短時間加速，加速度的方向與衛(wèi)星速度方向相同，加速后長軸方向沒有改變，故加速結束時，衛(wèi)星的速度與新軌道的長軸垂直，衛(wèi)星所在處將是新軌道的遠地點 .所以新軌道遠地點高度 4ff 5 .0 9 3 0 1 0H H km ，但新軌道近地點高度 2n 6.00 10H km .由 (11)式，可求得衛(wèi)星在新軌道遠地點處的速度為 f 1.230 /km s v (13) 衛(wèi)星動量的增加量等于衛(wèi)星所受推力 F 的沖量，設發(fā)動機點火時間為 t，有 ffm F t vv (14) 由 (12)、 (13)、 (14)式并代入有關數據得 21.5 10 st (15) 這比運行周期小得多 . 3. 當衛(wèi)星沿橢圓軌道運行時，以 r 表示它所在處矢徑的大小， v 表示其速度的大小， 表示矢徑與速