（概率論與數(shù)理統(tǒng)計專業(yè)論文）隨機條件下個人住房投資時機的最優(yōu)停時分析.pdf

碩士學位論文 m a s t er ，st h e s i s 摘要 已有實物期權框架下房地產投資方面的研究長期以開發(fā)商為建模對象，很少 關注個人房地產投資者。而有關個人房地產投資者的建模中，只限于隨機的房地產 價格和固定的租金，未考慮租金的隨機性。本文考慮在租金隨機條件下，對投資者 住房租賃或購置投資決策問題進行了建模，并用停時分析技術與動態(tài)規(guī)劃方法求 解了這一基于實物期權的模型，明確了投資決策中應當考慮的期權價值，并給出了 最優(yōu)停止決策的閥值及相關結論。但是以往的個人房地產投資者研究較多的強調 了最優(yōu)的決策閥值，而較少的關注這一臨界值的可達性問題( 首達時間與可達概 率) 考慮到閥值的可達性問題后，可能使得一些看似最優(yōu)的時機選擇也會因為等 待時間過長或根本就不能達到的原因而失去了指導投資的實際意義。對此，我們還 借助隨機過程中的首達時間方法來研究閥值的可達性問題及相關結論，同時對給 出的結果做了比較靜態(tài)分析，給出了數(shù)值結果，對指導投資有一定的實際意義 關鍵詞：實物期權；個人住房投資；最優(yōu)停時；動態(tài)規(guī)劃 碩士學住論文 m a s t e r ，s t h e s i s a b s t r a c t t h ee x i s t i n gl i t e r a t u r e so fr e a le s t a t ei n v e s t m e n tu n d e rr e a lo p t i o n s f r a m e w o r k h a v eb e e nd r a w na t t e n t i o nt ot h em o d e l i n go ft h ed e v e l o p e r sb u tn o tv e r ym u c h f o c u s e do nt h ei n d i v i d u a lr e a le s t a t ei n v e s t m e n t f u r t h e r m o r e ，t h em o d e l i n go f t h ei n d i v i d u a lr e a le s t a t ei n v e s t m e n to n l yl i m i t e dt os t o c h a s t i cp r i c eo fr e a le s t a t e a n d i ) c e dr e n t ，n o tc o n s i d e r e dt h er e n tb e i n gs t o c h a s t i c t h i sp a p e rm o d e l st h e r e n t i n g - o r - b u y i n gp r o b l e mu n d e rt h es t o c h a s t i cc o n d i t i o no fr e n t ，a n ds o l v e st h e p r o b l e mt h r o u g hs t o p p i n gt i m ea n a l y s i sa n dd y n a m i cp r o g r a m m i n g ，a n dg i v e st h e c r i t i c a lv a l u eo fo p t i m a ls t o p p i n gd e c i s i o nw i t has e r i e so fc o n c l u s i o n sa n de x p l i c i t r u l eo fi n v e s t m e n t b u tt h ef o r m e rs t u d i e so fr e a le s t a t ei n v e s t m e n th a v ep a i dm u c h a t t e n t i o nt ot h eo p t i m a ld e c i s i o nt h r e s h o l dv a l u e ，w h i c hw e r et h ef i r s tp a s s a g et i m e a n dt h ep r o b a b i l i t yt op a s s a g et h ec r i t i c a lv a l u e ，a n dh a v ei g n o r e dt h ep a s s a g eo f t h r e s h o l dv a l u e c o n s i d e r i n gt h ep a s s a g eo ft h r e s h o l dv a l u e m a d es o m eo p t i m a l i n v e s t i n gt i m i n go p p o r t u n i t ys e e m i n g l yl e s tt h em e a n i n go fg u i l da c t u a li n v e s t m e n t ， t h er e a s o nf o rt h i sw a st h a tt h ew a i t i n gt i m ew a st o ol o n go rt h et h r e s h o l dv a l u e c o u l d n tb er e a c h e da ta 1 1 f o rt h i s w er e s e a r c ht h ep a s s a g eo fc r i t i c a lv a l u eb yt h e f i r s tp a s s a g et i m ea p p r o a c h ( f p t ) a n dt ov e r i f yt h ev a l i d i t yo ft h ei n v e s t m e n tr u l e i nt h ep r a c t i c a li n v e s t i n gd e c i s i o n s i m u l t a n e o u s l yw em a k eac o m p a a t i v es t a t i c a n a l y s i sa sw e l la ss e n s i b i l i t ya n a l y s i sa n dn u m e r i c a la n a l y s i sf o rt h er e s u l t a i ti s s i g u i f i c a t i v ep r a c t i c a l l yt oi n s t r u c ti n v e s t m e n t k e yw d r d s ：r e a lo p t i o n s ；d i v i d u a lr e a le s t a t e ；o p t i m a ls t o p p i n gt i m e ；d y n a m i c p r o g r a m m i n g i i 碩士學位論文 m a s t e r sn i e s i s 華中師范大學學位論文原創(chuàng)性聲明和使用授權說明 原創(chuàng)性聲明 本人鄭重聲明：所呈交的學位論文，是本人在導師指導下，獨立進行研究工 作所取得的研究成果。除文中已經(jīng)標明引用的內容外，本論文不包含任何其他個 人或集體已經(jīng)發(fā)表或撰寫過的研究成果。對本文的研究做出貢獻的個人和集體， 均已在文中以明確方式標明。本聲明的法律結果由本人承擔。 作者簽名：翼墨攜 日期：弘刁年 月2 弘日 學位論文版權使用授權書 本學位論文作者完全了解學校有關保留、使用學位論文的規(guī)定，即：學校有 權保留并向國家有關部門或機構送交論文的復印件和電子版，允許論文被查閱和 借閱。本人授權華中師范大學可以將本學位論文的全部或部分內容編入有關數(shù)據(jù) 庫進行檢索，可以采用影印、縮印或掃描等復制手段保存和匯編本學位論文。同 時授權中國科學技術信息研究所將本學位論文收錄到中國學位論文全文數(shù)據(jù) 庫，并通過網(wǎng)絡向社會公眾提供信息服務。 作者簽名：孓霉論 作者簽名：表* ，z 日期：弘田年f 月牛日 導師簽名：么柞， 日期：a j 灃j 碉西、日 本人已經(jīng)認真閱讀“c a l l s 高校學位論文全文數(shù)據(jù)庫發(fā)布章程”。同意將本人 的學位論文提交“c a l i s 高校學位論文全文數(shù)據(jù)庫”中全文發(fā)布，并可按“章程” 中的規(guī)定享受相關權益。圓童途塞握奎廈溢蜃! 旦堂生i 旦= 生；旦三生叁盔。 作者簽名：呈於 日期：弘司年歹月牛日 導師簽名： 日期： 倆協(xié) l j 月叢j 碩士學位論文 m a s t e r st h e s l s 第一章緒論 1 1問題的提出與背景 目前，“實物期權( r o s ：r e a lo p t i o n s ) 的研究已成為房地產研究領域中 最富有成果的領域之一，它被廣泛應用于房地產有關問題的研究之中 ”( y a v 髂，2 0 0 4 ) 其開創(chuàng)性的理論工作主要是由t i t m a n 與w i l l i a m s 等人做出 的t i t m a n ( 1 9 8 5 ) 利用二叉樹期權定價模型，在離散時間背景下對土地價值進行 了平估；而w i l l i 鋤s 則在連續(xù)時間背景下研究了房地產開發(fā)商的最優(yōu)開發(fā)問題。此 外，c a p o z z a 和h e l s l e y ( 1 9 9 0 ，1 9 9 4 ) 、c l a r k 和r e e d ( 1 9 8 8 ) 、c a p o z z 痢l i ( 1 9 9 4 ) 、 g e l t n e r 等( 1 9 9 6 ) 、l e l s h m a n 等( 2 0 0 0 ) 以及g r e n a d i e r ( 1 9 9 5 ，2 0 0 3 ) 等也在這一 領域做出了重要的理論貢獻。對r o s 框架下的理論工作予以實證支持的經(jīng)典 文獻是q u i g g ( 1 9 9 3 ) 貢獻的。最近，類似的實證研究有g r e n a d i e r ( 2 0 0 2 ) 、b u - f a n 等( 2 0 0 3 ) 、s c h w a r t z 等( 2 0 0 3 ) 、k e v i ng i l l e n ( 2 0 0 2 ) 以及y a v a s ( 2 0 0 4 ) 等。然 而，遺憾的是這些理論與實證文獻都是以房地產開發(fā)商為建模研究對象，他們都 忽視了對個人房地產投資問題的研究。有關對個人住房投資問題的研究目前僅限 于d o w n i n g 等( 2 0 0 1 ) 的文獻，但他只研究了有關有房者改善住房的投資問題。 應當說r o s 框架下關于家庭或個人自然房地產投資的研究問題長期被文獻所 忽視，然而由于個人投資與消費問題真正關系的是千家萬戶普通老百姓或中小投 資者的切身利益，所以關注他們的投資理性問題，使他們不至于被房市的高風險性 與不確定因素所捆擾，也許比更多地關注房地產開發(fā)商更具有很多研究的范疇與 實際意義，但我們主要關注的是個人或家庭是租賃還是購置的投資決策問題。即 如何在隨機波動的房價和租金中把握好有利的投資時機以獲得最小的期望支出問 題。這一投資問題主要由人們對新的住房的需求所導致。新的住房需求可能來自于 人們收入的提高，生活品位的提高，能給個人帶來一個更好的居住、學習和生活環(huán) 境。 碩士學位論文 m a s t e r ，sn 怔s i s 1 2 本文研究的目的與意義 個人或家庭( 以下簡稱為投資者) 購置住房的目的無外乎投機需要、自住需 要、改若需要及保值增值需要四種。而自住需要事關普通老百姓的切身利益，所以 本文的研究對象著重于自住需要方面。對于滿足自住需要的個人投資者而言，房產 的購置金額無疑是一個巨大的數(shù)字，房產的購置決策對價格非常敏感，做出這一決 策將直接關系到個人未來的生活質量。所以，是租賃還是購置己成為每一個迫切需 要解決居家需求的個人的重大決策問題。對于滿足自住需要的個人來說，房產價格 和租金的隨機波動時刻影響著投資決策時機當房價持續(xù)高位時，謹慎的投資者必 然會持幣待購而通過租賃來滿足安家之需；當房產價格下降到一定程度麗租金價 格保持相對穩(wěn)定時，理性的個人必然會購置房產，做出停止決策( 轉租為買) ；當房 產價格和租金都隨機波動時，個人又該權衡租賃與購置的期望支出來做出投資決 策。 那么，當隨機波動的房價和租金處于什么水平上時，投資者才會通過仔細權衡 租賃與購置的期望支出，把握好投資時機，理性而科學的做出轉租為買的決策呢? 這正是本文所要研究和解決的問題。由于這一投資決策問題涉及的是廣大普通置 業(yè)階層的切身利益，所以本文的研究具有一定的現(xiàn)實意義。此外，房價近幾年來迅 速上漲，而且居高不下，已遠遠超出了人們的預期與保留價位，甚至在一定程度上 超出了個人的承受能力，因而引起了全社會普遍關注。從這一角度講，研究這一投 資問題無疑具有一定的社會學含義。 1 3 文獻綜述 考慮房市的隨機性并對房地產有關問題進行研究屬于實物期權的范疇。 從t i t m a n f 2 4 】和q 1 l i g g 【2 1 】的理論與實證工作以來，此后經(jīng)過2 0 多年的發(fā)展，目前它 已成為房地產金融研究領域的一個主流分支，一些正在迅速增長的應用性研究業(yè) 已巨大的改變了研究人員對房地產投資決策的建模，并日益成為這一領域內最富 成果的研究范式之一c a p o z z a 和h e l s l e y 7 將t i t m a n 的工作拓展到了連續(xù)隨機過程 的情形；1 9 8 8 年，c l a r k e 和m ! e d 【8 1 首次引入了房地產開發(fā)密度選擇期權分析，并隨 2 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 后為w i l l i a m s 等【2 6 】所拓展。2 0 0 0 年，l e l s h m a n 等 1 9 1 彌補了此前研究中長期對開發(fā) 商行為忽視的空白。最近k a w a g u e h i 1 8 ，g r e n a d i e r 1 3 ，s c h w a r t z 2 3 和b u l a n 4 等 人也有類似的研究。然而，以上大多研究均限于房地產開發(fā)商方面，忽視了對個人 或家庭房地產投資問題的研究。盡管d o w n m g 對此問題有所反映。但他們是在復合 實物期權框架下對有房者改善住房的建設投資問題進行了研究。類似的研究還有 蔡曉鈺等。他們分別研究了房價隨機波動條件下的出售策略以及考慮是租賃獲益 還是出售獲益的轉換決策的時機問題與可達性問題。 1 9 7 3 年，b l a c k $ 1 ：i s c h o l e s 3 】發(fā)表了他們關于金融市場上期權定價方法的創(chuàng)造性 理論，同年，m e r t o n 2 0 1 教授發(fā)表了一篇關于期權定價的論文，這兩篇論文奠定 了期權定價模型的理論基礎。此后，學者們不斷擴大對期權的研究范圍。實物期 權的概念由m y e r s 在1 9 7 7 年發(fā)表的一篇文章中指出的，在該文章m y e r s 第一個提 及產品市場投資和金融市場投資的相似性，指出投資實物產品項目時，會存在 著“期?！?，這種期稅價值對于公司決策有著重大影響這種期權就是“實物期 權”。之后經(jīng)過b r e n n a n 和s c h w a r t z ，m c d o n a l d 和s i e g e l ，t i m a n 等學者的發(fā)展，近 幾十年來在項目投資領域引起了廣泛的關注和大量的應用研究，形成對傳統(tǒng)的 凈現(xiàn)值( n p v ) 的重大改進。對不確定性環(huán)境下的投瓷決策的實物期權方法進行 了精辟闡述的比較經(jīng)典的專著是d i ) ( i t 和p i n d y c l 【f 1 0 】在1 9 9 4 年出版的( i n v e s t m e n t u n d e ru n c e r t a i n t y ：以及n i g e o f 酶【2 5 】在1 9 9 6 年出版的r e a lo p t i o n s ：m a n a g e r i a l f l e x i b i l i t ya n ds t r a t e g yi nr e s o u r c ea l l o c a t i o n 。q u i g g 等人對實物期權作出了實 證研究，證實了實物期權文獻中的預測。他們的研究主要是基于兩個前提：對投資 機會的壟斷以及市場是充滿競爭，沒有考慮不完全競爭環(huán)境下的投資決策的鑲略 互動關系。 現(xiàn)在的市場環(huán)境越來越傾向不完全競爭，于是有很多學者開始突破這兩 個前提條件的限制，開始新的研究，其中有將博弈與實物期權相結合的研 究。m a u n e r 和t r i a n t i s 將期權評價整合到公司的理財和投資決策中，通過數(shù)值模 擬進行動態(tài)的分析。實物期權中標的資產幾乎全不是在近似連續(xù)的市場上，以 可觀測的價格進行交易的。因此，尋找新的定價模型以實現(xiàn)包括非交易性和非 觀測性標的資產在內的期權定價框架是實物期權定價理論研究的重點在這方 3 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 面，b e r n a d o 和l e d o i t 等學者發(fā)展了他們的方法以上關于實物期權方法的理論和 應用研究只是選擇的列出。 關于布朗運動首達時間( f p t ) 的期望、概率密度、概率分布等問題的研 究文獻主要有d i x i t 【9 】、i n g e r s o l l 1 5 、w i l m o t t 2 q 。在數(shù)學上深入研究首達時間 的文獻有k a r a t z a s 和s h r e v e 1 6 ，h a r r i s o n 1 4 。k a r a t z 和s h r e v e 利用l a p l a c e 變換， 反射原理( m f l e c t i o np r i n d p l e ) 以及鞅理論( m a r t i n g a l et h e o r y ) 來研究首達時 間。k a r l i n 和t a y l o r 1 7 早在1 9 7 5 年就利用首達時間的概率密度，通過l a p l a c e 變換 求出投資閥值和期權價值。盡管所用方法不同于d i x i t 和p i n d y c k 的方法，但得到 的結果卻是一致的。d i x i t 、p i n d y c k 及s o d a l 1 1 在研究一般的不確定下的投資分 析時，從首達時間的概念出發(fā)來分析投資決策，得到的結論與用相機權益分 析( c o n t i n g e n tc l a i m sa n l y s i s ) 以及動態(tài)規(guī)劃( d y n a m i cp r o g r a m m i n g ) 所求得的結 果也是一致的。s 盯l a r f 2 2 】引入投資概率研究了市場不確定性和企業(yè)投資的關系 一般實物期權文獻中關于二者關系的結論：不確定性的增加會阻礙企業(yè)的投資。 而s a r k a r 通過數(shù)字釋例顯示的結果：對一些低增長、低風險的項目，增加不確定性 可能會增加企業(yè)投資的概率。從以上文獻的引用中可以看出，期權計算過程中常常 用到期望首達時間，用首達時聞方法對個人住房投資的時機選擇傲最優(yōu)停時分析 是很有意義的。 1 4本文的主要內容與安排 本文的主要目的是研究隨機條件下個人住房投資時機的最優(yōu)停時分析，著重考 慮在租金隨機條件下，個人或家庭租賃或購置投資決策問題，以及停時分析技術與 動態(tài)規(guī)劃方法的應用在給出模型中要用到的數(shù)學工具首達時間的相關結論 之后，利用隨機過程中首達時間方法來研究模型中的決策閥值的可達性問題。內容 安排如下： 首先，對房地產投資的實物期權理論的研究進行回顧，得出實物期權是價值評 估與戰(zhàn)略投資決策制度的重要方法。在具有高風險性，高不確定性與高不可逆性的 房地產投資中，實物期權作為金融期權理論在實物投資上的擴展是一種把金融市 4 碩士學位論文 m a s t e r s t h e s i s 場的規(guī)則引入企業(yè)內部戰(zhàn)略投資的思維方法，是一種改善戰(zhàn)略思維的有價值的工 具，它能夠發(fā)現(xiàn)不確定的價值，較傳統(tǒng)投資決策方法具有一定的優(yōu)越性。 其次，考慮在房地產價格與租金都服從g b m 的條件下，對個人或家庭是租賃 還是購置的決策問題進行了建模。并運用停時分析技術和動態(tài)規(guī)劃方法求解了這 一基于實物期權定價技術的模型，給出了最優(yōu)停止決策的臨界值公式，用首達時間 方法研究閥值的可達性問題，并對結論作了比較靜態(tài)分析與數(shù)值模擬，明確了各參 數(shù)與臨界值的關系及對最大期望節(jié)約支出的影響。 最后，給出全文的總結和展望。 5 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 第二章房地產投資的實物期權理論的研究回顧 2 ，1 基本假設 金融期權是指期權持有人在到期日以約定的價格執(zhí)行期權的權利而非義務 類似的，r o s 恰是金融期權由金融資產的一種類推r o s 理論有三個關鍵性的假 設1 1 2 】：1 投資至少部分上不可逆；2 般資收益與成本不確定，均服從某隨機演化 規(guī)律；3 投資時機具有柔性。其中不確定性是期權價值的基礎。只有不確定性存在 時，r o s 才有價值；不可逆性強調一旦做出投資決策，沉沒成本是不可能通過出售 資產而被完全收回，這與金融看漲期權的情形一致；而投資時機的柔性如延遲柔性 意味著投資者為或更多有利信息可推遲決策?？傊?，該理論明顯的一個結論是預言 了投資與不確定性確鑿的負關系，從而克服了傳統(tǒng)新古典理論關于投資與不確定 性關系的模糊性，是對傳統(tǒng)新古典理論關于不確定性與投資正相關命題的顛覆，具 有革命意義。 2 2 基本原理 由上面的假設可將r o s 與金融期權對等，所以r o s 的定價就可憑借金融期權的 定價思路進行：在風險中性的假設下，用資本市場上與投資項目有相同風險特征的 可交易證券與無風險債券的組合，來復制相應的r o s 收益特征然后在項目價值流 與成本流都服從隨機游走( 離散) 或幾何布朗運動( 連續(xù)) 的假設下導出r o s 的價 值演化p d e 并對之求解。 考慮房地產投資的r o s 理論的建模原理可發(fā)現(xiàn)：它一般是要尋找出一對收益 與成本流，并假定它們服從某分布( 離散) 或過程( 連續(xù)) ，并利用動態(tài)規(guī)劃方法或 伊藤引理求出包含期權價值的微分方程，最后進行解析求解或數(shù)值模擬。 6 碩士學位論文 m a s t e r ，st h e s i s 2 3 理論研究總結 r o s 框架下的房地產投資理論研究的主要結果與思想精髓可被梳理為如下幾 個方面： 2 3 1不確定性與期權價值 不確定性在傳統(tǒng)房地產投資理論中是很麻煩的因素但房地產投資的r 0 s 理 論卻恰恰構建于不確定性之上。它們之間的關系主要體現(xiàn)在：房地產價值的不確定 性會增加期權價值。 2 3 2不確定性與房地產投資 傳統(tǒng)新古典投資理論對不確定性與投資關系的認識是模棱兩可的。但r 0 8 理 論卻準確地預言了二者確鑿的負相關關系：較高的不確定性提高了等待期權的價 值，從i d 延遲了房地產的投資即當前投資被抑制。事實上r 0 s 框架下的房地產投資 模型研究的一個線索就是尋求不確定性與投資的關系 2 3 3房產價值構成與房地產投姿新規(guī)則 房地產投資決策的許多新方法都認識到等待更好( 但不完全) 信息的期權價 值因而期權應當被納入到資產的評估之中。所以無論是空地，地產還是租約等， 其價值主要由投資成本與期權價值構成。正是這部分不確定的期權價值從根本上 改變了傳統(tǒng)n p v 的決策規(guī)則；在現(xiàn)有基礎資產( 如現(xiàn)房) 之價值超過執(zhí)行價格加期 權價值之前，投資決策如土地開發(fā)投資是不會發(fā)生的。這表明只有當房價擊中某一 臨界值立即開發(fā)才是最優(yōu)的，否則延遲開發(fā)是最優(yōu)的。最后，不確定性的提高會增 大臨界值水平 2 3 4 機會成本與房地產投資延遲 首先，延遲可以使開發(fā)商獲得更多關于房地產價值的演化信息，因而等待開發(fā) 期權是有價值的；其次，由于房地產投資是不可逆的，這導致了房地產投資者謹慎 7 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 程度的增強。無論是等待價值還是不可逆，它們都凸現(xiàn)了立即投資具有較高的機會 成本。所以房地產價值的不確定性與不可逆性使土地持有者有激勵延遲建設當 然，其它變量也會影響到延遲性。例如現(xiàn)有房地產價值的上升增大了開發(fā)的可能， 而執(zhí)行價格的上升卻為延遲提供了激勵。 8 碩士學位論文 m a s t e r ，st h e s i s 第三章房產價格和租金隨機條件下 個人投資者的決策分析 3 1 引言 幾乎每一個剛工作不久的年輕朋友都有過租房的經(jīng)歷，當手頭有了一點夠付 首期買房款的儲蓄后，很多年輕朋友就開始謀劃置業(yè)安居了但是在當今房產價格 和租金隨機波動狀態(tài)下，該如何判斷“租賃和購置哪個劃算”呢? 在我們這個討論中，房子既是供日常生活居住的消費品，也同時天生具有投資 品的特征。因此如果我們要給“租賃購置哪個更劃算”來算一筆經(jīng)濟賬，那么不妨 撇開各種主觀因素，從一生租賃與轉租為買的期望支出的角度，看看哪種投資策略 更有利。 3 2 模型的建立 3 2 1 問題提出與分析模型 考慮投資者當前通過租賃來滿足居家需要，他需要根據(jù)隨機變化的房價和租 金來確定是繼續(xù)租賃還是轉租為買。 假設房地產初始價格為局，動態(tài)價格p ( ) 服從如下幾何布朗運動： d p = # p d t + a p d w ( 1 ) 其中，“是p 的漂移參數(shù)即p 的期望增長率，盯是尸的方差參數(shù)即p 的期望 增長率的標準差，而d w 是維納過程的增量，服從均值為0 ，方差為d t 的正態(tài)分 布( d = 5 瓜，一n ( o ，1 ) ) 。 根據(jù)伊滕引理，可以得到房地產價格p ( t ) 的期望值為： e ( p ( t ) ) = p o ( 2 ) 9 碩士學位論文 m a s i e r ，s t h e s i s 考慮租金的隨機性，設投資者所租房產的年租金率為p ，年租金記為r ，則租金 支出r ( t ) 為p p ( t ) 考查一生租賃與轉租為買的期望支出，如果投資者只租不買，則 其生( 為方便計，設定時間為無窮) 的租金支出嵋以貼現(xiàn)率r 貼至現(xiàn)在為： = e o 。p p ( t ) e “d t = 蠱 ( 3 )= e“= 墨( 3 ) - p 如果記投資者繼續(xù)保持租賃狀態(tài)的決策為繼續(xù)決策，而記停止租賃轉而買入 的決策為停止決策，那么自然地，當房價擊中某一外生的最優(yōu)臨界值p + 時，投資 者就會做出停止決策，在這一決策時機投資者的期望支付最?。悍駝t，投資者會做 出繼續(xù)決策。問題在于如何確定這一最優(yōu)投資時機，這需要設定一外生變量聲，它 表示在聲處的停止決策至少是有利可圖的，但并不一定是最優(yōu)的( 最優(yōu)的停止決策 是p ) 。如果再記房價首次擊中聲的時間為下，即首次可達時間，也是最優(yōu)的執(zhí)行時 間。則在聲時，投資者停止決策的期望支出為k ，滿足： k = e 冗p ) 一“d t 4 - ( 1 + o ) p ，g e 一”+ e c e 一“d t =筆一生一”+e)p，eej,一+ 譬肛” ( 4 ) r r r 其中r = m f t o l p ( t ) 聲) ，e p , ( o 0 ( 口一0 5 a 2 ) ( b 一知) 0 一單 碩士學位論文 m a s t e r t st h e s i s 以及達到壁值b 的概率 f ( b l x o ) 磐。1( n o 5 盯2 ) ( b x o ) 0 f i b = i 1 ( d o 5 a 2 ) ( b x 0 ) 0 則對于形如( 1 ) 式的隨機過程，其首次可達時間7 - 的密度函數(shù)可以表示為： 卵，：掣分掣 其中p ( p o ) 是p 要達到的臨界值，= p 一0 5 a 2 。記p = l i l ( p p o ) ，則 當 0 ，則 在20 時，在有限時間內達到，否則各階矩不存在 結論3 ( 可達性問題結論) ：p 不一定能在有限的時間內達到，p 能否達到取 決于的符號。若 0 ，則p - - 定能在有限時間達到，首次達到p i 的平均時間 是p ，方差是v a r ( r ) = p 鏟礦；若盧7 0 ，則p + 有可能達到，且p 的首次可達 概率是( p i p o ) 磐一，但平均時間趨于無窮大。 結論3 表明，當房價變化過程的總體趨勢是朝著p + 方向變化時( 即一0 5 a 2 0 ) ，則個人經(jīng)過有限時間的等待之后，會做出轉租為買的決策；否則，等待的時間 會趨于無窮，這時的投資決策原則變得沒有實際的指導意義。因為沒有哪個人愿意 在等待漫長的一段時間之后做出投資與否的決策。 3 3比較靜態(tài)分析 比較靜態(tài)分析方法是經(jīng)濟學研究中的一種特有方法，也叫比較靜態(tài)均衡分析。 它是要說明當原有的條件發(fā)生變化時，原有的均衡狀態(tài)會發(fā)生什么變化，并分析比 較新舊均衡狀態(tài)。從它的分析形式來認識，其基本形式有兩種，即圖形形式和數(shù)學 分析形式。圖形形式主要用曲線的變動來表示和反映外生變量或參數(shù)變化，然后考 察均衡狀態(tài)的變化，并進行停時分析和比較；數(shù)學分析形式就是運用數(shù)學分析的工 1 4 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 具( 主要是微分學) 來考察參數(shù)變化對經(jīng)濟系統(tǒng)均衡的影響，通過數(shù)學分析，常常 能夠確定由于一個或多個參數(shù)變化而引起的未知量變化的性質。 3 3 1臨界值與各參數(shù)的關系 由于 p = 告i j c r 而= 告曩 島= ；+ 戔一 ( ；+ 等) ：+ 鍪 o 容易知道p 是關于島和p 的減函數(shù)，是關于目的增函數(shù)。又將島代入p 中可以 得到： p = 兩j2 而c r = 1 + 曩習蠡 - 莉c r 故p 與r 的關系不明確，可以用圖形分析方法來分析他們的關系。圖1 ( 以下模 擬參數(shù)c 均取為2 0 0 0 ) 直觀的給出了一條p 與r 的模擬函數(shù)關系，可以著出是遞增 臨 界 值 與 期 權 價 值 萬 0 0 1 0 0 2o 0 30 0 4 0 0 5 圖1 利率與臨界值和y 芙系模擬曲線 “= 0 0 1 ，= 0 1 5 ，口= 0 0 1 ，p = 0 0 5 ) 1 5 弱筋加坫m 5 o 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s ( 2 ) 尸與盯的關系 由于島關于方差導數(shù)為警= 一碧一號簀贛黟，正負 號判斷不明確，所以用數(shù)值實驗來尋找p 與盯之間的關系，圖2 是二者關系的一條 模擬曲線。這條曲線反應了方差和臨界值之間遞減函數(shù)關系。 圉2 方差與臨界值和y 。關系模擬曲線 ( p = 0 0 l ，= 0 1 5 ，口= 0 0 l ，p = 0 0 5 ) ；些絲：! o 從而p 是“的減函數(shù)。 根據(jù)以上分析可得如下靜態(tài)分析結論： 結論4 ：臨界值p 與參數(shù)盯，p 和p 呈負相關關系，與r ，g 日呈正相關關系 由式( 1 1 ) ，顯然口與y 正相關，p ，c 和p 負相關，r 與v + 的正相關關系可由圖1 得 出。但以p 的關系含在島中，不容易發(fā)現(xiàn)它們與p 的關系，然而上面的數(shù)值實驗表 明：口，p 與p 正相關。由此得到如下結論： 結論5 ：最大期望節(jié)約支出曠與參數(shù)r ，脅盯和目星正相關關系，與p ，c 呈負相關 關系。 1 6 ”m “挖加8 6 4 2 o 臨界值與期權價值萬v 碩士學位論文 m a s t e r s t h e s i s 3 3 2平均首次可達時間、可達概率與島的關系 ( 1 ) 當期望增長率與方差參數(shù)滿足= p ；礦 0 ， 母島a p i ，忍屆( 島一1 ) ( p 一0 5 口2 ) 。v a e ( r ) 島 一1 ，2 百礦雨2 麗了麗麗叼麗 結論6 ：定性關系墩小的島( 意味者較大的臨界值p ) 意味著較短的期望可 達時間；定量關系一e ( r ) 隨島變動的幅度由彈性5 如給出。 顯然結論6 和我們的直覺是吻合的。換句話說，較大的p + 在平均意義上可以很 快地被達到。此外島與e ( r ) 之間的正向變動關系也表明這樣一個定性的結論：凡 使島變小的參數(shù)都會減少平均等待時間，凡使島變大的參數(shù)都會增大平均等待時 間。而且通過計算e ( 1 - ) 對島的彈性，可以得到模型中其它參數(shù)對e ( r ) 的定量影響 關系由于方法都是類似的，這里給出總結性的結論，并舉一例來說明定性關系和 定量關系的計算，其它參數(shù)與e ( r ) 的定性與定量關系可以類似得到 結論7 ：定量關系：r l ：j e ( ，) 間的變動關系為異向變動關系，即掣 鍘棚的敏感性關系為r = 掣南= f 麗而南隔 證明：運用鏈式法則得到：掣； 口r o 和摯 0 。 口r 從而型 8 r 8 魄j 一8 隗j 根據(jù)9 式的全微分可以得到： 篆等+ 塑o r = 差籌一，= o鵂階。a 島a r 。 1 7 碩士學位論文 m a s t e r st h e s i s 即 醌 1i 加 a q a &口2 島一0 5 a 2 一p 從而f ( r ) 對柏9 彈性為 o e ( r ) r 島21 蘆麗 a e ( r ) 粥r a 國務e ( r ) o e ( r ) 島輥r a 島e ( r ) o r 島 舶r 2 鉑百。瓦 1 1r ( 礦2 島一0 5 a 2 一p ) ( 島一1 ) l n ( p r ) 懇 一p ( 島一1 ) p + 0 s a 2 廈) l n ( p 昂) 最后一個等式用到島是前面的二次方程( 9 ) 的根，即 ；島( 島- 1 ) 一施- - t - - - - 0 從而存 島( 盯2 島一0 5 0 2 一p ) = r + o 5 盯2 鹺 ( 2 ) 由結論3 知道，p 不一定能夠達到p ，而是以概率( p p o ) 9 1 達到p ，此 時，首達時間r 不存在期望和方差。容易得到結論： 結論8 ：較小的僥的意味著較大的可達概率和較短的期望可達時間 這一結論意味著與初始位置較近的臨界值有較大可達概率，這與直覺顯然也 十分吻合。 1 8 碩士學位論文 m a s t er ，st h e s i s 第四章全文總結與展望 考慮到有關個人房地產投資者的建模研究中，只限于房地產價格的隨機性 和租金的固定，而未考慮租金的隨機性。所以，本文在房地產價格與租金都服 從g b m 的條件下，對個人或家庭是租賃還是購置的投資決策問題進行了建摸，并 運用停時分析技術與動態(tài)規(guī)劃方法求解了這一基于實物期權定價的模型。運用隨 機過程中的首達時間方法討論了閥值的可達性問題，給出了停止決策的l l 缶界值公 式，并對結論做了比較靜態(tài)分析與數(shù)值模擬，明確了各參數(shù)對臨界值及期望節(jié)約支 出的影響。 當然，研究中也有很多問題沒有展開。此研究可以拓展到融資投機房產的問 題、以租養(yǎng)房的問題、二手房交易問題等，這些研究無疑對于目前我國的金融實踐 與個人投資實踐具有重要意義，也具有緊迫性。還有，本文的模型假設或隱含假設 中暗含維護成本固定，中介市場監(jiān)管規(guī)范等，將這些假設進行拓展必然是富有成果 的研究分支。例如，考慮成本的隨機性，房產價格的噪聲及各變量之間的相關性等 等都是富有理論與現(xiàn)實意義的研究切入點，關于這些問題的探討將在后繼的研究 中深入展開。此外，本文給出的都是含有參數(shù)的表達式，只提供了理論上的指導， 還可以根據(jù)房地產市場中價格的歷史變化情況，得出相應的參數(shù)值，從而得出具體 的投資閥值與投資時機，這將是很有實際意義的。 1 9 碩士學位論文 m a s t er ，st h e s i s 參考文獻 1 1 1 a m r s ma n dk u i n t i l a l m 著張維譯實物期權：不確定環(huán)境下的戰(zhàn)略投資管理機械工業(yè) 出版社，2 0 0 1 f 2 】a v i n a s hk d i x i t ，r o b e rs ，p i n d y e k 著朱勇等譯：不確定條件下的投資，中國人民大學 出版社2 0 0 2 【3 】b l a c kfa n ds c h o o l e sm t h ep r i c i n go fo p t i o n sa n dc o r p o r a t el i a b i l i t i e s j o u r n a lo f p o l i t i c a le c o n o m y , 1 9 7 3 ，8 1 ( 3 ) ：6 3 7 - 6 5 9 【4 lb u l a n ，l a e r n i ，m a y e r ，c h r i s t o p h e r ，t s u rs o m e r i v i l l e ，i r r e v e r s i b l ei n v e s t m e n t ，r e a lo p - t i o n sa n dc o p e t i t i n n s ：e v i d e n c eo fr e a le s e a t ed e v e l o p m e n t r 2 0 0 3 【5 】蔡曉鈺，陳忠，蔡曉東等房地產投資的相機策略及其可達性：一個最優(yōu)停時分析框架 j 】 數(shù)量經(jīng)濟技術經(jīng)濟研究，2 0 0 5 ，3 2 ( 3 ) ：8 8 - 9 6 6 】蔡曉鈺，陳忠，韓麗川等個人房地產購置時機選擇的最優(yōu)停時分析【j j 系統(tǒng)工程，2 0 0 5 ， 2 3 ( 1 ) ：2 8 - 3 2 【7 lc a p o 盟adr ，l iy t h ei n t e n s i t ya n dt i m i n go fi n v e s t m e n t ：t h ec a s eo fl a n d 舊t h e a m e r i c a ne c o n o m i cp v l e w ，1 9 9 4 ，8 4 ( 4 ) ：8 8 9 - 9 0 3 【8 】c l a r k eh ，r e e dw as t o c h a s t i ca n y a l y s i so fl a n dd e v e l o p m e n t ，t i m i n ga n dp r o p e r t y e v a l u a t i o n j r e g i o n a ls c i e n c ea n du r b a ne c o n o m i e s ，1 9 9 8 ，1 8 ( 3 ) ：3 5 7 - 3 8 1 【9 】d i x i tak t h ea r to fs m o o t hp a s t i n g h a r w o o da c a d e m i cp u b l i s h e r s ，1 9 9 3 1 1 0 1 d i x i