【2014年電大】2014年春季電大經濟數(shù)學基礎形成性考核冊答案及題目

【經濟數(shù)學基礎】形成性考核冊 （一） 一、填空題 1. _sinlim0=xxxx.答案：0 2.設 ，在 處連續(xù)，則=+=0,0,1)(2xkxxxf 0=x _=k .答案 1 3.曲線 xy = +1 在 的切線方程是 )1,1( . 答案:y=1/2X+3/2 4.設函數(shù) ，則 .答案 52)1(2+=+ xxxf _)( = xf x25.設 ，則xxxf sin)( = _)2( =f .答案: 2 二、單項選擇題 1. 當 +x 時，下列變量為無窮小量的是（ D ） A B )1ln( x+12+xx C21xe D xxsin 2. 下列極限計算正確的是（ B ） A. 1lim0=xxx B. 1lim0=+xxx C. 11sinlim0=xxx D. 1sinlim =xxx 3. 設 ，則 （ B ） yx= lg 2 d y =A12dxx B1dxxln10 Cln10xxd D1dxx 4. 若函數(shù) f (x)在點x0處可導，則( B )是錯誤的 A函數(shù)f (x)在點x0處有定義 B Axfxx=)(lim0，但 )(0xfA C函數(shù)f (x)在點x0處連續(xù) D 函數(shù)f (x)在點x0處可微 5.若 xxf =)1( ，則 （ B ） . = )(xfA21x B21x Cx1 Dx1 三、解答題 1計算極限 （1 ）123lim221+xxxx 解：原式=)1)(1()2)(1(lim1+xxxxx=12lim1+xxx=211121=+ （2 ）8665lim222+xxxxx 解：原式=)4)(2()3)(2(lim2xxxxx=21423243lim2=xxx （3 ）xxx11lim0 解：原式=)11()11)(11(lim0+xxxxx=)11(11lim0+xxxx=111lim0+xx=21 （4 ）423532lim22+xxxxx 。 解：原式=32003002423532lim22=+=+xxxxx （5 ）xxx5sin3sinlim0 解：原式=53115355sinlim33sinlim535355sin33sinlim000=xxxxxxxxxxx （6 ）)2sin(4lim22xxx 解：原式= 414)2sin(2lim)2(lim)2sin()2)(2(lim222=+=+xxxxxxxxx 2設函數(shù)=+=0sin0,0,1sin)(xxxxaxbxxxf ， 問：（1 ）當 為何值時， 在 處極限存在？ ba, )(xf 0=x（2 ）當 為何值時， 在 處連續(xù). ba, )(xf 0=x解：（1 ）因為 在 處有極限存在，則有 )(xf 0=x)(lim)(lim00xfxfxx+= 又 bbxxxfxx=+=)1sin(lim)(lim00 1sinlim)(lim00=+xxxfxx 即 1=b所以當 a 為實數(shù)、 時， 在 處極限存在. 1=b )(xf 0=x （2 ）因為 在 處連續(xù)，則有 )(xf 0=x )0()(lim)(lim00fxfxfxx=+又 ，結合（1 ）可知 af =)0( 1= ba所以當 時， 在 處連續(xù). 1= ba )(xf 0=x3計算下列函數(shù)的導數(shù)或微分： （1 ） ，求 2222log2 += xxyxy解：2ln12ln22xxyx+= （2 ）dcxbaxy+= ，求 y解：2)()()()(dcxdcxbaxdcxbaxy+= =2)()()(dcxcbaxdcxa+ =2)( dcxbcad+ （3 ）531=xy ，求 y解：2312121)53(23)53()53(21)53(= xxxxy （4 ）xxxy e= ，求 y解：xxxxeexxexy =212121)()( 。 （5 ） ，求 bxyaxsine= yd解： = )(cossin)()(sinsin)( = bxbxebxaxebxebxeyaxaxaxaxbxbebxaeaxaxcossin dxbxbebxaedxydyaxax)cossin( = （6 ） xxyx+=1e ，求 yd 解：212112312312323)1()()( xxexxexeyxxx+=+=+= dxxxedxyyx)23(d2121+= （7 ）2ecosxxy= ，求 yd解：222e22sin)(e)(sin)e()(cos2 xxxxxxxxxxy+= （8 ） ，求 nxxynsinsin += y解： )(cos)(sin)(sin)(sin)(sin1+=+=nxnxxxnnxxynnnxnxxnncoscos)(sin1+=（9 ） )1ln(2xxy += ，求 y解： )1(1(11)1(11212222+=+= xxxxxxxy =222212122111111)2)1(211(11xxxxxxxxxx +=+=+ （10）xxxyx2123 21cot+= ，求 y解： )2()()()2(61211sin+=xxyx06121)1(sin2ln265231sin+=xxxx 65231sin6121)1)(cos1(2ln2+= xxxxx 652321sin6121cos2ln2+= xxxxx 4.下列各方程中 是 y x的隱函數(shù)，試求 或 y yd（1 ） ，求 1322=+ xxyyx yd解：方程兩邊同時對 x 求導得： )1()3()()()(22=+ xxyyx 0322 =+ yxyyyx xyxyy=232 dxxyxydxyy=232d （2 ） ，求 xeyxxy4)sin( =+ y解：方程兩邊同時對 x 求導得： 4)()()cos( =+ xyeyxyxxy4)()1()cos( =+ yxyeyyxxy xyxyyeyxxeyxy +=+ )cos(4)(cos(xyxyxeyxyeyxy+=)cos()cos(4 5求下列函數(shù)的二階導數(shù)： （1 ） ，求 )1ln(2xy += y解：22212)1(11xxxxy+=+= 2222222)1(22)1()20(2)1(2)12(xxxxxxxxy+=+=+= （2 ）xxy=1，求 及 y )1(y 解：212321212121)()()1(= xxxxxxy 2325232521234143)21(21)23(21)2121(+= xxxxxxy =1 經濟數(shù)學基礎形成性考核冊 （二） （一）填空題 1.若 ，則 . cxxxfx+=22d)( 22ln2)( +=xxf2. = xx d)sin( cx+sin . 3. 若 ，則cxFxxf +=)(d)(= xxxf d)1(2cxF + )1(212 4.設函數(shù) 0d)1ln(dde12=+xxx 5. 若 ttxPxd11)(02+= ，則211)(xxP+= . （二）單項選擇題 1. 下列函數(shù)中， （ D ）是 xsinx2的原函數(shù) A21cosx2 B2cos x2 C- 2cosx2 D-21cosx2 2. 下列等式成立的是（ C ） A B)d(cosdsin xxx = )1d(dlnxxx = C )d(22ln1d2xxx = D xxxdd1= 3. 下列不定積分中，常用分部積分法計算的是（ C ） A ， B + xxc 1)dos(2 xxx d12 Cxxx d2sin D+xxxd12 4. 下列定積分中積分值為 0 的是（ D ） A B C D 2d211=xx 15d161=x 0dcos =xx0dsin =xx5. 下列無窮積分中收斂的是（ B ） A+1d1xx B+12d1xx C D +0de xx+1dsin xx (三) 解答題 1.計算下列不定積分 （1 ）xxxde3 （ 2）+xxxd)1(2 解：原式 cexx+=)3(13ln1d)e3(x 解：原式+= xxxxd212 cxxxx+=+=252321232121-52342)dx2x(x （3 ）+xxxd242 （4 ）xxd211 解：原式 cxxxxxx+=+=221d2)2)(2(2 解：原式= )2-d(121121xx cx += 21ln21 （5 ）+ xxx d22 （6 ）xxxdsin 解：原式+= )d(222122xx 解：原式 = xdxsin2 cx +=232)2(31 cx += cos2 （7 ）xxx d2sin （8 ）+ xx 1)dln( 解：原式=2cos2xxd 解：原式+= xxx d1xx)1ln( cxxxdxxx+=+=2sin42cos2)2(2cos42cos2 cxxxxdxxxx+=+=)1ln()1ln()111()1ln( 2.計算下列定積分 （1 ） xxd121 （ 2） xxxde2121 解：原式 解：原式+=2111)1(d)1( dxxxx )1d(211xex= 25212)1(21)1(21 212112=+=+=xx 21211eeex= （3 ） xxxdln113e1+ （ 4） xxx d2cos20 解：原式 )1d(lnln12123e1+=xx 解：原式 xxdsin22120= 224ln1231=+=ex 212cos41)2(2sin412sin21202020=xxxdxx （5 ） （6 ） xxx dlne1xxxd)e1(40+解：原式2e1dln21xx= 解：原式 xexdx= d4040 )1(4141412121ln21222112+=+=eeexdxxxee 444404055144)(4=+=eeexdexexx 經濟數(shù)學基礎形成性考核冊 （三） （一）填空題 1.設矩陣 ，則=161223235401A A 的元素 _23=a .答案：3 2.設 均為 3 階矩陣，且BA, 3= BA ，則TAB2 = . 答案：_ 72 3. 設 均為 n階矩陣，則等式 成立的充分必要條件是 BA,2222)( BABABA += .答案： BAAB = 4. 設 均為 n階矩陣，BA, )( BI 可逆，則矩陣 XBXA =+ 的解 _=X .答案： ABI1)(5. 設矩陣 ，則 .答案：=300020001A _1=A31000210001 （二）單項選擇題 1. 以下結論或等式正確的是（ C ） A若 均為零矩陣，則有 BA, BA = B若 ，且 ，則 ACAB = OA CB =C對角矩陣是對稱矩陣 D若 ，則 OBOA , OAB 2. 設 A為 矩陣， 43 B 為 25 矩陣，且乘積矩陣 有意義，則 為（ A ）矩陣 TACBTC A B C42 24 53 D 35 3. 設 均為 n階可逆矩陣，則下列等式成立的是（ C ） BA,A ， B C111)(+=+ BABA111)(= BABA BAAB = D BAAB = 4. 下列矩陣可逆的是（ A ） A B C D 300320321 32110110100112211 5. 矩陣 的秩是（ B ） =444333222AA0 B 1 C 2 D 3 三、解答題 1計算 （1 ） = 011035125321（2 ） 00113020=0000（3 ） =21034521 0 2計算 723016542132341421231221321解 = =72301654274001277197723016542132341421231221321 1423011121553設矩陣 ，求=110211321B110111132，A AB 。 解 因為 BAAB = 22122)1()1(01021123211011113232=+A 01101-1-0321110211321B = 所以 002 = BAAB （注意：因為符號輸入方面的原因，在題 4題 7 的矩陣初等行變換中，書寫時應把（1）寫成； （2）寫成； （3）寫成；） 4設矩陣 ，確定=01112421A 的值，使 最小。 )(Ar解：01112421()()3,212011421( ) ( ) ()()+213112740410421()() +47230490410421 當49= 時， 達到最小值。 2)( =Ar5求矩陣 的秩。 =32114024713458512352A解： =32114024713458512352A()()3,132114123523458502471( ) ( ) ()()( )()()+414213512 361527012590361527002471()() ()()()()+3,233433200000000001259002471 。 2)( =Ar6求下列矩陣的逆矩陣： （1 ） =111103231A解： =AI100111010103001231()( )()()( )+113312101340013790001231()()+ 232 101340211110001231()()()+12423943100211110001231( ) ( ) ()()+132231 9431007320101885031()()+ 321943100732010311001 =9437323111A（2 ）A = 1121243613解： =AI1001120101240013613()()+ 321100112010124031001()()()()()+112134121621100134120031001()()3,20134120162110031001 ()()+ 223210100162110031001()()+ 132210100172010031001 A-1 = 2101720317設矩陣 ，求解矩陣方程=3221,5321BA BXA = 解： =AI10530121()()+ 312 13100121( ) ( )()+1222113102501 =13251A = =132532211BAX 1101四、證明題 1試證：若 都與21, BB A 可交換，則 ， 也與21BB +21BB A 可交換。 證： ， 11ABAB =22ABAB = () ( )21212121BBAABABABABABB +=+=+=+ 即 也與21BB + A 可交換。 () ()()() ( )2121212121BBABABABBABBABB = 即 也與21BB A 可交換. 2試證：對于任意方陣 A ， ， 是對稱矩陣。 TAA+ AAAATT,證： () ( )TTTTTTTAAAAAAAA +=+=+=+ 是對稱矩陣。 TAA+ =() TT)(AATTTTAAAA = 是對稱矩陣。 TAA () () AAAAAATTTTTT= 是對稱矩陣. AAT3設 均為 階對稱矩陣，則BA, n AB 對稱的充分必要條件是： BAAB = 。 證： 必要性： ， AAT= BBT= 若 AB 是對稱矩陣，即 () ABABT=而 因此() BAABABTT= BAAB = 充分性： 若 BAAB = ，則 () ABBAABABTTT= AB 是對稱矩陣. 4設 A為 階對稱矩陣， n B 為 階可逆矩陣，且 nTBB =1，證明 ABB1是對稱矩陣。 證： AAT=TBB =1 ()()() ( ) ABBBABBABABBTTTTTTT111 = ABB1是對稱矩陣. 證畢. 經濟數(shù)學基礎形成性考核冊 （四） （一）填空題 1.函數(shù))1ln(14)(+=xxxf 的定義域為 _ 。答案： ( 4,2)2,1( . 2. 函數(shù) 的駐點是 ，極值點是 2)1(3 = xy _ ，它是極 值點。答案： x =1；（ 1，0 ）；小。 3.設某商品的需求函數(shù)為2e10)(ppq= ，則需求彈性 =pE .答案： =pE2p 4.行列式_111111111=D.答案：4. 5. 設線性方程組 ，且 bAX =+010023106111tA，則 時，方程組有唯一解. 答案：_t .1t （二）單項選擇題 1. 下列函數(shù)在指定區(qū)間 (, 上單調增加的是（ B ） ) +Asin x B e x Cx 2 D 3 x 2. 設xxf1)( = ，則 =)( xff （ C ） Ax1 B21x C x D 2x3. 下列積分計算正確的是（ A ） A=110d2eexxx B=+110d2eexxx C D 0dsin11=xxx-0)d(3112=+xxx-4. 設線性方程組 有無窮多解的充分必要條件是（ D ） bXAnm=A mArAr = )()( B nAr )( C nm D nArAr = )()( 5. 設線性方程組 ，則方程組有解的充分必要條件是（ C ） =+=+=+33212321212 axxxaxxaxxA B C0321=+ aaa 0321=+ aaa 0321=+ aaa D 0321=+ aaa 三、解答題 1求解下列可分離變量的微分方程： (1) yxey+=解: yxeedxdy= , dxedyexy=dxedyexy= , ceexy+= （2 ）23eddyxxyx= 解: dxxedyyx=23=xxdedyy23 dxexeyxx=3 cexeyxx+=32. 求解下列一階線性微分方程： （1 ）3)1(12+=+ xyxy 解: ()+=+cdxexeydxxdxx123121( )( )( )( )+=+cdxexexx 1ln231ln21 ( )( )( )+= cdxxx 112 ()()+= cxx221211 （2 ） xxxyy 2sin2= 解:+=cdxexxeydxxdxx112sin2( )cdxexxexx+=lnln2sin2 +=cdxxxxx12sin2 ( )+= cxxdx 22sin ( )cxx += 2cos 3.求解下列微分方程的初值問題： (1) , yxy=2e 0)0( =y解：yxeedxdy2= dxedyexy=2 ceexy+=221 用 代入上式得： 0,0 = yx cee +=0021， 解得21=c 特解為：21212+=xyee (2) , 0e =+xyyx 0)1( =y解：xexyxy11=+ +=cdxexeeydxxxdxx11 +=cdxeexexxx lnln1 ()( )cexcdxexxx+=+=11 用 代入上式得： 0,1 = yx 解得 ： ce+=0 ec =特解為： ()cexyx=1 （注意：因為符號輸入方面的原因，在題 4題 7 的矩陣初等行變換中，書寫時應把（1）寫成； （2）寫成； （3）寫成；） 4.求解下列線性方程組的一般解： （1 ） =+=+=+03520230243214321431xxxxxxxxxxx解：A= 351223111201()()()()+213112111011101201()()+ 123000011101201所以一般解為 =+=4324312xxxxxx 其中 是自由未知量。 43, xx （2 ） =+=+=+5114724212432143214321xxxxxxxxxxxx解：=5114712412111112A()()2,15114711111224121( ) ( ) ()()+113212373503735024121 ()()+ 123000003735024121()512000005357531024121()()+ 221000005357531054565101 因為秩 ( )=A 秩 =2，所以方程組有解，一般解為()A+=432431575353565154xxxxxx 其中 是自由未知量。 43, xx 5.當 為何值時，線性方程組 =+=+=+=+43214321432143211095733223132245xxxxxxxxxxxxxxxx 有解，并求一般解。 解：=10957332231131224511A()()()()( )()()+3143132121418262039131039131024511 ()()()()+224123800000000039131024511()()+ 121800000000039131015801 可見當 8= 時， 方程組有解，其一般解為 其中 是自由未知量。 +=+=4324319133581xxxxxx43, xx 6 為何值時，方程組 ba,=+=+=baxxxxxxxxx3213213213221 有唯一解、無窮多解或無解。 解： =baA3122111111()()()()+113112+114011201111ba()()+ 223+330011201111ba 根據(jù)方程組解的判定定理可知： 當 ，且 時，秩3=a 3b ( )A 秩 ( )A ，方程組無解； 當 ，且 時，秩3=a 3=b ( )A =秩 ( )A =23，方程組有無窮多解； 當 時，秩 =秩3a ()A ( )A =3，方程組有唯一解。 7求解下列經濟應用問題： （1 ）設生產某種產品 個單位時的成本函數(shù)為： （萬元）, q qqqC 625.0100)(2+=求：當 時的總成本、平均成本和邊際成本； 10=q當產量 為多少時，平均成本最?。?q解: () 625.0100+= qqqc 當 時 () 65.0 += qqc 10=q總成本： （萬元） () 1851061025.0100102=+=c平均成本： () 5.1861025.01010010 =+=c （萬元） 邊際成本： （萬元）