教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)與小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)(史寧中)

1、東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院東北師范大學(xué)數(shù)學(xué)與統(tǒng)計(jì)學(xué)院 一、關(guān)于教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)一、關(guān)于教師專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)二、對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求二、對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求三、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值三、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值 一、關(guān)于教師一、關(guān)于教師專業(yè)專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)標(biāo)準(zhǔn)的基本功能標(biāo)準(zhǔn)的基本功能 評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之性質(zhì)（培養(yǎng)、準(zhǔn)入）評價(jià)標(biāo)準(zhǔn)之性質(zhì)（培養(yǎng)、準(zhǔn)入） 導(dǎo)向標(biāo)準(zhǔn)之特征（培訓(xùn)、提職）導(dǎo)向標(biāo)準(zhǔn)之特征（培訓(xùn)、提職）標(biāo)準(zhǔn)的基本理念標(biāo)準(zhǔn)的基本理念 學(xué)生為本：學(xué)生為本：以學(xué)生的發(fā)展為本，尊重學(xué)生的人格人性、以學(xué)生的發(fā)展為本，尊重學(xué)生的人格人性、 尊重教育規(guī)律、尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律（青蛙）尊重教育規(guī)律、尊重學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律（青蛙） 師德為先：師德為先：熱愛教育、

2、熱愛學(xué)生，工作認(rèn)真、為人陽光熱愛教育、熱愛學(xué)生，工作認(rèn)真、為人陽光 能力為重：能力為重：科學(xué)形態(tài)的知識科學(xué)形態(tài)的知識 教育形態(tài)的知識教育形態(tài)的知識 終身學(xué)習(xí)：終身學(xué)習(xí)：教師職業(yè)的要求教師職業(yè)的要求 專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)包括：專業(yè)標(biāo)準(zhǔn)包括： 三個(gè)維度、十四個(gè)領(lǐng)域、六十一項(xiàng)基本要求三個(gè)維度、十四個(gè)領(lǐng)域、六十一項(xiàng)基本要求 三個(gè)維度：專業(yè)理念三個(gè)維度：專業(yè)理念與師德與師德、專業(yè)知識、專業(yè)能力、專業(yè)知識、專業(yè)能力 專業(yè)理念與師德：專業(yè)理念與師德： 如何對待職業(yè)（謀生、熱愛、欣賞）如何對待職業(yè)（謀生、熱愛、欣賞） 如何對待學(xué)生（關(guān)愛、尊重、懂得）如何對待學(xué)生（關(guān)愛、尊重、懂得） 如何對待教育教學(xué)（知識、思維、經(jīng)驗(yàn)）如

3、何對待教育教學(xué)（知識、思維、經(jīng)驗(yàn)） 如何對待自身發(fā)展（模仿、反思、理論）如何對待自身發(fā)展（模仿、反思、理論） 專業(yè)知識包括：專業(yè)知識包括： 教育知識：教育知識：青少年心理學(xué)、教師心理學(xué)、青少年心理學(xué)、教師心理學(xué)、教育哲學(xué)教育哲學(xué) 學(xué)科知識：學(xué)科知識：數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、數(shù)學(xué)知識的教育價(jià)值數(shù)學(xué)知識的本質(zhì)、數(shù)學(xué)知識的教育價(jià)值 數(shù)學(xué)的基本思想（數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)）：數(shù)學(xué)的基本思想（數(shù)學(xué)的基本素養(yǎng)）： 抽象、推理、模型抽象、推理、模型 教學(xué)知識：教學(xué)知識：知道學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考，知道學(xué)生的認(rèn)知規(guī)律、啟發(fā)學(xué)生獨(dú)立思考， 引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn)引導(dǎo)學(xué)生學(xué)會思考、幫助學(xué)生積累經(jīng)驗(yàn) 通識知識

4、：通識知識：物理學(xué)（商朝如何判定一年四季、物理學(xué)（商朝如何判定一年四季、365365又又1/41/4天天） 人文學(xué)科（負(fù)數(shù)）人文學(xué)科（負(fù)數(shù)）在漢朝的時(shí)候，有一個(gè)人做了三次牲畜買賣，收支情況如下：在漢朝的時(shí)候，有一個(gè)人做了三次牲畜買賣，收支情況如下： 第一次第一次 賣牛收入賣牛收入2424錢，賣羊收入錢，賣羊收入2525錢，買豬支出錢，買豬支出3939錢，錢，合計(jì)收入合計(jì)收入1010錢；錢； 第二次第二次 賣牛收入賣牛收入3636錢，買羊支出錢，買羊支出4545錢，賣豬收入錢，賣豬收入9090錢，錢，合計(jì)收支相當(dāng)；合計(jì)收支相當(dāng)； 第三次第三次 買牛支出買牛支出6060錢，賣羊收入錢，賣羊收入30

5、30錢，賣豬收入錢，賣豬收入2424錢，錢，合計(jì)支出合計(jì)支出6 6錢。錢。如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)？如何用數(shù)學(xué)的方法表達(dá)？文字形式文字形式 牛牛 羊羊 豬豬 合計(jì)合計(jì)第一次第一次 收入收入24 24 收入收入25 25 支出支出39 39 收入收入1010第二次第二次 收入收入36 36 支出支出45 45 收入收入90 090 0第三次第三次 支出支出60 60 收入收入30 30 收入收入24 24 支出支出6 6數(shù)字形式數(shù)字形式 牛牛 羊羊 豬豬 合計(jì)合計(jì)第一次第一次 24 25 -39 1024 25 -39 10第二次第二次 36 -45 90 036 -45 90 0第三次第三次 -6

6、0 30 24 -6-60 30 24 -6負(fù)數(shù)與自然數(shù)：負(fù)數(shù)與自然數(shù)：數(shù)量相等、意義相反。數(shù)量相等、意義相反。專業(yè)能力包括：專業(yè)能力包括： 教學(xué)設(shè)計(jì)：教學(xué)設(shè)計(jì)：教無定法、抓住本質(zhì)、言簡意賅（集中精力）教無定法、抓住本質(zhì)、言簡意賅（集中精力） 教學(xué)實(shí)施：教學(xué)實(shí)施：預(yù)設(shè)與生成、舉例說明（加法的逆運(yùn)算）預(yù)設(shè)與生成、舉例說明（加法的逆運(yùn)算） 班級管理與教育活動：班級管理與教育活動：教育價(jià)值教育價(jià)值 教育教學(xué)評價(jià)：教育教學(xué)評價(jià)：動態(tài)看發(fā)展（每一個(gè)學(xué)生）動態(tài)看發(fā)展（每一個(gè)學(xué)生） 對教師的教學(xué)效果需要長期評價(jià)對教師的教學(xué)效果需要長期評價(jià) 溝通與合作：溝通與合作：校本研修、與家長合作校本研修、與家長合作 反

7、思與發(fā)展：反思與發(fā)展：一般理論一般理論 實(shí)踐實(shí)踐 反思反思 特殊理論特殊理論二、對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求二、對數(shù)學(xué)教學(xué)的要求 1. 關(guān)注人的全面發(fā)展：關(guān)注人的全面發(fā)展： 學(xué)習(xí)的興趣、學(xué)習(xí)的習(xí)慣、良好的身心素質(zhì)學(xué)習(xí)的興趣、學(xué)習(xí)的習(xí)慣、良好的身心素質(zhì) 班級學(xué)校的活動：班級學(xué)校的活動：教育價(jià)值（合作能力、表達(dá)能力）教育價(jià)值（合作能力、表達(dá)能力） 教師的楷模作用：教師的楷模作用：身教重于言教（東北師大附中）身教重于言教（東北師大附中）2. 教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變：教學(xué)理念的轉(zhuǎn)變： 過去的教育理念：以知識為本（結(jié)果的教育）。過去的教育理念：以知識為本（結(jié)果的教育）。 關(guān)心問題是關(guān)心問題是: 應(yīng)當(dāng)教哪些內(nèi)容；應(yīng)當(dāng)教到什么

8、程度。應(yīng)當(dāng)教哪些內(nèi)容；應(yīng)當(dāng)教到什么程度。 考核內(nèi)容是考核內(nèi)容是: 規(guī)定的內(nèi)容是否教了；學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求。規(guī)定的內(nèi)容是否教了；學(xué)生的掌握是否達(dá)到要求。 教學(xué)特征是教學(xué)特征是: 基礎(chǔ)知識、基本技能為核心內(nèi)容的基礎(chǔ)知識、基本技能為核心內(nèi)容的“雙基雙基”。 教學(xué)目標(biāo)是：教學(xué)目標(biāo)是： 基礎(chǔ)知識（概念記憶與命題理解）扎實(shí)；基礎(chǔ)知識（概念記憶與命題理解）扎實(shí)； 基本技能（證明技能與運(yùn)算技能）熟練?；炯寄埽ㄗC明技能與運(yùn)算技能）熟練。 教學(xué)形式是教學(xué)形式是: 課堂、教材、教師（凱洛夫的三中心論）。課堂、教材、教師（凱洛夫的三中心論）。 教學(xué)過程是教學(xué)過程是: 方法以教師的講授為主、內(nèi)容以規(guī)定和法則為主。

9、方法以教師的講授為主、內(nèi)容以規(guī)定和法則為主。 重視基本功：知識的記憶；重視基本功：知識的記憶； 重視操作技能：熟能生巧重視操作技能：熟能生巧。 現(xiàn)代教育理念：以人為本現(xiàn)代教育理念：以人為本 以學(xué)生的發(fā)展為本（結(jié)果的教育以學(xué)生的發(fā)展為本（結(jié)果的教育 + + 過程的教育）過程的教育） 不僅要記住一些數(shù)學(xué)的知識、掌握一些數(shù)學(xué)的技能。不僅要記住一些數(shù)學(xué)的知識、掌握一些數(shù)學(xué)的技能。 數(shù)學(xué)素養(yǎng)：數(shù)學(xué)的眼睛、數(shù)學(xué)的表達(dá)、數(shù)學(xué)的思考。數(shù)學(xué)素養(yǎng)：數(shù)學(xué)的眼睛、數(shù)學(xué)的表達(dá)、數(shù)學(xué)的思考。 要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想，要讓學(xué)生感悟數(shù)學(xué)的思想， 積累思維的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)。積累思維的經(jīng)驗(yàn)和實(shí)踐的經(jīng)驗(yàn)?；A(chǔ)知識、基本技能基礎(chǔ)知

10、識、基本技能 + 基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)3. 實(shí)施有效教學(xué)：實(shí)施有效教學(xué)： 使得教學(xué)效果（課堂）達(dá)到最好的教學(xué)。使得教學(xué)效果（課堂）達(dá)到最好的教學(xué)。 教無定法、但有定規(guī)：啟發(fā)式教學(xué)。教無定法、但有定規(guī)：啟發(fā)式教學(xué)。 引發(fā)學(xué)生思考引發(fā)學(xué)生思考 本質(zhì)上：本質(zhì)上：要講道理（不能都是規(guī)定、要講道理（不能都是規(guī)定、先乘除后加減先乘除后加減） 形式上：與學(xué)生一起思考、形式上：與學(xué)生一起思考、 讓學(xué)生得出結(jié)論（讓學(xué)生得出結(jié)論（半圓的周長半圓的周長） 3. 實(shí)施有效教學(xué)：實(shí)施有效教學(xué)： 使得教學(xué)效果（課堂）達(dá)到最好的教學(xué)。使得教學(xué)效果（課堂）達(dá)到最好的教學(xué)。 教無定法、但有定規(guī)：啟發(fā)式教

11、學(xué)。教無定法、但有定規(guī)：啟發(fā)式教學(xué)。 引發(fā)學(xué)生思考引發(fā)學(xué)生思考 本質(zhì)上：本質(zhì)上：要講道理（不能都是規(guī)定、要講道理（不能都是規(guī)定、先乘除后加減先乘除后加減） 形式上：與學(xué)生一起思考、形式上：與學(xué)生一起思考、 讓學(xué)生得出結(jié)論（讓學(xué)生得出結(jié)論（半圓周長半圓周長） 3. 實(shí)施有效教學(xué)：實(shí)施有效教學(xué)： 使得教學(xué)效果（課堂）達(dá)到最好的教學(xué)。使得教學(xué)效果（課堂）達(dá)到最好的教學(xué)。 教無定法、但有定規(guī)：啟發(fā)式教學(xué)。教無定法、但有定規(guī)：啟發(fā)式教學(xué)。 引發(fā)學(xué)生思考引發(fā)學(xué)生思考 本質(zhì)上：本質(zhì)上：要講道理（不能都是規(guī)定、要講道理（不能都是規(guī)定、先乘除后加減先乘除后加減） 形式上：與學(xué)生一起思考、形式上：與學(xué)生一起思考、

12、 讓學(xué)生得出結(jié)論（讓學(xué)生得出結(jié)論（半圓周長半圓周長） 三、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值三、體現(xiàn)數(shù)學(xué)教育價(jià)值 數(shù)學(xué)的教育價(jià)值體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的基本思想。數(shù)學(xué)的教育價(jià)值體現(xiàn)于數(shù)學(xué)的基本思想。 數(shù)學(xué)的基本思想是什么？數(shù)學(xué)的基本思想是什么？ 思想方法：等量替換、數(shù)形結(jié)合、遞歸、配方法、換元法？思想方法：等量替換、數(shù)形結(jié)合、遞歸、配方法、換元法？兩個(gè)準(zhǔn)則：兩個(gè)準(zhǔn)則： 數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的那些思想；數(shù)學(xué)的產(chǎn)生與發(fā)展所依賴的那些思想； 學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人的基本思維特征。學(xué)習(xí)過數(shù)學(xué)的人的基本思維特征。 抽象：抽象：把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；抽象能力強(qiáng)。把與數(shù)學(xué)有關(guān)的知識引入數(shù)學(xué)內(nèi)部；抽象能力強(qiáng)。 推理：推理：促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部

13、的發(fā)展；推理能力強(qiáng)。促進(jìn)數(shù)學(xué)內(nèi)部的發(fā)展；推理能力強(qiáng)。 模型：模型：溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁；構(gòu)建模型思考問題。溝通數(shù)學(xué)與外部世界的橋梁；構(gòu)建模型思考問題。抽象包括：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系。抽象包括：數(shù)量與數(shù)量關(guān)系、圖形與圖形關(guān)系。 抽象出：抽象出：對象概念和對象之間的關(guān)系概念；對象概念和對象之間的關(guān)系概念； 運(yùn)算方法和運(yùn)算之間的運(yùn)算法則。運(yùn)算方法和運(yùn)算之間的運(yùn)算法則。亞里士多德：亞里士多德： 數(shù)學(xué)家用抽象的方法對事物進(jìn)行研究，去掉事物中那些數(shù)學(xué)家用抽象的方法對事物進(jìn)行研究，去掉事物中那些 感性的東西。對于數(shù)學(xué)而言，線、角、或者其他的量的感性的東西。對于數(shù)學(xué)而言，線、角、或者其他的量的

14、定義，不是作為存在而是作為關(guān)系。定義，不是作為存在而是作為關(guān)系。抽象分兩個(gè)層次：抽象分兩個(gè)層次：直觀描述，符號表達(dá)。直觀描述，符號表達(dá)。數(shù)量數(shù)量的第一步抽象：具有物理背景、采用對應(yīng)的方法的第一步抽象：具有物理背景、采用對應(yīng)的方法 數(shù)量數(shù)量 數(shù)。數(shù)。 2 2匹馬、匹馬、2 2頭牛頭牛 2 2。 數(shù)量的本質(zhì)多與少數(shù)量的本質(zhì)多與少 數(shù)的本質(zhì)大與小數(shù)的本質(zhì)大與小 2 2 3 3 如何講加法：如何講加法：，所以，所以 3 + 1 = 4 3 + 1 = 4 ？ 哪邊的小方塊多？哪邊的小方塊多？ 哪邊的小方塊多？哪邊的小方塊多？ 3 + 1 = 43 + 1 = 4 這里的這里的等號是指兩邊的量相等。方程

15、的意義：兩個(gè)故事。等號是指兩邊的量相等。方程的意義：兩個(gè)故事。自然數(shù)集合自然數(shù)集合（減法：加法的逆運(yùn)算）（減法：加法的逆運(yùn)算）整數(shù)集合整數(shù)集合（除法：乘法的逆運(yùn)算）（除法：乘法的逆運(yùn)算）有理數(shù)集合有理數(shù)集合 分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)（部分與整體部分與整體；線段長度之比）；線段長度之比）無理數(shù)集合無理數(shù)集合 不能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù) 實(shí)數(shù)集合實(shí)數(shù)集合 有理數(shù)有理數(shù) + + 無理數(shù)無理數(shù) 需要解釋實(shí)數(shù)的連續(xù)性、需要無理數(shù)的運(yùn)算需要解釋實(shí)數(shù)的連續(xù)性、需要無理數(shù)的運(yùn)算 2 2 + 3 = + 3 = ？ 2 2 3 = 3 = ？18 18 世紀(jì)才形成現(xiàn)在的小數(shù)表達(dá)形式。世紀(jì)才形成現(xiàn)在的小數(shù)表達(dá)形式

16、。 自然數(shù)集合自然數(shù)集合（減法：加法的逆運(yùn)算）（減法：加法的逆運(yùn)算）整數(shù)集合整數(shù)集合（除法：乘法的逆運(yùn)算）（除法：乘法的逆運(yùn)算）有理數(shù)集合有理數(shù)集合 分?jǐn)?shù)（分?jǐn)?shù)（部分與整體部分與整體；線段長度之比）；線段長度之比）無理數(shù)集合無理數(shù)集合 不能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù)不能寫成分?jǐn)?shù)形式的數(shù) 實(shí)數(shù)集合實(shí)數(shù)集合 有理數(shù)有理數(shù) + + 無理數(shù)無理數(shù) 需要解釋實(shí)數(shù)的連續(xù)性、需要無理數(shù)的運(yùn)算需要解釋實(shí)數(shù)的連續(xù)性、需要無理數(shù)的運(yùn)算 2 2 +3 = +3 = ？ 2 2 3 = 3 = ？18 18 世紀(jì)才形成現(xiàn)在的小數(shù)表達(dá)形式。世紀(jì)才形成現(xiàn)在的小數(shù)表達(dá)形式。 數(shù)量數(shù)量的第二次抽象：沒有現(xiàn)實(shí)背景，采用符號的方法的第二次

17、抽象：沒有現(xiàn)實(shí)背景，采用符號的方法極限運(yùn)算：柯西極限運(yùn)算：柯西( (18211821年年) ) 從柯西開始，現(xiàn)代數(shù)學(xué)走向了符號化、形式化、公理化從柯西開始，現(xiàn)代數(shù)學(xué)走向了符號化、形式化、公理化18721872年，年，康托用數(shù)列極限、戴德金用分割重新定義了實(shí)數(shù)?？低杏脭?shù)列極限、戴德金用分割重新定義了實(shí)數(shù)。18891889年，年，皮亞諾重新定義了自然數(shù)皮亞諾重新定義了自然數(shù) 用用后續(xù)數(shù)的方法：從后續(xù)數(shù)的方法：從 1 1 開始，后續(xù)為開始，后續(xù)為2=1+12=1+1；加法：；加法：1+1=21+1=2 算術(shù)公理化系統(tǒng)：九個(gè)公理。算術(shù)公理化系統(tǒng)：九個(gè)公理。為證明為證明 4343，需要兩個(gè)公理。，需要兩

18、個(gè)公理。 第第7 7公理：公理：a = b a = b 則則a+1 = b+1a+1 = b+1。 第第8 8公理：公理：a+11a+11。 如果如果 4=34=3 3=23=2 2 2=1=1，與公理，與公理8 8矛盾。矛盾。 圖形圖形的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。 概念：概念：點(diǎn)是沒有部分的。線只有長度沒有寬度。點(diǎn)是沒有部分的。線只有長度沒有寬度。 面只有長度和寬度。面只有長度和寬度。 問題：問題：兩條直線交于一點(diǎn)？平行線：兩條永遠(yuǎn)不相交的直線。兩條直線交于一點(diǎn)？平行線：兩條永遠(yuǎn)不相交的直線。 有且只有有且只有一條一條平行線？平行線

19、？ 圖形圖形的第二次抽象：沒有現(xiàn)實(shí)背景，采用符號的方法。的第二次抽象：沒有現(xiàn)實(shí)背景，采用符號的方法。 希爾伯特：桌子、椅子、啤酒杯希爾伯特：桌子、椅子、啤酒杯 概念：概念：有三組不同的對象：第一組對象叫做點(diǎn)，用有三組不同的對象：第一組對象叫做點(diǎn)，用A A，B B，C C 表示；第二組對象叫做直線，用表示；第二組對象叫做直線，用a a，b b，c c表示；第三表示；第三 組對象叫做平面，用組對象叫做平面，用，表示。表示。 圖形圖形的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。的第一次抽象：具有物理背景、采用白描的方法。 概念：概念：點(diǎn)是沒有部分的。線只有長度沒有寬度。點(diǎn)是沒有部分的。線只有長度沒有

20、寬度。 面只有長度和寬度。面只有長度和寬度。 問題：問題：兩條直線交于一點(diǎn)？平行線：兩條永遠(yuǎn)不相交的直線。兩條直線交于一點(diǎn)？平行線：兩條永遠(yuǎn)不相交的直線。 有且只有有且只有一條一條平行線？平行線？ 圖形圖形的第二次抽象：沒有現(xiàn)實(shí)背景，采用符號的方法。的第二次抽象：沒有現(xiàn)實(shí)背景，采用符號的方法。 希爾伯特：桌子、椅子、啤酒杯希爾伯特：桌子、椅子、啤酒杯 概念：概念：有三組不同的對象：第一組對象叫做點(diǎn)，用有三組不同的對象：第一組對象叫做點(diǎn)，用A A，B B，C C 表示；第二組對象叫做直線，用表示；第二組對象叫做直線，用a a，b b，c c表示；第三表示；第三 組對象叫做平面，用組對象叫做平面，

21、用，表示。表示。 第一次抽象的功能：發(fā)現(xiàn)新的知識、建立概念；第一次抽象的功能：發(fā)現(xiàn)新的知識、建立概念；第二次抽象的功能：表達(dá)新的知識、建立符號。第二次抽象的功能：表達(dá)新的知識、建立符號?，F(xiàn)代數(shù)學(xué)的論述是基于第二次抽象的，基礎(chǔ)教育階段的教學(xué)：現(xiàn)代數(shù)學(xué)的論述是基于第二次抽象的，基礎(chǔ)教育階段的教學(xué)： 科學(xué)形態(tài)的知識科學(xué)形態(tài)的知識 教育形態(tài)的知識教育形態(tài)的知識 還原知識的背景還原知識的背景 追憶知識的產(chǎn)生追憶知識的產(chǎn)生 感悟知識的邏輯感悟知識的邏輯是教學(xué)改革的一個(gè)難點(diǎn)，也是為廣大教師提供了一個(gè)舞臺。是教學(xué)改革的一個(gè)難點(diǎn)，也是為廣大教師提供了一個(gè)舞臺。推理推理三種思維形式：三種思維形式：形象思維、邏輯思

22、維、辨證思維形象思維、邏輯思維、辨證思維 自然科學(xué)：自然科學(xué)：邏輯思維邏輯思維 + + 形象思維（聯(lián)想、想象）形象思維（聯(lián)想、想象） 社會科學(xué)：社會科學(xué)：辯證思維辯證思維 + + 邏輯思維邏輯思維 人文學(xué)科：人文學(xué)科：形象思維形象思維 + + 邏輯思維邏輯思維推理：推理：一個(gè)命題到另一個(gè)命題的思維過程。一個(gè)命題到另一個(gè)命題的思維過程。命題：命題：可以進(jìn)行是否判斷的話語（正命題、否命題）可以進(jìn)行是否判斷的話語（正命題、否命題） 判斷判斷 + 命題：命題：正正、正否、否正、否否正正、正否、否正、否否邏輯推理：邏輯推理：命題之間具有傳遞性。命題之間具有傳遞性。 凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底

23、有死。凡人都有死，蘇格拉底是人，所以蘇格拉底有死。否則是非邏輯推理否則是非邏輯推理 蘋果是酸的，酸是一種味道。所以蘋果是一種味道。蘋果是酸的，酸是一種味道。所以蘋果是一種味道。邏輯推理：邏輯推理：演繹推理演繹推理 + + 歸納推理歸納推理演繹推理：演繹推理：命題范圍由大到小，結(jié)果是必然的。命題范圍由大到小，結(jié)果是必然的。 功能：功能：驗(yàn)證結(jié)論。定義、假設(shè)、三段論等、結(jié)論。驗(yàn)證結(jié)論。定義、假設(shè)、三段論等、結(jié)論。歸納推理：歸納推理：命題范圍由小到大，結(jié)果是或然的。命題范圍由小到大，結(jié)果是或然的。 功能：功能：發(fā)現(xiàn)結(jié)論。經(jīng)驗(yàn)過的推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的。發(fā)現(xiàn)結(jié)論。經(jīng)驗(yàn)過的推斷未曾經(jīng)驗(yàn)的。演繹推理需要前提：公理

24、或者假設(shè)。演繹推理需要前提：公理或者假設(shè)。小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理的前提小學(xué)數(shù)學(xué)演繹推理的前提命題命題1 1 等式（不等式）關(guān)系具有傳遞性。等式（不等式）關(guān)系具有傳遞性。 a = b (a a = b (a b b），），b = c (a b = c (a b b） a = c (a a = c (a c c）命題命題2 2 等式（不等式）兩邊加減相同的量，等式（不等式）不變。等式（不等式）兩邊加減相同的量，等式（不等式）不變。 a = b (a a = b (a b b） a + c = b + c (a + c a + c = b + c (a + c b + c b + c） a - c = b

25、 - c (a - c a - c = b - c (a - c b - c b - c）加上一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)大。加上一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)大。 對于任意的數(shù)對于任意的數(shù) a a 和正數(shù)和正數(shù) b b，必然有，必然有 a + b a + b a a。 證明：證明：因?yàn)橐驗(yàn)?b b 為正數(shù)，所以為正數(shù)，所以 b b 0 0 不等式兩邊分別加上不等式兩邊分別加上 a a，由命題，由命題 2 2 可以得到可以得到 a + b a + b a a 所以結(jié)論成立。所以結(jié)論成立。利用類似的方法可以證明對稱命題：利用類似的方法可以證明對稱命題：加上一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)小。加上一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)小。減去一個(gè)正數(shù)等

26、于加上這個(gè)正數(shù)的相反數(shù)。減去一個(gè)正數(shù)等于加上這個(gè)正數(shù)的相反數(shù)。 減去一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)小。減去一個(gè)正數(shù)比原來的數(shù)小。用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)命題：用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)命題： a - b = a + (-b) a - b = a + (-b)其中其中b b 0 0。因?yàn)椤Ｒ驗(yàn)椤皽p法是加法逆運(yùn)算減法是加法逆運(yùn)算”： a - b = x a = b + x a - b = x a = b + x由命題由命題2 2，在右邊等式的兩邊分別加上（，在右邊等式的兩邊分別加上（-b-b）等式不變：）等式不變： a + (-b) = b + (-b) + x a + (-b) = b + (-b) + x。根據(jù)相反數(shù)的

27、定義：根據(jù)相反數(shù)的定義：a + (-b) = xa + (-b) = x。由命題。由命題 1 1： a - b = x = a + (-b) a - b = x = a + (-b) 減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)。減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上這個(gè)負(fù)數(shù)的相反數(shù)。 減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上一個(gè)正數(shù)。減去一個(gè)負(fù)數(shù)等于加上一個(gè)正數(shù)。 減去一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)大。減去一個(gè)負(fù)數(shù)比原來的數(shù)大。用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)命題用數(shù)學(xué)符號表示這個(gè)命題 a - (-b) = a + b a - (-b) = a + b令令 x = a + bx = a + b。等式分別兩邊加上。等式分別兩邊加上b b的相反數(shù)（的相反數(shù)（-b-b

28、），由命題），由命題2 2 x + (-b) = a + b + (-b) = a x + (-b) = a + b + (-b) = a上面等式的兩邊同時(shí)減去上面等式的兩邊同時(shí)減去(-b)(-b)，再由命題，再由命題2 2： x + (-b) (-b) = a (-b) x + (-b) (-b) = a (-b)因?yàn)橥瑯拥臄?shù)相減為因?yàn)橥瑯拥臄?shù)相減為 0 0：x = a (-b)x = a (-b)。由命題。由命題1 1： a - (-b) = a + b a - (-b) = a + b 我們的教育重視的演繹推理我們的教育重視的演繹推理 演繹推理的功能主要是驗(yàn)證結(jié)論，而不是發(fā)現(xiàn)結(jié)論。演繹推

29、理的功能主要是驗(yàn)證結(jié)論，而不是發(fā)現(xiàn)結(jié)論。因?yàn)檎撟C邏輯是：因?yàn)檎撟C邏輯是：大命題到小命題大命題到小命題 論證形式是：論證形式是：已知已知 A A 求證求證 B B A A 和和 B B 都是確定的命題。都是確定的命題。還缺少什么？還缺少什么？ 根據(jù)情況根據(jù)情況“預(yù)測結(jié)果預(yù)測結(jié)果”的能力；的能力； 根據(jù)結(jié)果根據(jù)結(jié)果“探究成因探究成因”的能力。的能力。 歸納推理歸納推理歸納推理就是：從小范圍滿足的結(jié)果推斷大范圍也滿足歸納推理就是：從小范圍滿足的結(jié)果推斷大范圍也滿足用字母表示數(shù)：用字母表示數(shù)： 媒體里有一個(gè)會計(jì)算的黑匣子，猜一猜是如何計(jì)算的。媒體里有一個(gè)會計(jì)算的黑匣子，猜一猜是如何計(jì)算的。 讓學(xué)生說出

30、一個(gè)數(shù)，比如讓學(xué)生說出一個(gè)數(shù)，比如 4 4。教師在媒體上輸入，在黑匣子。教師在媒體上輸入，在黑匣子的另一端輸出的另一端輸出 8 8。 重復(fù)這個(gè)過程：輸入重復(fù)這個(gè)過程：輸入 6 6 輸出輸出 1212；輸入；輸入 7 7 輸出輸出 1414。 啟發(fā)學(xué)生：是怎么計(jì)算的？啟發(fā)學(xué)生：是怎么計(jì)算的？ 歸納學(xué)生的想法，寫出算式歸納學(xué)生的想法，寫出算式 輸入數(shù)輸入數(shù) 2 = 2 = 輸出數(shù)輸出數(shù) 啟發(fā)學(xué)生：如果用字母啟發(fā)學(xué)生：如果用字母a a表示輸入的數(shù)會怎樣呢？表示輸入的數(shù)會怎樣呢？ a - 2aa - 2a 總結(jié)：總結(jié)：a a 可以表示任何數(shù)。可以表示任何數(shù)。探索規(guī)律：只有偶數(shù)的平方才能為偶數(shù)。只有偶數(shù)

31、的平方才能為偶數(shù)。 研究對象符號化：偶數(shù)研究對象符號化：偶數(shù) 2a2a；奇數(shù)；奇數(shù) 2a+12a+1 研究目標(biāo)包含兩個(gè)結(jié)論：研究目標(biāo)包含兩個(gè)結(jié)論：提出問題提出問題 1.1.偶數(shù)的平方為偶數(shù)（有）；偶數(shù)的平方為偶數(shù)（有）；問：偶數(shù)問：偶數(shù)偶數(shù)偶數(shù) = = ？ 2.2.奇數(shù)的平方為奇數(shù)（只有）；奇數(shù)的平方為奇數(shù)（只有）；問：奇數(shù)問：奇數(shù)奇數(shù)奇數(shù) = = ？ 研究方法用歸納的方法：研究方法用歸納的方法： 對應(yīng)對應(yīng)1 1：2 22 = 42 = 4，4 44 = 84 = 8，121212 = 14412 = 144 對應(yīng)對應(yīng)2 2：3 33 = 93 = 9，5 55 = 255 = 25，1111

32、11 = 12111 = 121 猜想一般結(jié)論猜想一般結(jié)論 2a 2a 2a = 2a = 偶數(shù)偶數(shù) (2a + 1)(2a + 1)(2a + 1) = (2a + 1) = 奇數(shù)奇數(shù)空間想象（類比）空間想象（類比） 一個(gè)點(diǎn)能夠把直線分為兩個(gè)部分。如何表達(dá)？一個(gè)點(diǎn)能夠把直線分為兩個(gè)部分。如何表達(dá)？ 一條直線能夠把平面分為兩個(gè)部分？兩條直線呢？一條直線能夠把平面分為兩個(gè)部分？兩條直線呢？ 一個(gè)平面能夠把空間分為幾個(gè)部分。一個(gè)平面能夠把空間分為幾個(gè)部分。 兩個(gè)平面呢？三個(gè)平面呢？兩個(gè)平面呢？三個(gè)平面呢？通過歸納推理得到結(jié)論，通過演繹推理證明結(jié)論。通過歸納推理得到結(jié)論，通過演繹推理證明結(jié)論。因?yàn)闅w

33、納推理和演繹推理都是是邏輯推理，因此數(shù)學(xué)的結(jié)論具有因?yàn)闅w納推理和演繹推理都是是邏輯推理，因此數(shù)學(xué)的結(jié)論具有一般性和嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)而具有應(yīng)用的廣泛性。一般性和嚴(yán)謹(jǐn)性，進(jìn)而具有應(yīng)用的廣泛性。模型：用數(shù)學(xué)的方法刻畫現(xiàn)實(shí)世界的故事。模型：用數(shù)學(xué)的方法刻畫現(xiàn)實(shí)世界的故事。總量模型?？偭磕Ｐ?。刻畫總量與幾個(gè)部分量之間的關(guān)系，其中部分量的地刻畫總量與幾個(gè)部分量之間的關(guān)系，其中部分量的地位平等，是并列關(guān)系，因此用加法。從數(shù)學(xué)計(jì)算考慮，可以稱位平等，是并列關(guān)系，因此用加法。從數(shù)學(xué)計(jì)算考慮，可以稱加法模型，表示為：加法模型，表示為： 總量總量 = = 部分量部分量 + + 部分量。部分量。 可以把加法運(yùn)算變?yōu)闇p法運(yùn)算

34、：可以把加法運(yùn)算變?yōu)闇p法運(yùn)算： 部分量部分量 = = 總量總量 - - 部分量。部分量。 圖書室各中類型書的總和是多少？圖書室各中類型書的總和是多少？ 在商店中買幾樣商品的總花費(fèi)是多少？在商店中買幾樣商品的總花費(fèi)是多少？ 路程模型。路程模型。講述的是距離、速度、時(shí)間之間的關(guān)系。假設(shè)速度是講述的是距離、速度、時(shí)間之間的關(guān)系。假設(shè)速度是均勻的（或者平均速度），可以得到模型的形式：均勻的（或者平均速度），可以得到模型的形式： 距離距離 = = 速度速度 時(shí)間。時(shí)間。 可以適用于一類現(xiàn)實(shí)中的問題：可以適用于一類現(xiàn)實(shí)中的問題： 總價(jià)總價(jià) = = 單價(jià)單價(jià) 數(shù)量數(shù)量 總數(shù)總數(shù) = = 行數(shù)行數(shù) 列數(shù)。列數(shù)

35、。 可以把乘法變?yōu)槌ǎ嚎梢园殉朔ㄗ優(yōu)槌ǎ?時(shí)間時(shí)間 = = 距離距離 / / 速度。速度。 故事：甲比乙晚出發(fā)多長時(shí)間；甲在行程中途改變速度。故事：甲比乙晚出發(fā)多長時(shí)間；甲在行程中途改變速度。 “雙基雙基” “四基四基”基礎(chǔ)知識、基本技能基礎(chǔ)知識、基本技能 + + 基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)基本思想、基本活動經(jīng)驗(yàn)“兩能兩能” “四能四能”分析問題、解決問題分析問題、解決問題 + + 發(fā)現(xiàn)問題、提出問題發(fā)現(xiàn)問題、提出問題 如果在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中，如果在我國的中小學(xué)數(shù)學(xué)教育中， 一方面保持一方面保持“數(shù)學(xué)雙基教學(xué)數(shù)學(xué)雙基教學(xué)”合理的內(nèi)核，一方面添加合理的內(nèi)核，一方面添加“基本思基本思想想”和

36、和“基本活動經(jīng)驗(yàn)基本活動經(jīng)驗(yàn)”，出現(xiàn)既有，出現(xiàn)既有“演繹能力演繹能力”又有又有“歸納能歸納能力力”的培養(yǎng)模式。的培養(yǎng)模式。 就必將會出現(xiàn)就必將會出現(xiàn)“外國沒有的我們有、外國有的我們也有外國沒有的我們有、外國有的我們也有”的局面，的局面，那一天，我們就能自豪地說，我國的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界。那一天，我們就能自豪地說，我國的基礎(chǔ)教育領(lǐng)先于世界。 謝謝各位！謝謝各位！韓愈韓愈師說師說：師者，所以傳道、受業(yè)、解惑也師者，所以傳道、受業(yè)、解惑也知識的教育：知識的教育：結(jié)果的教育，知識是結(jié)果，是思考或者經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果結(jié)果的教育，知識是結(jié)果，是思考或者經(jīng)驗(yàn)的結(jié)果智慧的教育：智慧的教育：過程的教育，因?yàn)橹腔郾憩F(xiàn)在過

37、程之中過程的教育，因?yàn)橹腔郾憩F(xiàn)在過程之中 “關(guān)于教育的哲學(xué)關(guān)于教育的哲學(xué)”，教育研究教育研究19981998年第年第1010期期凸顯人之所以成為人的那些東西：凸顯人之所以成為人的那些東西：想象能力、抽象能力、計(jì)算機(jī)想象能力、抽象能力、計(jì)算機(jī) “試論教育的本原試論教育的本原”，教育研究教育研究20082008年第年第8 8期期教育一詞的由來：教育一詞的由來：中國源于中國源于孟子孟子盡心上盡心上：得天下英才而教育之，三樂也。得天下英才而教育之，三樂也。西方源于拉丁語西方源于拉丁語 educare ：把什么東西引往高出把什么東西引往高出 引出、引導(dǎo)引出、引導(dǎo) 北極出地與北緯度數(shù)相等：北極出地與北緯度數(shù)相等：a=aa=a。Aaab赤道ONN 圖圖 北極出地與緯度之間的關(guān)系北極出地與緯度之間的關(guān)系假設(shè)前提：從無窮遠(yuǎn)點(diǎn)假設(shè)前提：從無窮遠(yuǎn)點(diǎn)N N出發(fā)，可以在地球上得到兩條平行直線出發(fā)，可以在地球上得到兩條平行直線 NO NO 和和 NA NA 可以得到無數(shù)條平行線（羅巴切夫斯基幾何）。可以得到無數(shù)條平行線（羅巴切夫斯基幾何）。 球面上的距離球面上的距離 北京和紐約都在北緯北京和紐約都在北緯4040