山東春考數學知識點匯總于老師.doc

.第一章 集合與簡易邏輯1.1-1.2 集合及其運算1.集合定義：把一些確定的元素看成一個整體，這個整體就是由這些元素構成的集合.2.元素的特性：確定性、互異性、無序性.3.元素與集合關系：有屬于和不屬于兩種，表示符號為 和 .4.常見集合字母表示：集合自然數集正整數集整數集有理數集實數集表示NN+或 N*ZQR5集合分類：按元素個數可分:有限集、無限集；按元素特征分：數集、點集、坐標集等.6. 集合表示法：列表法、性質描述法、圖像法（wenn 圖像、數軸表示、區(qū)間表示）7. 集合關系：描述關系文字語言符號語言集合相等集合 A 與集合 B 中的所有元素都相同A=B間的子集A 中任意一元素均為 B 中的元素AB 或 B A基本真子集A 中任意一元素均為 B 中的元素，且 B 中至少有一個元素 A 中沒A B或 BA關系有空集空集是任何集合的子集空集是任何非空集合的真子集8.集合運算：集合運算集合的并集集合的交集集合的補集符號表示ABAB若全集為 U，則集合 A 的補集為CUA.圖形表示意義集合 A 與 B 的全部集合 A 與 B 的公共元全集 U 中所有元素，元素，A 或 B.素，A 且 B.除去集合 A 中元素的部分.性質A B = B A；A B = B A；A CUA.=U；A CUA.=；CU（CUA）=A；A A = A；A A = A；A = A = A；A = A = A；CUACUB=CU（A B）；CUACUB=CU（A B）；A B A B = BA B A B = A【注意】1任何一個集合是它本身的子集；2如果 AB，同時 BA，那么 A = B；如果 AB，BC, 那么 AC；3n 元素集合，有子集2n個；n 元素集合，有真子集有2n 1 個；n 元素集合，有非空真子集有2n 2個.1.3-1.4 邏輯用語充要條件1命題概念:可判斷真假的文字或符號的，陳述性語句不具備判斷性 例：2x + 1 = 5不是命題 疑問、感嘆、祈使等非陳述句命題真命題：不符合客觀事實判斷是命題 假命題：符合客觀事實判斷2、四種命題關系1命題聯系：2真假關系：互為逆否命題，有相同的真假性；互逆命題或互否命題，真假性不可判斷3、邏輯連接詞：且、或、非，符號“、”.1且p q：一假則假 2或p q：一真則真 3非p：與原命題真值相反4原命題變非命題簡單命題：直接否定判斷詞單一命題 命題 量詞命題：互換和，否定判斷詞p q p q 復合命題 2p q p q【注】A、 p：非命題(命題的否定)，只否結論，與原命題真值相反。B、 否命題：條件結論都否定，真值不具備判斷性。C、 常用的量詞有全稱量詞和存在量詞，用符號表示為和. D、含有全稱量詞的命題，叫做全稱命題，含有存在量詞的命題，叫做存在命題。常用判斷詞否定判 斷= 0】2.2-2.3 不等式性質與絕對值不等式1不等式基本性質：a b a b 0；a b a b b b a2傳遞性：a b、b c a c3加法法則a b a c b d移項法則：a + b c a c b4同向可加性：a b、c d a + c b + d乘法法則：a b、c 0 ac bd；a b、c 0 56ac b 0，且 c d 0 ac bd 乘方法則：若a b 0 ann b .n N 且 n 1/789nn1011b.n N 且 n 1/ b 0 a 取倒數法則：a b，ab 0 a4一元一次不等式解法：將一元一次不等式變形為標準形式：例：ax b1時，ax b的解集為2 3，用區(qū)間表示為.， + /當a 02當a b的解集為2 0 開口向上a 000二次函數ax2bxc = 0(a0)的圖象來一元二次方程有兩個相異實根有兩個相等實根ax2bxc0沒有實數根x ，x (x x)x x (a0)的根1212122 ax2bxc02 | 23* | 0+R(a0)的解集ax2bxc0* | 1 0; 0. 2不等式ax2bxc 0 ( 0)恒成立的條件: a 0; 0：大于取兩邊，小于取中間 例：a.| | m m x m 或 x 0：大于取兩邊，小于取中間 例：a. |+ | + 【答案寫集合或區(qū)間】4如果c b. |+ | + 0b. |+ | 0且 a1），定義域 x02分式函數y = f（x） ，定義域 g（x）0.g（x）4函數y = 2n+1f（x）(n N+)，定義域 R.6指數函數 y=ax (a 0且 a1) ，定義域 R8正切函數y = tanx . 2 + 2 ， /2.4 一元二次不等式1. 一元二次不等式：ax2bxc0 或 ax2bxc 0 ( 0)ax2bxc 0 或 ax2bxc 0 ( 0)2. 解法：開口、畫圖3. 復合函數1復合函數：如果函數 y=f（t）的定義域為 A,且 t=g（x）的定義域 D、值域為 C，則當C A時，稱函數y = f,g(x)-為f( )與 g( )在 D 上的復合函數，t 叫做中間變量，t=g（x）叫內函數，y=f（t）叫外函數。2復合函數求定義域：已知f, ( )-定義域，求f( )定義域；已知f( )定義域，求f, ( )-定義域。2山東春考數學于文軍奇偶性定 義圖象特點偶函數如果對于函數 f(x)的定義域內任意一個 x，都有關于 y 軸對稱f(x) = f(x)，那么函數 f(x)是偶函數奇函數如果對于函數f(x)的定義域內任意一個 x，都有關于原點對稱f(x) = f(x)，那么函數 f(x)是奇函數4. 求值域：直接發(fā)、常數分離、配方法、換元法、圖像（單調、奇偶、反函數）5. 求函數值 ：直接代入、代換、整體、賦值、配湊、換元、待定系數6. 分段函數：在函數定義域內，對于自變量 x 的不同區(qū)間，有著不同的對應法則，這樣的函數通常叫做分段函數。（分段函數為一個函數）3.2 函數的單調性1定義：1y = f( )定義域的子區(qū)間 I 內任意兩個值x1，x2，當時x1 x2 時，有f（x1） f（x2），那么就說I稱為y = f（x）的增區(qū)間，當整個定義域都符合以上條件時，稱為增函數。2y = f( )定義域的子區(qū)間 I 內任意兩個值x1，x2，當時x1 f（x2），那么就說I稱為y = f（x）的增區(qū)間，當整個定義域都符合以上條件時，稱為增函數。2. 單調性證明1函數的單調區(qū)間,必須先求函數的定義域；2判斷函數單調性的方法步驟：利用定義證明函數 f(x)在給定的區(qū)間 D 上的單調性的一般步驟：a 任取x1，x2 M，且x1 0，a 1，m 0/maxax3f(x) = |x|3f(x)=.a 0，a 1，m 0/4f(x) = cosnxm4f(x) =ax+1.a 0，a 1/ax15f(x) = loga1+x.a 0，a 1， 1 x 0定義域xR(個別題目有限制的，由解析式確定)開口a0a0值域y 4ac b2， + )y .，4ac b24a4aa 0D = 0D 0y = ax2 + bx + ca0（ ，x1） （x2， + ）（ ，x1） （x1， + ）Rax2 + bx + c 0a0（x1，x2）ax2 + bx + c 0的解集a1，且n ），這個數稱 a 的 n 次方根（若= ，則 x 稱 a 的 n 次方根）.當 n 為奇數時，a 的 n 次方根記作；= .當 n 為偶數時，a0，n 次方根兩個且互為相反數，記作 ( 0)； ( 0) = | | = ( 0)2. 實數冪運算)，n 個；0= 1( 0).= ( 12111 ( );1且 1/= . 0, 341 + =. 0, 、 且 1/=. 0， ， /56= . 0， ， /( . 0， ， /( ) )=77【注】上述性質對r、s R均適用42 指數函數1. 定義：形如y = ax(a 0 且 a 1)的函數叫指數函數，ax前的系數為 1.2. 圖像與性質兩種情況0 a 1圖像定義域：R值域：y 0性質圖像都過定點（0，1）即 x = 0，y = 1在 R 上單調遞減在 R 上單調遞增x 1；x 0時，0 y 1x 0時，0 y 0時，y 1對稱性1xy = ax與y = ./ 的圖像關于 y 軸對稱3.不同底：底數的大小決定了圖像相對位置的高低:不論是a 1還是 0 a b 1 c d 04山東春考數學于文軍4.3 對數及其運算1.定義：如果a的b次冪等于N，就是=，那么數b稱以a為底 N 的對數，記作log= ，其中a稱對數的底，N 稱真數. 0，且 1/。以 10 為底的對數稱常用對數，log10 記作lgN；以歐拉常數e( = 2.71828 )為底的對數稱自然對數，log ，記作lnN；2.運算：負數和零無對數（真數 N 為正數）；log 1 = 0；log= 1；123log= , log= N； log ( ) = log+ log ；log= log log ；456log= loglog=log. 0， 0， 0. /log log = 1；7810log11log=log4.4 對數函數1. 定義：形如y = logax(a 0 且 a 1)的函數稱為對數函數2. 圖像和性質底數0 a 1圖像定義域：.0， + /值域：R性質圖像都過定點（1,0），即，x=1 時，y=0在.0， + /上單調遞減在.0， + /上單調遞增0 x 0；x 1時，y 00 x 1時，y 1時，y 0對稱性函數y = log 與y = log1 的圖像關于 x 軸對稱y = loga|x|的圖像關于 y 軸對稱【注意】底數大小決定了圖像相對位置的高低：不論是 1還是0 a an其中(n N)遞減數列an+1 an常數列an+1 = an【注意】非 0 常數列即是等差數列又是等比數列，為 0 的常數列是等差數列。 3. 數列表示方法：列表法、公式法、圖像法4通項公式:如果數列* +的第n項an與項數 n 之間的函數關系可以用一個式子表示成an = f(n)，那么這個式子叫作這個數列的通項公式1同一數列可能有不同的通項公式；2有些數列無通項公式；3通項公式可以判斷數是否在數列內，如果在數列內，可以求出是第幾項。5. 遞推公式：一些項與一些項之間的遞進關系。例：等差中項公式、等比中項公式。6. 求和公式及 與 關系1Sn = a1 + a2 + + an；2an = S1(n = 1)；Sn Sn1(n 2)5.2 等差數列1等差數列概念:1定 義：數列從第二項起，每一項與前一項的差都等于同一個常數，我們稱這樣的數列為等差數列（符號表示an），稱這個常數為公差，通常用字母 d 表示 (n N，d為常數)2等差中項：如果在a與b中間插入一個數A，使a，A，b成等差數列那么A叫作a與b的等差中項若A是a與b的等差中項，則A a+b2.2、相關公式1通項公式：an = a1 + nd =