哈爾濱工程大學(xué)隨機(jī)過程課后答案.doc

標(biāo)準(zhǔn)教材：隨機(jī)過程基礎(chǔ)及其應(yīng)用/趙希人，彭秀艷編著索書號(hào)：O211.6/Z35-2備用教材：（這個(gè)非常多，內(nèi)容一樣一樣的）工程隨機(jī)過程/彭秀艷編著索書號(hào)：TB114/P50歷年試題（頁(yè)碼對(duì)應(yīng)備用教材）2007一、習(xí)題0.7（1）二、習(xí)題1.4三、例2.5.1P80四、例2.1.2P47五、習(xí)題2.2六、例3.2.2P992008一、 習(xí)題0.5二、 習(xí)題1.4三、 定理2.5.1P76四、 定理2.5.6P80五、 1、例2.5.1P802、例2.2.2P53六、例3.2.3P992009（回憶版）一、習(xí)題1.12二、例2.2.3P53三、例1.4.2與例1.5.5的融合四、定理2.5.3P76五、習(xí)題0.8六、例3.2.22010一、 習(xí)題0.4（附加條件給出兩個(gè)新隨機(jī)變量表達(dá)式，間接說明老師給出證法不夠合理）二、 例1.2.1三、 例2.1.4四、 例2.2.2五、 習(xí)題2.6六、 習(xí)題3.3引理1.3.1 解法糾正許瓦茲不等式證明：例1.4.2 解法詳解已知隨機(jī)過程的均值為零，相關(guān)函數(shù)為為常數(shù)。求其積分過程的均值函數(shù)和相關(guān)函數(shù)。解：不妨設(shè)同理當(dāng)時(shí)（此處書上印刷有誤）例1.5.5解法同上例1.5.6 解法詳解普松過程公式推導(dǎo)：例2.1.2 解法詳解設(shè)為零均值正交增量過程且，令，試證明為平穩(wěn)過程。證明：同理可解出其他情況，整理得：例2.1.3 印刷有誤例2.2.2 解法詳解設(shè)為平穩(wěn)正態(tài)過程，且為已知，求作用于平方濾波器時(shí)，輸出過程的統(tǒng)計(jì)性質(zhì)。例2.2.3 解法詳解 例2.3.1解法糾正此處老師解釋為常值函數(shù)默認(rèn)為例2.3.1，例2.3.2 解法詳解，為狄拉克函數(shù)，為而產(chǎn)生 定理2.5.1 印刷有誤，解法詳解定理2.5.2 解法詳解為平穩(wěn)隨機(jī)過程，以下步驟同定理2.5.1定理2.5.3 印刷有誤多處連續(xù)錯(cuò)誤，可直接覆蓋充分性：將（2.5.18）式展開，有定理2.5.4 解法詳解即證剩余步驟同定理2.5.3充分性證明。定理2.5.5 解法詳解記為平穩(wěn)隨機(jī)序列，中心相關(guān)函數(shù)為，記進(jìn)一步假設(shè)為平穩(wěn)隨機(jī)序列，記則成立的充要條件是證明：必要性：“”：充分性：“”：印刷出錯(cuò)（3.2.4）（3.2.5）（3.2.21）（3.4.39）例3.2.3 解法詳解書后習(xí)題概率論（第0章）：1. 設(shè)隨機(jī)變量的聯(lián)合密度函數(shù)為，試證兩兩獨(dú)立，但不相互獨(dú)立。解：兩兩獨(dú)立；不相互獨(dú)立。2. 設(shè)服從普松分布，參數(shù)為，試求（）（）的分布。解：（）；（）。3. 設(shè)為相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，試求的分布密度函數(shù)。解：為相互獨(dú)立服從柯西分布。4. 設(shè)為相互獨(dú)立且均服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量，試證與相互獨(dú)立。證明：設(shè)，解得，5. 設(shè)隨機(jī)變量X分布函數(shù)為，試求特征函數(shù)試求特征函數(shù)。解： 6. 如果隨機(jī)變量的密度函數(shù)為，試求特征函數(shù)。解：7. 設(shè)有如下特征函數(shù)：，試求分布密度函數(shù)。解：1) 2)3)8. 設(shè)隨機(jī)變量均服從柯西分布，其密度函數(shù)為，且，試證對(duì)特征函數(shù)有，但并不獨(dú)立。解：對(duì)，并不獨(dú)立。9. 設(shè)是上的連續(xù)、單調(diào)上升函數(shù)，且，試證的充要條件是，其中為隨機(jī)變量序列。證明：即證必要性：“”：設(shè)對(duì)使，由于，對(duì)于該，必，當(dāng)時(shí)有，對(duì)，必，當(dāng)時(shí)有充分性：“”：10. 設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列，密度函數(shù)為，試問是否服從強(qiáng)大數(shù)定理。解：服從強(qiáng)大數(shù)定理；證明：服從強(qiáng)大數(shù)定理。11. 設(shè)為獨(dú)立隨機(jī)變量序列且，試證服從大數(shù)定律但不服從強(qiáng)大數(shù)定律。證明：大數(shù)定律：對(duì)，必，使，必使，于是當(dāng)時(shí)，服從大數(shù)定律；強(qiáng)大數(shù)定律：不服從強(qiáng)大數(shù)定律。12. 設(shè)為隨機(jī)變量序列且方差有界，即，如果相關(guān)系數(shù)滿足，試證明服從大數(shù)定理。證明：對(duì)第二項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)不超過，由于，對(duì)第三項(xiàng)，當(dāng)項(xiàng)數(shù)不超過，由于，服從大數(shù)定理。13. 設(shè)為正態(tài)分布函數(shù)列，并且收斂于分布函數(shù)，試證是正態(tài)分布函數(shù)。證明：即證和存在連續(xù)且，必使，所以存在且；取積分線路為，且在積分路徑上有，故，所以存在且。14. 取，為中所有波雷爾點(diǎn)集所構(gòu)成的代數(shù)，為勒貝格測(cè)度，則為一概率空間，令一般地，把分成個(gè)等長(zhǎng)區(qū)間，令現(xiàn)定義則為隨機(jī)變量序列，試證依概率收斂于零但不幾乎處處收斂于零。證明：，當(dāng)有，；對(duì)，必使，即，不幾乎處處收斂于零。15. 對(duì)于14題中所敘述的隨機(jī)變量序列試證雖然不成立但卻有。證明：當(dāng)有，；，不成立。第一章：1. 設(shè)為普松過程，試求有限維分布函數(shù)族。解：設(shè)，因?yàn)槠账蛇^程是馬爾科夫過程，2. 設(shè)為隨機(jī)過程，其中為隨機(jī)變量且分布函數(shù)為已知，求有限維分布函數(shù)族。解：3. 設(shè)為二階矩過程，試證自相關(guān)函數(shù)在任意處連續(xù)等價(jià)于在任意處連續(xù)。證明：充分性顯然；必要性：在連續(xù)，必要性得證。4. 設(shè)二階矩過程的均值函數(shù)為零，相關(guān)函數(shù)為為常數(shù)，試分析均方意義下的連續(xù)性，可積性和可微性。解：均方連續(xù)；為二階矩過程，均方可積；均方可微。5. 設(shè)為正態(tài)隨機(jī)過程且，試證對(duì)任意，有。備注：（1）參見O211.6-42/L80，P7（2）參見O211.6-44/Z85-2，P100證明：詳細(xì)步驟參見：O211.6-42/L80，P17O211.6-44/Z85-2，P1146. 隨機(jī)過程的切比雪夫不等式。設(shè)為實(shí)值均方可微隨機(jī)過程，記，。試證：（）（）（）（）（）于是，隨機(jī)過程的切比雪夫不等式為：證明：（）（）同理：；（）由（）得：（）由（）得：（）由（）、（）得：7. 試證明普松過程均方連續(xù)，均方可積，但不均方可微。證明：對(duì)的分析就等同于對(duì)的分析。均方連續(xù)；均方可積；不均方可微。8. 設(shè)為一階滑動(dòng)合序列，其中是相互獨(dú)立服從正態(tài)分布的隨機(jī)變量序列為常數(shù)，試問該過程是否為正態(tài)過程，平穩(wěn)過程，馬爾科夫過程及獨(dú)立增量過程？解：，為的線性組合；為正態(tài)過程；，為常數(shù)；且，只與時(shí)間差有關(guān)；為平穩(wěn)過程；，只與最近時(shí)刻有關(guān)；為馬爾科夫過程；不為獨(dú)立增量過程。9. 設(shè)為隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，試證也是自相關(guān)函數(shù)，其中為任意實(shí)數(shù)。證明：設(shè)，為的自相關(guān)函數(shù)。10. 設(shè)為正態(tài)隨機(jī)變量序列，它均方收斂于隨機(jī)變量，試證是正態(tài)隨機(jī)變量。證明：，；是正態(tài)隨機(jī)變量。11. 設(shè)為正態(tài)隨機(jī)過程，且及存在，試證及也是隨機(jī)過程。證明：備注：正態(tài)過程的線性組合為正態(tài)過程為的線性組合是隨機(jī)過程；是隨機(jī)過程。12. 設(shè)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，且自相關(guān)函數(shù)及二維密度函數(shù)均為已知。（）試證（）求出（）證明：由切比雪夫不等式，設(shè)，則，（）解：設(shè)，13. 設(shè)為隨機(jī)過程，對(duì)任意其一維分布密度函數(shù)為正態(tài)分布，現(xiàn)規(guī)定，試求函數(shù)使得在上具有均勻分布。解：參見O211.6-44/Z85-2，P6814. 設(shè)是具有密度的隨機(jī)變量，現(xiàn)構(gòu)成如下微分方程：，試求其解過程的均值函數(shù)，相關(guān)函數(shù)及的一維密度函數(shù)。解：15. 設(shè)是獨(dú)立同分布隨機(jī)變量序列且，又設(shè)為實(shí)數(shù)列，且，試證明必均方收斂。證明：設(shè)，即均方收斂。第二章：1. 判斷下列函數(shù)能否成為平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)，若是的話，進(jìn)一步判斷所對(duì)應(yīng)的平穩(wěn)過程是否均方連續(xù)？均方可積？均方可微？解：平穩(wěn)隨機(jī)過程的自相關(guān)函數(shù)性質(zhì)： 圖見下頁(yè)，結(jié)果自理。2. 設(shè)為均方連續(xù)平穩(wěn)過程，相關(guān)函數(shù)與功率譜密度函數(shù)均為已知，取實(shí)常數(shù)，定義，試證明為均方連續(xù)平穩(wěn)過程，并求，。解：，均值為常數(shù)；相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)；為均方連續(xù)平穩(wěn)過程。3. 設(shè)和是平穩(wěn)且平穩(wěn)相依的隨機(jī)過程，均為已知。試求一階預(yù)報(bào)中的值，及二階預(yù)報(bào)中的及值，以使用目標(biāo)函數(shù)為最小，其中為常數(shù)。解：4. 設(shè)為正態(tài)過程，且，則它是平穩(wěn)馬爾科夫過程的充要條件是：，其中是標(biāo)準(zhǔn)中心自相關(guān)函數(shù)。備注：平穩(wěn)馬爾科夫過程性質(zhì)：老師未給出出處，知道就好。證明：必要性：“”充分性：“”；該過程必平穩(wěn)；該過程是平穩(wěn)馬爾科夫過程。5. 設(shè)為正態(tài)過程，且，則它是均方連續(xù)的平穩(wěn)馬爾科夫過程的充要條件是自相關(guān)函數(shù)滿足。證明：必要性：“”均方連續(xù)；連續(xù)，充分性：“”6. 設(shè)為零均值次均方可微的平穩(wěn)過程，試證對(duì)任意，階導(dǎo)數(shù)過程仍為平均過程。證明：，均值為常數(shù)；相關(guān)函數(shù)只與有關(guān)；的階導(dǎo)數(shù)過程仍為平均過程。7. 設(shè)為實(shí)平穩(wěn)過程，其功率譜密度函數(shù)為連續(xù)函數(shù)，試證對(duì)任意正整數(shù)及任意，矩陣是正定的。證明：即證矩陣是正定的。8. 設(shè)為實(shí)平穩(wěn)過程，其功率譜密度函數(shù)為已知且假定導(dǎo)數(shù)過程存在，試證明：（）（）均為平穩(wěn)過程，并求功率譜密度函數(shù)，其中為單位階躍函數(shù)。備注：卷積公式：證明：9. 設(shè)為零均值白噪聲過程，記（）解：（）證明：（）證明：10. 設(shè)為平穩(wěn)隨機(jī)過程，試證明在任意處可作臺(tái)勞展開：的充要條件是其自相關(guān)函數(shù)在處可作臺(tái)勞展開：。備注：證明：設(shè)充分性：“”即證必要性：“”11. 設(shè)平穩(wěn)過程的功率譜密度函數(shù)為試證必為解析過程，即對(duì)任意有證明：第三章1. 設(shè)單輸入、單輸出線性系統(tǒng)的傳遞函數(shù)為，單位脈沖響應(yīng)函數(shù)為即，系統(tǒng)輸入量為零均值實(shí)平穩(wěn)過程且自相關(guān)函數(shù)為已知，試證明：（）（）（）（）證明：（）（）（）（）3. 系統(tǒng)如圖所示其中，設(shè)系統(tǒng)輸入是零均值白噪聲且，試求系統(tǒng)輸出的均方誤差。解：4. 設(shè)為零均值實(shí)平穩(wěn)