高中數(shù)學第3章數(shù)系的擴充與復數(shù)的引入3.1.1實數(shù)系3.1.2復數(shù)的引入第2課時復數(shù)的幾何意義學案新人教B版.docx

第2課時復數(shù)的幾何意義學 習 目 標核 心 素 養(yǎng)1理解復平面、實軸、虛軸等概念2理解可以用復平面內(nèi)的點或以原點為起點的向量來表示復數(shù)以及它們之間的一一對應關系(重點)3理解復數(shù)模的概念，會求復數(shù)的模(難點)通過對復數(shù)的幾何意義的學習，提升學生的直觀想象素養(yǎng).一、復數(shù)的幾何意義及復數(shù)的模1復平面(1)定義：建立了直角坐標系來表示復數(shù)的平面叫做復平面；(2)實軸：在復平面內(nèi)，x軸叫做實軸，單位是1，實軸上的點都表示實數(shù)；(3)虛軸：在復平面內(nèi)，y軸叫做虛軸，單位是i，除原點外，虛軸上的點都表示純虛數(shù)；(4)原點：原點(0,0)表示實數(shù)0.2復數(shù)的幾何意義(1)復數(shù)zabi(a，bR)復平面內(nèi)的點Z(a，b)(2)復數(shù)zabi(a，bR) 平面向量.為方便起見，我們常把復數(shù)zabi說成點Z或說成向量，并且規(guī)定，相等的向量表示同一個復數(shù)3復數(shù)的模向量的長度叫做復數(shù)zabi的模，記作|z|或|abi|，且|abi|.二、共軛復數(shù)1定義如果兩個復數(shù)的實部相等，而虛部互為相反數(shù)，則這兩個復數(shù)叫做互為共軛復數(shù)2表示復數(shù)z的共軛復數(shù)用表示，即當zabi(a，bR)時，則abi.1判斷(正確的打“”，錯誤的打“”)(1)在復平面內(nèi)，對應于實數(shù)的點都在實軸上()(2)復數(shù)的模一定是正實數(shù)()(3)復數(shù)z1z2的充要條件是|z1|z2|.()解析(1)正確根據(jù)實軸的定義，x軸叫實軸，實軸上的點都表示實數(shù)，反過來，實數(shù)對應的點都在實軸上，如實軸上的點(2,0)表示實數(shù)2.(2)錯誤復數(shù)的模一定是實數(shù)但不一定是正實數(shù)，如：0也是復數(shù)，它的模為0不是正實數(shù)(3)錯誤兩個復數(shù)不一定能比較大小，但兩個復數(shù)的?？偰鼙容^大小答案(1)(2)(3)2復數(shù)zcos isin (i為虛數(shù)單位)其中，則復數(shù)z在復平面上所對應的點位于()A第一象限B第二象限C第三象限 D第四象限解析，cos 0且sin 0，該復數(shù)所對應的點位于復平面上第三象限答案C3若x2yi和3xi互為共軛復數(shù)，則實數(shù)x與y的值分別是_，_.解析x2yi和3xi互為共軛復數(shù)，解得答案11復數(shù)與復平面內(nèi)點的關系【例1】已知復數(shù)z(a21)(2a1)i，其中aR.當復數(shù)z在復平面內(nèi)對應的點滿足下列條件時，求a的值(或取值范圍)(1)在實軸上；(2)在第三象限；(3)在拋物線y24x上思路探究解答本題可先確定復數(shù)z的實部、虛部，再根據(jù)要求列出關于a的方程(組)或不等式(組)求解解復數(shù)z(a21)(2a1)i的實部為a21，虛部為2a1，在復平面內(nèi)對應的點為(a21,2a1)(1)若z對應的點在實軸上，則有2a10，解得a.(2)若z對應的點在第三象限，則有解得1a.(3)若z對應的點在拋物線y24x上，則有(2a1)24(a21)，即4a24a14a24，解得a.復數(shù)集與復平面內(nèi)所有的點組成的集合之間存在著一一對應關系.每一個復數(shù)都對應著一個有序實數(shù)對，復數(shù)的實部、虛部分別對應點的橫坐標、縱坐標，從而討論復數(shù)對應點在復平面內(nèi)的位置，關鍵是確定復數(shù)的實、虛部，由條件列出相應的方程(或不等式)組.1在復平面內(nèi)，若復數(shù)z(m2m2)(m23m2)i對應點：(1)在虛軸上；(2)在第二象限；(3)在直線yx上，分別求實數(shù)m的值或取值范圍解復數(shù)z(m2m2)(m23m2)i的實部為m2m2，虛部為m23m2.(1)由題意得m2m20，解得m2或m1.(2)由題意得1m1.(3)由已知得m2m2m23m2，m2.復數(shù)與向量的對應關系【例2】已知平面直角坐標系中O是原點，向量，對應的復數(shù)分別為23i，32i，求向量對應的復數(shù)思路探究解向量，對應的復數(shù)分別為23i，32i，根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應，可得向量(2，3)，(3,2)由向量減法的坐標運算可得向量(23，32)(5，5)，根據(jù)復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應，可得向量對應的復數(shù)是55i.1根據(jù)復數(shù)與平面向量的對應關系，可知當平面向量的起點為原點時，向量的終點對應的復數(shù)即為向量對應的復數(shù)反之，復數(shù)對應的點確定后，從原點引出的指向該點的有向線段，即為復數(shù)對應的向量2解決復數(shù)與平面向量一一對應的題目時，一般以復數(shù)與復平面內(nèi)的點一一對應為工具，實現(xiàn)復數(shù)、復平面內(nèi)的點、向量之間的轉化2在復平面內(nèi)，O是原點，向量對應的復數(shù)為2i.(1)如果點A關于實軸的對稱點為點B，求向量對應的復數(shù)；(2)如果(1)中的點B關于虛軸的對稱點為點C，求點C對應的復數(shù)解(1)設向量對應的復數(shù)為z1x1y1i(x1，y1R)，則點B的坐標為(x1，y1)，由題意可知，點A的坐標為(2,1)根據(jù)對稱性可知：x12，y11，故z12i.(2)設點C對應的復數(shù)為z2x2y2i(x2，y2R)，則點C的坐標為(x2，y2)，由對稱性可知：x22，y21，故z22i.復數(shù)模的幾何意義及應用探究問題1若zC，則滿足|z|2的點Z的集合是什么圖形？提示因為|z|2，即|2，所以滿足|z|2的點Z的集合是以原點為圓心，2為半徑的圓，如圖所示2若zC，則滿足2|z|3的點Z的集合是什么圖形？提示不等式2|z|2的解集是圓|z|2外部所有的點組成的集合，不等式|z|3的解集是圓|z|3內(nèi)部所有的點組成的集合，這兩個集合的交集就是上述不等式組的解集因此，滿足條件2|z|3的點Z的集合是以原點為圓心、分別以2和3為半徑的兩個圓所夾的圓環(huán)，但不包括圓環(huán)的邊界，如圖所示【例3】已知復數(shù)z1i，z2i.(1)求|z1|與|z2|的值，并比較它們的大??；(2)設復平面內(nèi)，復數(shù)z滿足|z2|z|z1|，復數(shù)z對應的點Z的集合是什么？思路探究(1)利用復數(shù)模的定義來求解若zabi(a，bR)，則|z|.(2)先確定|z|的范圍，再確定點Z滿足的條件，從而確定點Z的圖形解(1)|z1|2.|z2|1.21，|z1|z2|.(2)由(1)知|z2|z|z1|，則1|z|2.因為不等式|z|1的解集是圓|z|1上和該圓外部所有點的集合，不等式|z|2的解集是圓|z|2上和該圓的內(nèi)部所有點組成的集合，所以滿足條件1|z|2的點Z的集合是以原點O為圓心，以1和2為半徑的兩圓所夾的圓環(huán)，且包括圓環(huán)的邊界1兩個復數(shù)不全為實數(shù)時不能比較大??；而任意兩個復數(shù)的模均可比較大小2復數(shù)模的意義是表示復數(shù)對應的點到原點的距離，這可以類比實數(shù)的絕對值，也可以類比以原點為起點的向量的模來加深理解3|z1z2|表示點Z1，Z2兩點間的距離，|z|r表示以原點為圓心，以r為半徑的圓3如果復數(shù)z1ai滿足條件|z|2，那么實數(shù)a的取值范圍是_解析由|z|2知，z在復平面內(nèi)對應的點在以原點為圓心，以2為半徑的圓內(nèi)(不包括邊界)，由z1ai知z對應的點在直線x1上，所以線段AB(除去端點)為動點Z的集合，由圖可知a.答案(， )1在復平面內(nèi)，若(0，5)，則對應的復數(shù)為()A0B5C5iD5解析對應的復數(shù)z05i5i.答案C2在復平面內(nèi)，復數(shù)zsin 2icos 2對應的點位于()A第一象限 B第二象限C第三象限 D第四象限解析20，cos 20.故zsin 2icos 2對應的點在第四象限答案D3已知復數(shù)z3i，則復數(shù)的模|z|是()A5