用放縮法證明不等式.doc

用放縮法證明不等式1、若是自然數(shù)，求證2、求證：3、若a, b, c, dr+，求證：4、當 n 2 時，求證：5. 設a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。6. 已知a、b、c不全為零，求證：7. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。8. 已知nn*，求。9. 已知且，求證：對 所有正整數(shù)n都成立。10. 已知函數(shù)，證明：對于且都有。11. 已知，求證：當時。12. 已知數(shù)列中，證明：13.已知數(shù)列中，求證：14. 已知，求證。15. 已知a，b，c為abc的三條邊，且有，當且時，求證：。16. 已知a，br，求證。用放縮法證明不等式參考答案對于分子分母均取正值的分式，常用的兩種放縮技巧：（）如果分子不變，分母縮?。ǚ帜溉詾檎龜?shù)），則分式的值放大；（）如果分子不變，分母放大，則分式的值縮小。1、若是自然數(shù)，求證證明： = =注意：實際上，我們在證明的過程中，已經(jīng)得到一個更強的結論，這恰恰在一定程度上體現(xiàn)了放縮法的基本思想。2、求證：證明：由（是大于2的自然數(shù)） 得 3、若a, b, c, dr+，求證：證：記m = a, b, c, dr+ 1 m 2 時，求證：證：n 2 n 2時, 所謂放縮法就是利用不等式的傳遞性，對照證題目標進行合情合理的放大和縮小的過程，在使用放縮法證題時要注意放和縮的“度”，否則就不能同向傳遞了，此法既可以單獨用來證明不等式，也可以是其他方法證題時的一個重要步驟。下面舉例談談運用放縮法證題的常見題型。一. “添舍”放縮通過對不等式的一邊進行添項或減項以達到解題目的，這是常規(guī)思路。5. 設a，b為不相等的兩正數(shù)，且a3b3a2b2，求證。證明：由題設得a2abb2ab，于是（ab）2a2abb2ab，又ab0，得ab1，又ab（ab）2，而（ab）2ababab（ab）2，即（ab）2ab，所以ab，故有1ab。6. 已知a、b、c不全為零，求證：證明：因為，同理，。所以二. 分式放縮一個分式若分子變大則分式值變大，若分母變大則分式值變小，一個真分式，分子、分母同時加上同一個正數(shù)則分式值變大，利用這些性質，可達到證題目的。7. 已知a、b、c為三角形的三邊，求證：。證明：由于a、b、c為正數(shù)，所以，所以，又a，b，c為三角形的邊，故b+ca，則為真分數(shù)，則，同理，故.綜合得。三. 裂項放縮若欲證不等式含有與自然數(shù)n有關的n項和，可采用數(shù)列中裂項求和等方法來解題。 8. 已知nn*，求。證明：因為，則，證畢。9. 已知且，求證：對所有正整數(shù)n都成立。證明：因為，所以，又，所以，綜合知結論成立。四. 公式放縮利用已知的公式或恒不等式，把欲證不等式變形后再放縮，可獲簡解。10. 已知函數(shù)，證明：對于且都有。證明：由題意知又因為且，所以只須證，又因為所以。11. 已知，求證：當時。證明：證畢。12. 已知數(shù)列中，證明：放縮一：點評：此種放縮為常規(guī)法，學生很容易想到，但需要保留前5項，從第6項開始放大，才能達到證題目的，這一點學生往往又想不到，或因意志力不堅強而放棄。需要保留前5項，說明放大的程度過大，能不能作一下調節(jié)？放縮二：點評：此種方法放大幅度較（一）小，更接近于原式，只需保留前2項，從第3項開始放大，能較容易想到，還能再進一步逼近原式？放縮三： 本題點評：隨著放縮程度的不同，前面需保留不動的項數(shù)也隨著發(fā)生變化，放縮程度越小，精確度越高，保留不動的項數(shù)就越少，運算越簡單，因此，用放縮法解題時，放縮后的式子要盡可能地接近原式，減小放縮度，以避免運算上的麻煩。13.已知數(shù)列中，求證：方法一： 方法二：點評：方法一用的是放縮法后用裂項法求和；方法二是通過放縮轉化為等比數(shù)列求和，從數(shù)值上看方法二較方法一最后結果的精確度高，但都沒超過要證明的結果3。五. 換元放縮對于不等式的某個部分進行換元，可顯露問題的本質，然后隨機進行放縮，可達解題目的。14. 已知，求證。證明：因為，所以可設，所以則，即。15. 已知a，b，c為abc的三條邊，且有，當且時，求證：。 證明：由于，可設a=csina，b=ccosa（a為銳角），因為，則當時，所以。六. 單調函數(shù)放縮根據(jù)題目特征，通過構造特殊的單調函數(shù)，利用其單調性質進行放縮求解。16.