基于MATLAB的賽程安排方案設(shè)計(jì).doc

摘要單循環(huán)賽是一種全面而公平的競賽機(jī)制，賽程安排的恰當(dāng)與否，在很大程度上影響比賽的結(jié)果。本文主要針對單循環(huán)賽的最優(yōu)賽程安排方案建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型，給出最優(yōu)賽程的安排方案。 對于問題一，通過直接拼湊的方法得出符合題目要求的關(guān)于5支隊(duì)伍的賽程安排：(A,B),(C,D),(A,E),(B,C),(D,E),(A,C),(B,D),(C,E),(A,D),(B,E)。對于問題二，則是通過參賽隊(duì)伍數(shù)與各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限之間的數(shù)量關(guān)系，列出相應(yīng)的不等式，解不等式得即為問題二的結(jié)果，并通過MATLAB軟件編程驗(yàn)證。針對問題三，我們建立了1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法模型，基于參賽隊(duì)數(shù)的奇偶性的算法差異，通過MATLAB軟件編程求出部分結(jié)果如下：參賽隊(duì)伍為8支時(shí)的賽程安排：(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,7),(6,8),(5,4), (2,3),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,3),(4,2), (8,5),(7,6),(1,2),(3,5),(4,6),(8,7).針對問題四，通過各間隔場次與平均相隔場次的偏差(整個(gè)賽程相隔場次數(shù)的最大偏差,球隊(duì)之間相隔場次的最大偏差)來度量各隊(duì)每兩場比賽相隔場次的“均勻性”，進(jìn)而衡量問題三所求賽程的優(yōu)劣。檢驗(yàn)結(jié)果：計(jì)算8支隊(duì)伍的賽程得,；計(jì)算9支隊(duì)伍的賽程得,。結(jié)果表明,問題三所得的兩個(gè)賽程都達(dá)到了、下界。關(guān)鍵詞：單循環(huán)賽；數(shù)學(xué)模型；MATLAB；逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法AbstractSingle round robin is a comprehensive and fair competition mechanism, and schedule an appropriate or not, to a great extent, affect the result of the game.This article mainly aims at the optimal schedule of the single round robin scheme to establish the corresponding Mathematical model of optimal schedule arrangement scheme is given.For question one, it is concluded that conform to the requirements of the subject by using the method of directly to piece together the team consists of about 5 schedule: (A, B), (C, D), (A, E), (B, C), (D, E), (A, C), (B, D), (C, E), (A, D), (B, E).For question two, it is through the Quantitative relationship between the number of the teams n and the upper limit r of every two games by all the teams,lists the corresponding inequalities ，inequality in to is the results of the question 2，then verify it by MATLAB software programming.For question three, we established the model no. 1 position fixed counterclockwise rotation method, based on the parity of the competing teams number difference algorithm, through the MATLAB software programming and the part results are as follows:Teams of eight schedule:(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,8),(7,4),(6,3),(5,2),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,2),(3,5),(4,6),(8,7).For question four,it is through the deviation between the every interval number and the average interval number (The whole Schedules interval number maximum deviationand interval number maximum deviation between the teams) measuring teams separated by session every two games uniformity,And then measuring the pros and cons of the schedule which worked out by the problem three.The inspection results：Computing 8 team consists of the schedule，,；Computing 9 team consists of the schedule，,.The results show that the two schedule which worked out by the problem three has reached and s lower bound.Keywords：Single round robin ;Mathematical model ;MATLAB; Counter clockwise rotation method目錄第一章 前言11.1數(shù)學(xué)建模介紹11.2 單循環(huán)賽介紹21.3 MATLAB的介紹21.4 本文研究內(nèi)容與章節(jié)安排3第二章 問題背景及重述52.1問題背景52.2問題重述5第三章 模型假設(shè)與符號說明73.1模型的假設(shè)73.2符號的說明7第四章 問題分析84.1對問題一的分析84.2對問題二的分析84.3對問題三的分析84.4對問題四的分析8第五章 模型建立與求解105.1問題一的模型建立與求解105.2問題二的模型建立與求解125.3問題三的模型建立與求解135.4問題四的模型建立與求解17第六章 模型的評價(jià)196.1模型的優(yōu)點(diǎn)196.2模型的缺點(diǎn)19第七章 模型的改進(jìn)與推廣207.1模型的改進(jìn)207.2模型的推廣20總結(jié)21致謝22參考文獻(xiàn)23附錄24第一章 前言1.1數(shù)學(xué)建模介紹數(shù)學(xué)模型（Mathematical Model）是一種模擬，通過用數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)公式、程序、圖形等對實(shí)際問題的抽象而又簡潔的刻劃，它或能解釋某些客觀現(xiàn)象，或能預(yù)測某些事物未來的發(fā)展規(guī)律，或能為控制某些事物的發(fā)展提供某種意義下的最優(yōu)策略。數(shù)學(xué)模型一般并非現(xiàn)實(shí)問題的直接闡述，它的建立既需要人們靈活巧妙地利用各種數(shù)學(xué)知識，又需要人們對現(xiàn)實(shí)問題深入細(xì)微的觀察和分析。從實(shí)際課題中抽象、提煉出數(shù)學(xué)模型的過程就稱為數(shù)學(xué)建模（Mathematical Modeling）。數(shù)學(xué)建模的過程主要分為以下幾步： 1）模型準(zhǔn)備。首先了解問題的實(shí)際背景，收集對象的各種信息，明確建模的目的及要求。要求符合數(shù)學(xué)理論，符合數(shù)學(xué)習(xí)慣，清晰準(zhǔn)確。 2）模型假設(shè)。為了利用數(shù)學(xué)方法，通常要根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模目的，對問題進(jìn)行必要的、合理的假設(shè)。 3）模型建立。在假設(shè)的基礎(chǔ)上，利用適當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻劃各變量常量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)（盡量用簡單的數(shù)學(xué)工具）。 4）模型求解。結(jié)合上一步所建立的模型以及所有獲取的數(shù)據(jù)資料參數(shù)做出計(jì)算（或近似計(jì)算）。 5）模型分析。對建模過程的思路進(jìn)行闡述，對所得的結(jié)果進(jìn)行分析，特別要注意當(dāng)數(shù)據(jù)變化時(shí)所得結(jié)果的穩(wěn)定性。 6）模型檢驗(yàn)。分析結(jié)果的實(shí)際意義，并與實(shí)際情形進(jìn)行比較，以此來驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和適用性。如果模型與實(shí)際吻合較差，則應(yīng)該修改、補(bǔ)充假設(shè)或重新建模，不斷完善。 7）模型應(yīng)用與推廣。所建立的模型必須經(jīng)過實(shí)際應(yīng)用的錘煉，在應(yīng)用中不斷的改進(jìn)與完善。模型的推廣就是在原有模型的基礎(chǔ)上，進(jìn)一步的對模型的應(yīng)用范圍進(jìn)行分析，結(jié)合實(shí)際需求將模型應(yīng)用到更多的領(lǐng)域中。不論是用數(shù)學(xué)方法在科技和生產(chǎn)領(lǐng)域解決哪類實(shí)際問題，還是與其它學(xué)科相結(jié)合形成交叉學(xué)科，首要的和關(guān)鍵的一步是建立研究對象的數(shù)學(xué)模型，并加以計(jì)算求解（通常借助計(jì)算機(jī)）。數(shù)學(xué)建模和計(jì)算機(jī)技術(shù)在知識經(jīng)濟(jì)時(shí)代的作用可謂是如虎添翼。1.2 單循環(huán)賽介紹 單循環(huán)賽制，是指在所有參賽隊(duì)伍之間都需要進(jìn)行一場對決，最后按各隊(duì)在競賽中的勝負(fù)場次、得分情況來名次排列。 單循環(huán)要求參賽隊(duì)數(shù)不太多，足夠的時(shí)間跨度容量才能采用。單循環(huán)是一種比較公平合理的比賽制度，主要體現(xiàn)在各參賽隊(duì)伍都有相遇比賽的機(jī)會(huì)。一般單循環(huán)賽通常采用的編排方法有三種： 1）固定輪轉(zhuǎn)編排。固定輪轉(zhuǎn)法也叫常規(guī)輪轉(zhuǎn)法。首先參賽隊(duì)數(shù)分為兩邊，然后以左邊第一號固定不動(dòng)，其余隊(duì)伍逆時(shí)針轉(zhuǎn)動(dòng)，逐一排出。固定輪轉(zhuǎn)編排是我國傳統(tǒng)的編排方法。 2）一般編排方法。采用“逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)方法”進(jìn)行編排，先把隊(duì)名以阿拉伯?dāng)?shù)字進(jìn)行編號代替。把隊(duì)數(shù)分成均等兩邊整體呈U型走向，兩邊需要對齊，如遇單數(shù)隊(duì)，用數(shù)字0補(bǔ)齊成為偶數(shù)。第一輪即定為U形相對隊(duì)伍進(jìn)行比賽。第二輪開始固定左上角1數(shù)字，其余數(shù)字均按逆時(shí)針方向移動(dòng)一個(gè)位置，即為第二輪比賽秩序，以后各輪比賽秩序以此類推。遇O隊(duì)數(shù)即輪空隊(duì)。 3）貝格爾編排法?！柏惛駹枴本幣欧ǎ˙eiger Arrangement）編排時(shí)與“逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法”一樣如果參賽隊(duì)為雙數(shù)時(shí)，把參賽隊(duì)數(shù)分兩邊，參賽隊(duì)為單數(shù)時(shí)，最后以“0”補(bǔ)齊為雙數(shù)，整體呈U型走向。第一輪也是為U形相對隊(duì)伍進(jìn)行比賽。第二輪將第一輪右上角的編號(“0”或最大的一個(gè)代號數(shù))移到左角上，三輪又移到右角上，以此類推。1.3 MATLAB的介紹 MATLAB是matrix&laboratory兩個(gè)詞的組合，意為矩陣工廠（矩陣實(shí)驗(yàn)室）。是由美國mathworks公司發(fā)布的主要面對科學(xué)計(jì)算、可視化以及交互式程序設(shè)計(jì)的高科技計(jì)算環(huán)境。它將數(shù)值分析、矩陣計(jì)算、科學(xué)數(shù)據(jù)可視化以及非線性動(dòng)態(tài)系統(tǒng)的建模和仿真等諸多強(qiáng)大功能集成在一個(gè)易于使用的視窗環(huán)境中，為科學(xué)研究、工程設(shè)計(jì)以及必須進(jìn)行有效數(shù)值計(jì)算的眾多科學(xué)領(lǐng)域提供了一種全面的解決方案，并在很大程度上擺脫了傳統(tǒng)非交互式程序設(shè)計(jì)語言（如C、Fortran）的編輯模式，代表了當(dāng)今國際科學(xué)計(jì)算軟件的先進(jìn)水平。 MATLAB和Maple、Mathematica并稱為三大數(shù)學(xué)軟件。它在數(shù)學(xué)類科技應(yīng)用軟件中在數(shù)值計(jì)算方面首屈一指。MATLAB可以進(jìn)行繪制函數(shù)、矩陣運(yùn)算和實(shí)現(xiàn)算法、數(shù)據(jù)、連接其他編程語言的程序、創(chuàng)建用戶界面等，主要應(yīng)用于工程計(jì)算、信號檢測、信號處理與通訊、控制設(shè)計(jì)、金融建模設(shè)計(jì)與分析、圖像處理等領(lǐng)域。 MATLAB的基本數(shù)據(jù)單位是矩陣，它的指令表達(dá)式與數(shù)學(xué)、工程中常用的形式十分相似，故用MATLAB來解算問題要比用FORTRAN、C等語言完成相同的事情簡捷得多，并且MATLAB也吸收了像Maple等軟件的優(yōu)點(diǎn)，使MATLAB成為一個(gè)強(qiáng)大的數(shù)學(xué)軟件。在新的版本中也加入了對C，C+，F(xiàn)ORTRAN，JAVA的支持，可以直接調(diào)用。用戶也可以將自己編寫的實(shí)用程序?qū)氲組ATLAB函數(shù)庫中方便自己以后調(diào)用，此外許多的MATLAB愛好者都編寫了一些經(jīng)典的程序，用戶直接進(jìn)行下載就可以用。 總的來說MATLAB具有以下幾個(gè)優(yōu)勢特點(diǎn)： 1）具有完備的圖形處理功能，實(shí)現(xiàn)計(jì)算結(jié)果和編程的可視化； 2）高效的數(shù)值計(jì)算及符號計(jì)算功能，能使用戶從繁雜的數(shù)學(xué)運(yùn)算分析中解脫出來； 3）應(yīng)用工具箱功能豐富（如通信工具、信號處理工具箱箱等），為用戶提供了大量方便實(shí)用的處理工具。 4）友好的用戶界面及接近數(shù)學(xué)表達(dá)式的自然化語言，使學(xué)者易于學(xué)習(xí)和掌握。1.4 本文研究內(nèi)容與章節(jié)安排本文主要是通過建立1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)模型，對一般單循環(huán)賽程的安排問題給出了一個(gè)較公平合理，又方便快捷易于操作的解決方法。第1章 前言，主要是對數(shù)學(xué)建模、單循環(huán)賽、MATLAB軟件的一些基本介紹，其中包括數(shù)學(xué)建模的本質(zhì)與數(shù)學(xué)建模的過程的簡單介紹；單循環(huán)賽與單循環(huán)賽常用編排方法的介紹；以及MATLAB軟件的一些基本內(nèi)容與MATLAB的幾個(gè)優(yōu)勢特點(diǎn)的介紹。第二章問題背景及重述，主要是介紹問題產(chǎn)生的背景以及對我們所要解決的具體問題的重述。第三章模型假設(shè)與符號說明，模型假設(shè)主要是提出一些客觀的問題并排除，為模型的建立提供一個(gè)比較理想環(huán)境。符號說明是對本文中所用到的一些符號進(jìn)行說明便于閱讀者對本文內(nèi)容的理解。第四章問題分析，逐個(gè)對題目問題進(jìn)行分析，確定結(jié)題的思路與方法。第五章模型建立與求解，根據(jù)問題分析所得的方案，對各個(gè)問題科學(xué)的進(jìn)行詳盡的建模與求解，并通過MATLAB編程驗(yàn)證其結(jié)果的準(zhǔn)確性。第六章模型的評價(jià)，對建立的模型進(jìn)行客觀的評價(jià)，指出模型的優(yōu)點(diǎn)與缺點(diǎn)。第七章模型的改進(jìn)與推廣，模型的改進(jìn)就是結(jié)合實(shí)際賽程安排的必須注意因素，對模型的缺點(diǎn)進(jìn)行科學(xué)的修改。模型的推廣就是基于本類問題指出本次建立的模型的可使用性，講模型推到更多的領(lǐng)域上去。26第二章 問題背景及重述2.1問題背景當(dāng)今社會(huì)，隨著經(jīng)濟(jì)的增長和科學(xué)技術(shù)的發(fā)展，人們的生活水平不斷的提高，體育競賽也在日趨緊張的現(xiàn)代生活中被人們提到了越來越重要的位置。北京奧運(yùn)會(huì)的成功更加提升了體育在人們生活中的份量，體育活動(dòng)在生活中起著舉足輕重的作用。而這些體育運(yùn)動(dòng)中，公平性又顯得尤其重要。特別是在對抗性強(qiáng)的單循環(huán)比賽中，賽程安排的不同，對比賽結(jié)果響很大。本文主要著手于最優(yōu)賽程安排方案，盡量給出賽程安排使得對每支球隊(duì)來說都很公平。2.2問題重述假設(shè)你所在的年級有5個(gè)班，每班一支球隊(duì)在同一塊場地上進(jìn)行單循環(huán)賽（所謂單循環(huán)賽是所有參加比賽的隊(duì)均能相遇一次，最后按各隊(duì)在全部比賽中的積分、得失分率排列名次）要進(jìn)行10場比賽。 如何安排賽程使對各隊(duì)來說都盡量公平呢？下面是隨便安排的一個(gè)賽程: 記5支球隊(duì)為A、B、C、D、E，在下表左半部分的右上三角的10個(gè)空格中, 隨手填上1、2、3.10，就得到一個(gè)賽程, 即第1場A對B, 第2場B對C，.，第10場C對E。為方便起見將這些數(shù)字沿對角線對稱地填入左下三角。 這個(gè)賽程的公平性如何呢, 不妨只看看各隊(duì)每兩場比賽中間得到的休整時(shí)間是否均等。 表的右半部分是各隊(duì)每兩場比賽間相隔的場次數(shù), 顯然這個(gè)賽程對A, 有利E, 對D則不公平。A B C D E每兩場比場間相隔場次數(shù)A 1 9 3 6 1，2，2B 1 2 5 80，2，2C 9 2 7 104，1，0D 3 5 7 40，0，1E 6 8 10 4 1，1，1表一從上面的例子出發(fā)討論以下問題:問題一：對于5支球隊(duì)的比賽, 給出一個(gè)各隊(duì)每兩場比賽中間都至少相隔一場的賽程。問題二：當(dāng)支球隊(duì)比賽時(shí), 各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限是多少。問題三：在達(dá)到2) 的上限的條件下, 給出,的賽程, 并說明它們的編制過程。問題四：除了每兩場比賽間相隔場次數(shù)這一指標(biāo)外, 你還能給出哪些指標(biāo)來衡量一個(gè)賽程的優(yōu)劣, 并說明3) 中給出的賽程達(dá)到這些指標(biāo)的程度。第三章 模型假設(shè)與符號說明3.1模型的假設(shè)1 假設(shè)任意一場比賽都是在條件完全相同的球場上進(jìn)行的。2 假設(shè)相鄰兩場比賽間隔的時(shí)間是相同的。3假設(shè)比賽不會(huì)因?yàn)樘鞖?、人為等原因而取消?假設(shè)在相同休整時(shí)間內(nèi)運(yùn)動(dòng)員的體力的恢復(fù)能力相同。 5假設(shè)抽簽決定各支隊(duì)伍的編號，以保證編號的隨機(jī)性。6假設(shè)每場比賽的勝負(fù)事件是獨(dú)立的。 7假設(shè)每場比賽中隊(duì)員的體力消耗均等。8舉辦方、裁判不存在偏向于某支參賽隊(duì)的現(xiàn)象。3.2符號的說明參賽隊(duì)伍數(shù)各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限平均相隔場次數(shù)比賽間隔矩陣記第i隊(duì)第j場間隔次數(shù)為全賽程相隔場次數(shù)的最大偏差球隊(duì)之間相隔場次的最大偏差第四章 問題分析4.1對問題一的分析針對題目給出的5支參賽隊(duì)伍的比賽，假設(shè)五支球隊(duì)在同一塊場地上進(jìn)行單循環(huán)賽，比賽的總場次數(shù)為。第一場出場隊(duì)伍組合有種可能，要滿足各隊(duì)每兩場比賽中間都至少相隔一場比賽這個(gè)條件，所以第二場比賽共有種可能，而第三場、第四場、第五場比賽都只有2種可能，之后的5場比賽都是固定的了，所以共有種可能。有多種方法都能給出一個(gè)符合要求的賽程安排，例如：直接拼湊，逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法，或者貝格爾編排法。4.2對問題二的分析問題二要求求出當(dāng)支球隊(duì)比賽時(shí), 各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限是多少。這里對“各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限”的理解為在維持比賽對各隊(duì)相對公平（即各隊(duì)每場比賽之間獲得的休整時(shí)間以及獲得的總休息時(shí)間相對平均）的條件下，各隊(duì)每兩場比賽之間相隔比賽場數(shù)的最小值。設(shè)當(dāng)支球隊(duì)參加比賽時(shí)，各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為r。設(shè)賽程中某場比賽的參賽隊(duì)伍為a,b兩隊(duì)，a隊(duì)的下一場比賽是和e隊(duì)（eb），要使各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為，則在除上述a,b,e三隊(duì)之外還有支隊(duì)伍參加比賽。由此列出不等式：，解不等式得出的取值范圍，即為所求間隔場次數(shù)與上限的關(guān)系。4.3對問題三的分析在達(dá)到問題二條件的前提下，我們通過建立1號位固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)模型來求出,時(shí)的賽程安排。將參賽隊(duì)伍按照編號進(jìn)行排列，固定1號隊(duì)伍，其余隊(duì)伍按照一定的要求進(jìn)行逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)，輪轉(zhuǎn)次數(shù)為次。用編程可以得到對應(yīng)的賽程安排。4.4對問題四的分析 一般的單循環(huán)賽程想要達(dá)到公平的標(biāo)準(zhǔn)的，只考慮每兩場比賽間相隔場次數(shù)這一指標(biāo)是不現(xiàn)實(shí)的，所以實(shí)際運(yùn)用中的單循環(huán)賽程安排時(shí)還必須參考更多的衡量賽程的優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)。對于問題四，我們通過檢驗(yàn)平均相隔場次、相隔場次數(shù)的最大偏差，兩個(gè)指標(biāo)來衡量所求賽程的公平性。通過表七、表八的數(shù)據(jù)可以計(jì)算出n=8，n=9時(shí)所得賽程的平均相隔場次數(shù)，再由各間隔場次與平均相隔場次數(shù)的偏差來度量賽程中各隊(duì)每兩場比賽相隔場次的“均勻性”可。第五章 模型建立與求解5.1問題一的模型建立與求解問題一需要我們給出一個(gè)5支球隊(duì)參加比賽，各隊(duì)每兩場比賽中間都至少相隔一場的賽程。根據(jù)對實(shí)際情況的分析可知，進(jìn)行單循環(huán)賽時(shí)各隊(duì)每兩場比賽中間間隔的時(shí)間對應(yīng)相應(yīng)得到的休整時(shí)間是否均等，對于球賽的公平性起著決定性的作用。根據(jù)題目要求，我們可以繪制出A、B、C、D、E五支隊(duì)伍間的比賽關(guān)系圖，如圖一所示。圖一第一場出場隊(duì)伍組合有種可能（即AB、AC、AD、AE、BC、BD、BE、CD、CE、DE）分別對應(yīng)了圖一中圖形的各邊。假設(shè)AB兩隊(duì)先進(jìn)行第一場比賽（AB邊標(biāo)注為1），要滿足各隊(duì)每兩場比賽中間都至少相隔一場則第二場比賽只能在C、E、D三支隊(duì)伍中進(jìn)行（即C、E、D三個(gè)點(diǎn)之間的邊CD、CE、DE）有種可能，假設(shè)由CD進(jìn)行第二場比賽（CD邊標(biāo)注為2）。那么第三場比賽則是在A、B、E之間進(jìn)行，要排除掉A與B已經(jīng)比賽過則有2種可能（即AE、BE）。假設(shè)由AE進(jìn)行（AE邊標(biāo)注為3）。第四場比賽只能在BC、BD中選擇，假設(shè)由BC兩隊(duì)進(jìn)行（BC邊標(biāo)注為4），第五場比賽在AD、DE中選擇，假設(shè)由DE隊(duì)進(jìn)行（DE邊標(biāo)注為5）。之后的5場比賽則順序就固定了依次為AC、BD、CE、AD、BE（依次標(biāo)記為6、7、8、9、10）。比賽順序如圖二所示。圖二通過作圖標(biāo)記法得出的賽程安排中每只球隊(duì)的每兩場比賽間的間隔場數(shù)如表一所示。ABCDE每兩場比賽間相隔場次數(shù)A016931，2，2B1047102，2，2C640281，1，1D972052，1，1E3108501，2，1表一由表一可知5支參賽隊(duì)中，各隊(duì)每兩場比賽間隔比賽場數(shù)最小值為1場，達(dá)到問題一的要求。具體5支參賽隊(duì)伍賽程安排如下：(A,B),(C,D),(A,E),(B,C),(D,E),(A,C),(B,D),(C,E),(A,D),(B,E)上述的方法是用了簡單拼湊的辦法。5.2問題二的模型建立與求解 設(shè)當(dāng)支球隊(duì)參加比賽時(shí)，各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為。設(shè)賽程中某場比賽的參賽隊(duì)伍為a,b兩隊(duì)，a隊(duì)的下一場比賽是和e隊(duì)（eb），要使各隊(duì)每兩場比賽中間相隔的場次數(shù)的上限為，則在除上述a,b,e三隊(duì)之外還有支隊(duì)伍參加比賽。由此建立不等式： （“”為下取整）根據(jù)這個(gè)公式可以求出參賽隊(duì)伍數(shù)與相隔的場次數(shù)的上限關(guān)系表（時(shí)不參與考慮），如表二。參賽隊(duì)伍數(shù)與相隔的場次數(shù)的上限關(guān)系表參賽隊(duì)數(shù)56789104950上限1122332323表二 我們分別從奇數(shù)隊(duì)與偶數(shù)隊(duì)兩種情況通過MATLAB編程（見附錄）來驗(yàn)證上述所得的結(jié)果：當(dāng)為奇數(shù)時(shí)的參賽隊(duì)伍數(shù)與上限關(guān)系表參賽對數(shù)57949上限12323表三當(dāng)為偶數(shù)時(shí)的參賽隊(duì)伍數(shù)與上限關(guān)系表參賽對數(shù)681050上限12323表四可見表三、表四的結(jié)果與表二一致可以驗(yàn)證所建立模型的準(zhǔn)確性。5.3問題三的模型建立與求解在達(dá)到問題二的上限的條件下，我們建立1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)模型來求解當(dāng),時(shí)的賽程安排。所謂1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法，是一般現(xiàn)實(shí)中單循環(huán)競賽編排常采用的數(shù)學(xué)方法，其具體編排方法因參賽隊(duì)數(shù)的奇偶性而有所差異。先設(shè)參賽隊(duì)數(shù)為，我們從當(dāng)為偶數(shù)時(shí)，為奇數(shù)時(shí)分別進(jìn)行建模。首先我們將參加比賽的球隊(duì)由編號分別為字母A、B、C、D、E分別用阿拉伯?dāng)?shù)字1、2、3、4、5、來代替表示。1） 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，輪轉(zhuǎn)次數(shù)為次。首先固定第1隊(duì)， 按左邊由上而下遞增為：1、2、3、 、，右邊由上而下遞增為：、，把隊(duì)數(shù)分成均等兩邊。第一輪只要在相對隊(duì)伍之間劃橫線,即為第一輪比賽安排。第二輪開始固定左上角數(shù)字1,其余數(shù)字均按逆時(shí)針方向移動(dòng)一個(gè)位置,即為第二輪比賽安排,以后各輪比賽安排以此類推。具體算法描述如下圖：圖三 根據(jù)此算法，將帶入算法中可以得出8支隊(duì)伍單循環(huán)賽比賽場次順序輪轉(zhuǎn)表：第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪第6輪第7輪15161718141312265768748342353728546372854648342352657687表五 2）當(dāng)為奇數(shù)時(shí)，輪轉(zhuǎn)次數(shù)為次。將參賽隊(duì)分為編號為奇數(shù)與偶數(shù)的兩邊，固定第1隊(duì)，左邊奇數(shù)隊(duì)由上而下遞增為：1、3、5、7、，右邊偶數(shù)隊(duì)由上而下遞增為：2、4、6、8、，由于偶數(shù)隊(duì)比奇數(shù)隊(duì)少一位，故用0補(bǔ)齊，這樣便分成了均等的兩邊。第一輪同偶數(shù)時(shí)輪轉(zhuǎn)一樣只要在相對隊(duì)伍之間劃橫線,即為第一輪比賽安排（與0相對的隊(duì)伍為輪空）。第二輪開始固定左上角1數(shù)字,左邊數(shù)字逆時(shí)針移動(dòng)一個(gè)位置，右邊第一位逆時(shí)針移動(dòng)一個(gè)位置，將末尾的數(shù)字0上提到右邊第一位的位置，即為第二輪的比賽安排。第三輪再將0的位置放到右邊最末尾，然后右邊的其余數(shù)字逆時(shí)針移動(dòng)一位即為第三輪的比賽安排，以后各輪以此類推，具體算法描述如下圖：圖四 根據(jù)此算法，將帶入算法中可以得出9支隊(duì)伍單循環(huán)賽比賽場次順序輪轉(zhuǎn)表：第1輪第2輪第3輪第4輪第5輪第6輪第7輪第8輪12101410161018103424264648686989563638282949476778585939372725459079705750353023表六由表五可得出8支參賽隊(duì)伍各隊(duì)每兩場比賽間隔場次數(shù)表如下：12345678每兩場比賽相隔場次數(shù)總數(shù)10252117159133、3、3、3、3、318225012221621974、4、4、3、2、219321120826153182、4、4、4、3、219417228011271442、2、4、4、4、319511626110206234、4、3、2、2、217652152720024104、3、2、2、2、41779193146240283、2、2、2、4、417813718423102802、2、2、4、4、418表七 由上表可知8支參賽隊(duì)中，各隊(duì)每兩場比賽間隔比賽場數(shù)最小值為2場，達(dá)到問題二的上限的條件。具體8支參賽隊(duì)伍賽程安排如下：(1,5),(2,6),(3,7),(4,8),(1,6),(5,7),(2,8),(3,4),(1,7),(6,8),(5,4),(2,3),(1,8),(7,4),(6,3), (5,2),(1,4),(8,3),(7,2),(6,5),(1,3),(4,2),(8,5),(7,6),(1,2),(3,5),(4,6),(8,7).根據(jù)表六，由表中奇數(shù)輪末尾遇0輪空隊(duì)伍與相鄰的偶數(shù)輪第一隊(duì)遇0輪空的兩支隊(duì)搭配比賽作為一場比賽。例如第一輪末尾第五場第九隊(duì)輪空，第二輪首位第一場第一隊(duì)輪空，則第五場比賽隊(duì)伍組合為第九隊(duì)和第一隊(duì)?？傻贸?支參賽隊(duì)伍各隊(duì)每兩場比賽間隔場次數(shù)表如下：123456789每兩場比賽相隔場次數(shù)總數(shù)10132102319142853、4、3、4、3、4、32421036631112616214、4、4、4、4、4、42833236022772212174、4、4、4、4、4、32741062035153020253、3、4、4、4、4、42652331273503188134、4、4、4、3、3、32561911715303424293、3、3、3、4、4、42471426223018340494、4、3、3、3、3、32382816122082440333、3、3、3、3、3、42295211725132993303、3、3、3、3、3、321表八 由上表可知9支參賽隊(duì)中，各隊(duì)每兩場比賽間隔比賽場數(shù)最小值為3場，達(dá)到問題二的上限的條件。具體9支參賽隊(duì)伍賽程安排如下：(1,2),(3,4),(5,6),(7,8),(1,9),(2,4),(3,6),(5,8),(7,9),(1,4),(2,6),(3,8),(5,9),(1,7),(4,6), (8,2),(9,3),(5,7),(1,6),(4,8),(2,9),(3,7),(1,5),(6,8),(4,9),(2,7),(3,5),(1,8),(6,9),(4,7), (2,5),(1,3),(8,9),(6,7),(4,5),(2,3). 通過驗(yàn)證我們所采用的1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法的兩種模型所求出的,賽程都是滿足條件的，并且這兩種模型都可以擴(kuò)充到為任意偶數(shù)或是奇數(shù)的情況。5.4問題四的模型建立與求解 一般的單循環(huán)賽程想要達(dá)到公平的標(biāo)準(zhǔn)的，只考慮每兩場比賽間相隔場次數(shù)這一指標(biāo)是不現(xiàn)實(shí)的，所以實(shí)際運(yùn)用中的單循環(huán)賽程安排時(shí)還必須參考更多的衡量賽程的優(yōu)劣的標(biāo)準(zhǔn)，我們只列出以下4點(diǎn)：1、 平均相隔場次；2、 相隔場次數(shù)的最大偏差；3、 每天比賽幾場；4、 所對應(yīng)比賽隊(duì)的強(qiáng)弱；以上的標(biāo)準(zhǔn)中由于第三點(diǎn)、第四點(diǎn)受客觀因素影響較大，在這里我們不進(jìn)行處理。對于平均相隔場次，列出,時(shí)各隊(duì)每兩場比賽間隔的如下矩陣：,=；時(shí)= 記第i隊(duì)第j場間隔次數(shù)為, i=1,2,；j=1,2,則平均相隔場次數(shù)為：，為平均相隔場次數(shù)，對于整個(gè)賽程來說，越大各隊(duì)在各場比賽間休整的時(shí)間就越多，對于各參賽隊(duì)來說越好?？墒菍τ谡麄€(gè)比賽來說，時(shí)間跨度就會(huì)真大很多。 通過各間隔場次與平均相隔場次的偏差來度量各隊(duì)每兩場比賽相隔場次的“均勻性”，定義整個(gè)賽程相隔場次數(shù)的最大偏差： ；球隊(duì)之間相隔場次的最大偏差： ；、越小，偏差越小那么賽程的公平性越高。將的賽程代入式,得,；的賽程代入式,得,。結(jié)果表明,，的賽程都達(dá)到了、下界。第六章 模型的評價(jià)6.1模型的優(yōu)點(diǎn)1、賽程的編制能夠適用于任意數(shù)量的參賽隊(duì)伍。2、準(zhǔn)確的使用了表格和圖形，使數(shù)據(jù)的體現(xiàn)和意思的表達(dá)更加清晰。3、用MATLAB編程計(jì)算出的結(jié)果準(zhǔn)確性高，便于對推測出的結(jié)果的肯定。4、1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法所求得的結(jié)果達(dá)到各隊(duì)每兩場比賽間隔場數(shù)的上限使賽程盡可能公平。5、1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法簡潔易懂，操作簡單，配合MATLAB編程，可以輕松計(jì)算出參賽數(shù)較多時(shí)的結(jié)果。6、1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法所制定出的比賽賽程搭配合適，對于各個(gè)參賽隊(duì)伍都比較公平。6.2模型的缺點(diǎn)1、直接拼湊的方法只適用于參賽隊(duì)伍較少的情況下，不具有普遍性。2、對于參賽隊(duì)伍比較多的情況，如果完全按照模型給出的編排結(jié)果，那么整個(gè)賽程的時(shí)間跨度就會(huì)非常的長，這不夠合理。3、當(dāng)參賽球隊(duì)數(shù)大于7時(shí),在所建立的賽程優(yōu)劣指標(biāo)下我們無法證明在由“1號位置固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法”模型所求出的賽程是最優(yōu)的。第七章 模型的改進(jìn)與推廣7.1模型的改進(jìn) 由于本次數(shù)學(xué)建模為了有一個(gè)穩(wěn)定的建模環(huán)境，忽略的很多客觀因素，而一般的賽程安排要考慮的因素是非常多的，例如：天氣的影響，參賽隊(duì)伍實(shí)力的因素，總賽程的時(shí)間跨度等，都是非常重要的參考因素。所以本次建模所得到的結(jié)果實(shí)際上實(shí)用性并不高，只能作為實(shí)際賽程安排的一個(gè)參考。因此，我們的模型還需要進(jìn)一步的改進(jìn)，改進(jìn)的方向是公平性與實(shí)用性兼?zhèn)?，提高整個(gè)比賽的競爭性與可觀賞性。7.2模型的推廣 比賽賽程安排問題是體育競技的常見問題，而賽程安排的公平與否對比賽的結(jié)果有著很大程度的影響。我們采用的1號位固定逆時(shí)針輪轉(zhuǎn)法是在我國常用的單循環(huán)賽賽程安排的基礎(chǔ)上進(jìn)行了一定的改動(dòng)，尤其是奇數(shù)隊(duì)的模型更是避免了一些常用輪轉(zhuǎn)法上出現(xiàn)的一些不公平的地方。本次論文給出的模型可以適用于多種單循環(huán)比賽，例如：排球、乒乓球、籃球、羽毛球等。在實(shí)際的運(yùn)用當(dāng)中，比照模型給出的結(jié)果，再適當(dāng)?shù)倪M(jìn)行人為的調(diào)控，將各隊(duì)伍的實(shí)力等因素加以考慮，把比賽中最精彩的、最重要的幾場比賽排在適當(dāng)?shù)奈恢?，則比賽對觀眾的吸引力會(huì)進(jìn)一步提高。不單是賽程的安排可以利用本模型，本次建立的模型在適當(dāng)修改的基礎(chǔ)上，完全可以用于解決其他的安排問題上去，例如：一對一見面會(huì)議的日程安排等。總結(jié) 通過這次的畢業(yè)設(shè)計(jì)，使我在專業(yè)技能分析、專業(yè)知識掌握、和解決問題能力上得到了一次全面系統(tǒng)的提升。使我對數(shù)學(xué)建?；痉椒?、數(shù)學(xué)建模的運(yùn)用等發(fā)面，以及在MATLAB軟件的運(yùn)用方面都能向前邁了一大步。本次設(shè)計(jì)的完成過程是艱辛的，不過收獲卻是很大的。 經(jīng)過這一段時(shí)間的努力，不僅使我學(xué)到了新的知識，對曾經(jīng)學(xué)習(xí)到的專業(yè)知識也有了新的認(rèn)識。由于自身能力問題，起初在畢業(yè)設(shè)計(jì)中我碰到了很多的問題，通過與周圍同學(xué)交流，查閱各種相關(guān)資料、書籍以及在指導(dǎo)老師的指點(diǎn)下，這些問題都逐步迎刃而解。在此過程中我體會(huì)最深的就是團(tuán)隊(duì)合作的重要性，在團(tuán)隊(duì)合作的工程中不僅受益匪淺而且樂趣十足，相信在以后的工作學(xué)習(xí)中也大有意義。 當(dāng)然，在此次課程設(shè)計(jì)中，我自身的很多不足之處，也涌現(xiàn)出來，比如數(shù)學(xué)建模博大精深，很多的方法與技巧我都沒能掌握，即便是對于本篇文章所完成的結(jié)果，也不能驗(yàn)證其是否為最優(yōu)結(jié)果，這些不足之處在以后的學(xué)習(xí)中，我會(huì)不斷彌補(bǔ)與改正，進(jìn)一步的的完善自己的專業(yè)知識。致謝 首先我必須誠摯的感謝我們畢業(yè)設(shè)計(jì)的指導(dǎo)老師，冷禮輝老師，以及那些在我遇到困難時(shí)對我伸出援手的同學(xué)。如果沒有冷老師悉心的教導(dǎo)和同學(xué)們熱情的幫助，我可能無法順利的完成本次論文，在此，向他們表示由衷的感謝。在這段時(shí)間里，老師和同學(xué)讓我學(xué)到更多關(guān)于數(shù)學(xué)建模的知