用等價(jià)無(wú)窮小大患求極限的誤區(qū)及一點(diǎn)補(bǔ)充.doc

用等價(jià)無(wú)窮小大患求極限的誤區(qū)及一點(diǎn)補(bǔ)充 摘要：等價(jià)無(wú)窮小代換方法是求極限中最常用的方法之一，利用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限可以簡(jiǎn)化計(jì)算。分析了學(xué)生用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限的常見(jiàn)錯(cuò)誤；探討了極限式中的和差項(xiàng)用等價(jià)無(wú)窮小代換的條件，并給出了相應(yīng)的實(shí)例。 關(guān)鍵詞：等價(jià)無(wú)窮?。淮鷵Q；極限等價(jià)無(wú)窮小代換方法是求極限中最常用的方法之一，恰當(dāng)?shù)剡x擇要代換的無(wú)窮小，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，因而也倍受青睞，但學(xué)生在應(yīng)用時(shí)玩玩會(huì)出現(xiàn)一些常見(jiàn)的錯(cuò)誤，下面就錯(cuò)誤的根源做了相應(yīng)的理論分析，并對(duì)等價(jià)無(wú)窮小代換定理做了一些補(bǔ)充，解決了困擾學(xué)生的問(wèn)題，對(duì)學(xué)生掌握等價(jià)無(wú)窮小代換方法有著重要意義。為了敘述方便，在以下討論中，極限過(guò)程都指同一個(gè)變量的變化過(guò)程。若=1，則稱與是該過(guò)程中的等價(jià)無(wú)窮小，記作。關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小代換，最常用的定理是：定理1 設(shè)，且存在，則存在，且= 。推論1 設(shè)，且存在，則存在，且= 。推論2 設(shè)，且存在，則存在，且=。有上述定理及其推論可知，等價(jià)無(wú)窮小的代換，是分子或分母的整體代換，或分子、分母的分因式代換，是對(duì)極限式中的積商因子的代換，這是很多教材中都會(huì)提到的。學(xué)生在利用等價(jià)無(wú)窮小代換計(jì)算極限時(shí)往往容易出錯(cuò)，究其原因，是弄不清楚代換的原理及對(duì)象，另外就是對(duì)無(wú)窮小的等價(jià)概念不清楚。見(jiàn)下例。例1：錯(cuò)解：當(dāng)時(shí)，故有以下幾種錯(cuò)誤的結(jié)果;(1) = =0；(2) =；（3）=。分析：以上錯(cuò)誤在于對(duì)極限式中的無(wú)窮小進(jìn)行了無(wú)條件的代換，若要依據(jù)定理1及其推論來(lái)解，必須是對(duì)分子或分母進(jìn)行整體代換，或者通過(guò)恒等變形后對(duì)其中的積商因子進(jìn)行代換。如下：正解：當(dāng)時(shí)，=。例2： 解：=分析：此法是利用洛必達(dá)法則求解型不定式；有學(xué)生用等價(jià)無(wú)窮小代換來(lái)解，得：當(dāng)時(shí)，故=，于是錯(cuò)誤的得出結(jié)論：極限式中的和差項(xiàng)也可無(wú)條件的用等價(jià)無(wú)窮小換來(lái)求解極限。關(guān)于和差項(xiàng)能否用等價(jià)無(wú)窮小代換求極限，很多教材上都沒(méi)有涉及到，只是強(qiáng)調(diào)加減情況下不能隨意使用。這就會(huì)使學(xué)生產(chǎn)生困惑，例2中的和差項(xiàng)為什么進(jìn)行等價(jià)無(wú)窮小的代換后結(jié)果正確，不知道問(wèn)題出在哪里。為解決學(xué)生的困惑，下面就和差項(xiàng)的等價(jià)無(wú)窮小代換做一些補(bǔ)充。定理2 設(shè)，且，若，則；若，則。證明：若，=因?yàn)椋?，又定?，所以=1，即；同理，若，=1，即。推論 設(shè)，且，為常數(shù)，則當(dāng)存在時(shí)，有=。證明：=；=由定理1及其推論得，=，所以=，=，所以=。利用定理2及其推論，上述例2可解如下：當(dāng)時(shí)，故=，所以=上例說(shuō)明：和差項(xiàng)并不是絕對(duì)不能做等價(jià)無(wú)窮小代換，只要注意驗(yàn)證定理?xiàng)l件滿足即可。例3：此題若用洛必達(dá)法則求，需連續(xù)使用兩次才能求解出結(jié)果，花費(fèi)時(shí)間長(zhǎng)，而且求導(dǎo)過(guò)程中極易出錯(cuò)；若用等價(jià)無(wú)窮小代換求解，過(guò)程簡(jiǎn)單明了，解如下：當(dāng)時(shí)，故=；=；所以=總而言之，恰當(dāng)?shù)厥褂玫葍r(jià)無(wú)窮小代換求極限，可以簡(jiǎn)化計(jì)算，但是代換前要驗(yàn)證定理滿足的條件。參考文獻(xiàn)：1 同濟(jì)大學(xué)應(yīng)用數(shù)學(xué)系，高等數(shù)學(xué)M.第五版.北京高等教育出版社,2002,582 魏國(guó)祥,張隆輝,成明山.關(guān)于等價(jià)無(wú)窮小替換求極限方法的推廣J.四川教育學(xué)院,200