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高中數(shù)列解題方法及綜合學(xué)校 慈濟(jì)中學(xué)姓名 晉春 高考遞推數(shù)列分類類型1：滲透三角函數(shù)周期性數(shù)列與三角函數(shù)的結(jié)合是一類創(chuàng)新試題，利用三角函數(shù)的周期性體現(xiàn)數(shù)列的變化，利用三角不等式進(jìn)行放縮是證明數(shù)列不等式的常見(jiàn)方法。例1（2008年湖南卷，18，滿分12分）數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，求a3，a4,并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；本題分為兩種情況，采取非常規(guī)的遞推數(shù)列求通項(xiàng)的方法，利用三角函數(shù)的誘導(dǎo)公式尋找遞推關(guān)系，體現(xiàn)三角函數(shù)的周期性，進(jìn)而求出該數(shù)列的通項(xiàng)為一分段數(shù)列。例2（2009年江西，文，21，滿分12分）數(shù)列an的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為（1）求sn；（2）令，求數(shù)列bn的前n項(xiàng)和tn例3（2009年江西，理8，5分）數(shù)列an的通項(xiàng)，其前n項(xiàng)和為sn，則sn為（ ）a470b490c495d510類型2：an+1=an+f(n)解法思路：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1-an=f(n)，利用累加法（逐差相加法）求解例4（2008，江西，理5）在數(shù)列an中，a1=2,an+1=an+ln,則an=a2+lnnb2+(n-1) lnnc2+nlnnd1+n+lnn例5（2009，全國(guó)i，理22）在數(shù)列an中，a1=1,an+1=（1）設(shè)，求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（2）求數(shù)列an的前n項(xiàng)和。 類型3：an+1=f(n)an解法思路：把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，利用累乘法（逐商相乘法）求解例6（2004，全國(guó)i，理15）已知數(shù)列an，滿足a1=1,an=a1+2a2+3a3+(n1)an1(n2)，則an的通項(xiàng)an=_解：由已知，得an+1=a1+2a2+3a3+(n1)an1+nan，用此式減去已知式，得當(dāng)n2時(shí)，an+1an=nan，即an+1=（n+1）an，又a2=a1類型4：an+1=pan+q（其中p、q均為常數(shù)，且pq(p1)0）解法思路：待定系數(shù)法，把原遞推公式轉(zhuǎn)化為an+1t=p(ant)，其中，再利用換元法轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求解，或轉(zhuǎn)化為二隊(duì)循環(huán)數(shù)列來(lái)解（見(jiàn)后文），或直接用逐項(xiàng)迭代法求解。例7（2008年，安徽，文21）設(shè)數(shù)列an滿足a1 =a,an +1=c an +1c,nn*，其中a、c為實(shí)數(shù)，且c0求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；解：方法一：因?yàn)閍n+11=c(an1)所以當(dāng)a1時(shí)，an1是首項(xiàng)為a1，公比為c的等比數(shù)列所以an1=( an1)cn1即an=( an1)cn1+1當(dāng)n=1時(shí)，an=1仍滿足上式數(shù)列an的通項(xiàng)公式為an=( a1)cn1+1 (nn*)方法二：由題設(shè)得：n2時(shí), an1=c( an11)=c2 (an21)= cn1(an1)= (a1)c n1所以an=( a1)=c n1+1n=1時(shí)，a1=a也滿足上式所以an的通項(xiàng)公式為an=( a1)cn1+1 (nn*)類型4的變式：an+1=pan+f(n)解法思路：通過(guò)構(gòu)造新數(shù)列bn，消去f(n)帶來(lái)的差異，例如下面的類型5 ：an+1=pan+qn（其中p、q均為常數(shù)，pq(p1)(q1)0）（或an+1=pan+rqn，其中p、q、r均為常數(shù)）解法思路：一般地，要先在原遞推公式兩邊同除以qn+1，得，引入輔助數(shù)列bn（其中），得即可轉(zhuǎn)化為類型3?；蛑苯訉⒃f推式變形為），（其中），則直接轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列例8（2006，全國(guó)i，理22，12分）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和求首項(xiàng)a1與通項(xiàng)an。例9（2009，全國(guó)ii，理19）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)的和（1）設(shè)，證明數(shù)列bn是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式。類型6：（其中p，q均為常熟）。解法一（待定系數(shù)法）：先把原遞推公式轉(zhuǎn)化為，其中s, t滿足解法二（特征根法）：對(duì)于由遞推公式,=,=給出的數(shù)列an，方程,叫做數(shù)列的特征方程。若是特征方程的兩個(gè)根，當(dāng)時(shí)，數(shù)列an的通項(xiàng)為，其中a、b由=,=決定（即把和n=1,2,代入，得到關(guān)于a、b的方程組）；當(dāng)時(shí)，數(shù)列的通項(xiàng)為，其中a、b由=,=決定（即把和n=1,2，代入，得到關(guān)于a、b的方程組）。例10（2006，福建，文22）已知數(shù)列an滿足=1,=3，（）。（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列；（2）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；（3）若數(shù)列bn滿足（），證明bn是等差數(shù)列。解：（1），=1,=3，（），是以=2為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列。（2）（），an =+ + + += + +2+1=-1（）類型7 遞推公式為sn與的關(guān)系式（或sn）解法思路：這種類型一般利用=或=消去進(jìn)行求解。例11.（2009，湖北，理，19）已知數(shù)列an的前項(xiàng)和sn= -+2（為正整數(shù)），令=，求證數(shù)列bn是等差數(shù)列，并求數(shù)列an的通項(xiàng)公式解：在sn= +2中，令n=1，可得s1 = -+1=，當(dāng)時(shí)，sn-1= +2，=snsn-1=+2=+，即=+1又=，=+1，即當(dāng)時(shí)，-=1又=2=1數(shù)列bn是首項(xiàng)和公差均為1的等差數(shù)列，于是=n=,=.例12 （2008，全國(guó)ii，理，20）設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，已知=,=sn+（）,（）設(shè)=-，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；（）若（），求的取值范圍。解（）依題意-=+，即=2+，由此得-=2（-），因此，所求通項(xiàng)公式為 =-=（-3），（）。 （）由（）知=+（-3），（），于是當(dāng)時(shí)，=- =+（a-3）-（a-3） =2+(a-3) =4+(a-3) =,當(dāng)時(shí),09。又=+3綜上，所求的的取值范圍是。類型8 an+1=pan+an+b(p1,a0)解法思路：這種類型一般利用待定系數(shù)法構(gòu)造等比數(shù)列， 即令，與已知遞推式比較，解出，從而轉(zhuǎn)化為是公比p為的等比數(shù)列。例13.（2006山東，文，22）已知數(shù)列an中，=，點(diǎn)在直線上，其中（）令，求證數(shù)列bn是等比數(shù)列；（）求數(shù)列an的通項(xiàng)。所以bn是以為首項(xiàng)，以為公比的等比數(shù)列類型9 （p0, 0）解法思路：這種類型一般是等式兩邊取對(duì)數(shù)后轉(zhuǎn)化為，再利用待定系數(shù)法求解。例14（2005，江西，理，21）已知數(shù)列an的各項(xiàng)都是正數(shù)，且滿足：求數(shù)列的an通項(xiàng)公式例15（2006，山東，理，22）已知，點(diǎn)在函數(shù)的圖像上，其中證明數(shù)列是等比數(shù)列類型10 解法思路：這種類型一般是等式兩邊取倒數(shù)后換元轉(zhuǎn)化為。例17（2006，江西，理，22，本大題滿分14分）已知數(shù)列滿足： 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：將條件變?yōu)椋簽橐粋€(gè)等比例數(shù)，其首項(xiàng)為從而據(jù)此得類型11 解法思路：如果數(shù)列滿足下列條件：已知的值且對(duì)于，都有（其中p、q、r、h均為常數(shù)，且phqr,r0, ），那么，可作特征方程，當(dāng)特征方程有且僅有一根時(shí)，則是等差數(shù)列；當(dāng)特征議程有兩價(jià)目相異的根x1、x2時(shí)，則是等比數(shù)列。例19(2009年,江西,理,22)各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列,且對(duì)滿足的正整數(shù)都有m,n,p,q都有(1)當(dāng)時(shí),求通項(xiàng)；(2)證明:對(duì)任意a,存在與a有關(guān)的常數(shù),使得對(duì)于每個(gè)正整數(shù)n,都有解：（1）由得將代入上式化簡(jiǎn)得所以故數(shù)列為等比數(shù)列，從而，即可驗(yàn)證，滿足題設(shè)條件。（2）由題設(shè)的值僅與有關(guān)，記為則考察函數(shù)，則在定義域上有故對(duì)，注意到，解上式得取，即有類型12 數(shù)列中的數(shù)學(xué)歸納法數(shù)學(xué)歸納法是數(shù)學(xué)證明中的常用方法，適用于猜想證明和數(shù)列不等式的證明，在直接求解或者利用放縮法證明存在困難時(shí)，常可使用數(shù)學(xué)歸納法進(jìn)行證明。例21（2008，天津，理，22）在數(shù)列中，數(shù)列的前n項(xiàng)和sn滿足為的等比中項(xiàng)，（）求的值；（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；解：（）由題設(shè)有解得，由題設(shè)又有，解得。（）由題設(shè)，及，進(jìn)一步可得，猜想先證當(dāng)時(shí)，等式成立,當(dāng)時(shí)用數(shù)學(xué)歸納法證明如下：（1）當(dāng) n=2時(shí)，即等式成立。（2）假設(shè)當(dāng)n=k時(shí)等式成立，即由題設(shè) 的兩邊分別減去的兩邊，整理得，從而這就是說(shuō)，當(dāng)時(shí)等式也成立，根據(jù)（1）和（2）可知，等式對(duì)任何的成立。綜上所述，等式對(duì)任何的都成立。再用數(shù)學(xué)歸納法證明，本題首先進(jìn)行猜想，然后利用數(shù)學(xué)歸納法證明，先猜想再證明是求數(shù)列通項(xiàng)的常用手段，數(shù)學(xué)歸納法也是證明數(shù)列不等式的常用方法。 數(shù)列經(jīng)典綜合題等差數(shù)列與等比數(shù)列綜合題例1 等比數(shù)列的前n 項(xiàng)和為，已知,成等差數(shù)列（1）求的公比q；（2）求3，求 解：（）依題意有 由于 ，故 又，從而 （）由已知可得 故 從而 例2 在正項(xiàng)數(shù)列中,令.（）若是首項(xiàng)為25,公差為2的等差數(shù)列,求；（）若（為正常數(shù)）對(duì)正整數(shù)恒成立,求證為等差數(shù)列；（）解：由題意得,所以=（）證:令,則=1所以=（1）,=（2）,（2）（1）,得=,化簡(jiǎn)得（3）（4）,（4）（3）得 在（3）中令,得,從而為等差數(shù)列 例3 已知是公比為q的等比數(shù)列，且成等差數(shù)列.（1）求q的值；（2）設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，試判斷是否成等差數(shù)列？說(shuō)明理由. 解：（1）依題意，得2am+2 = am+1 + am2a1qm+1 = a1qm + a1qm 1在等比數(shù)列an中，a10，q0，2q2 = q +1，解得q = 1或. （2）若q = 1， sm + sm+1 = ma1 + (m+1) a1=(2m+1) a1，sm + 2 = (m+2) a1 a10，2sm+2s m + sm+1 若q =，sm + 1 =sm + sm+1 = =2 sm+2 = s m + sm+1 故當(dāng)q = 1時(shí)，sm , sm+2 , sm+1不成等差數(shù)列；當(dāng)q =時(shí)，sm , sm+2 , sm+1成等差數(shù)列. 例4 已知數(shù)列an的首項(xiàng)（a是常數(shù)），（）（）是否可能是等差數(shù)列.若可能，求出的通項(xiàng)公式；若不可能，說(shuō)明理由；（）設(shè)，（），為數(shù)列的前n項(xiàng)和，且是等比數(shù)列，求實(shí)數(shù)a、b滿足的條件 解：（） 若是等差數(shù)列，則但由，得a=0,矛盾.不可能是等差數(shù)列 () (n2) 當(dāng)a1時(shí), 從第2項(xiàng)起是以2為公比的等比數(shù)列n2時(shí),是等比數(shù)列, (n2)是常數(shù) a-1時(shí), b-2a-2=0 當(dāng)a=-1時(shí)，（n3）,得（n2） 是等比數(shù)列 b0綜上, 是等比數(shù)列,實(shí)數(shù)a、b所滿足的條件為 例5 設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為sn，且滿足sn=2-an，n=1，2，3，.()求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；()若數(shù)列bn滿足b1=1，且bn+1=bn+an，求數(shù)列bn的通項(xiàng)公式；()設(shè)cn=n(3-bn)，求數(shù)列cn的前n項(xiàng)和tn.解：()n=1時(shí)，a1+s1=a1+a1=2a1=1 sn=2-an即an+sn=2 an+1+sn+1=2兩式相減：an+1-an+sn+1-sn=0即an+1-an+an+1=0故有2an+1=anan0 (nn*)所以，數(shù)列an為首項(xiàng)a1=1，公比為的等比數(shù)列.an=(nn*)()bn+1=bn+an(n=1，2，3，)bn+1-bn=()n-1 得b2-b1=1b3-b2=b4-b3=()2bn-bn-1=()n-2(n=2，3，) 將這n-1個(gè)等式相加，得bn-b1=1+又b1=1，bn=3-2()n-1(n=1，2，3，)()cn=n(3-bn)=2n()n-1 tn=2()0+2()+3()2+(n-1)()n-2+n()n-1 而 tn=2()+2()2+3()3+(n-1) -得：tn=8-(8+4n)(n=1，2，3，) 例6 已知數(shù)列中，且對(duì)時(shí)有（）設(shè)數(shù)列滿足，證明數(shù)列為等比數(shù)列，并求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）記，求數(shù)列的前n項(xiàng)和（） 證明：由條件，得，則即，所以，所以是首項(xiàng)為2，公比為2的等比數(shù)列 ，所以兩邊同除以，可得于是為以首項(xiàng)，為公差的等差數(shù)列所以（），令，則而 ，令tn，則2tn，得tn，tn例7 設(shè)數(shù)列滿足且（）求的值，使得數(shù)列為等比數(shù)列；（）求數(shù)列和的通項(xiàng)公式；（）令數(shù)列和的前項(xiàng)和分別為和，求極限的值（）令，其中為常數(shù)，若為等比數(shù)列，則存在使得又所以由此得由及已知遞推式可求得，把它們代入上式后得方程組 消去解得 下面驗(yàn)證當(dāng)時(shí)，數(shù)列為等比數(shù)列 ，從而是公比為的等比數(shù)列同理可知是公比為的等比數(shù)列，于是為所求（）由（）的結(jié)果得，解得，（）令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前項(xiàng)和為； 令數(shù)列的通項(xiàng)公式為，它是公比為的等比數(shù)列，令其前項(xiàng)和為 由第（）問(wèn)得， 由于數(shù)列的公比，則 ，由于，則，于是，所以例8 數(shù)列的各項(xiàng)均為正數(shù)，為其前項(xiàng)和，對(duì)于任意，總有成等差數(shù)列.()求數(shù)列的通項(xiàng)公式；()設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為 ，且，求證:對(duì)任意實(shí)數(shù)（是常數(shù)，2.71828）和任意正整數(shù)，總有 2；() 正數(shù)數(shù)列中，.求數(shù)列中的最大項(xiàng). （）解：由已知：對(duì)于，總有 成立 （n 2） -得均為正數(shù)， （n 2） 數(shù)列是公差為1的等差數(shù)列 又n=1時(shí)， 解得=1.() （）證明：對(duì)任意實(shí)數(shù)和任意正整數(shù)n，總有. ()解：由已知 ， 易得 猜想 n2 時(shí)，是遞減數(shù)列. 令當(dāng)在內(nèi)為單調(diào)遞減函數(shù).由.n2 時(shí), 是遞減數(shù)列.即是遞減數(shù)列.又 , 數(shù)列中的最大項(xiàng)為. 例9 設(shè)是公差不為零的等差數(shù)列，為其前項(xiàng)和，滿足。（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式及前項(xiàng)和； （2）試求所有的正整數(shù)，使得為數(shù)列中的項(xiàng)。 解：（1）設(shè)公差為，則，由性質(zhì)得，因?yàn)?，所以，即，又由得，解得?(2) （方法一）=,設(shè)， 則=, 所以為8的約數(shù)（方法二）因?yàn)闉閿?shù)列中的項(xiàng)，故為整數(shù)，又由（1）知：為奇數(shù)，所以經(jīng)檢驗(yàn)，符合題意的正整數(shù)只有。 例10 已知是公差為的等差數(shù)列，是公比為的等比數(shù)列。（1） 若，是否存在，有說(shuō)明理由； （2） 找出所有數(shù)列和，使對(duì)一切,并說(shuō)明理由；（3） 若試確定所有的，使數(shù)列中存在某個(gè)連續(xù)項(xiàng)的和是數(shù)列中的一項(xiàng)，請(qǐng)證明。解：（1）由，得， 整理后，可得，、，為整數(shù)， 不存在、，使等式成立。 （2）若，即， （*）（）若則。 當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。 （）若，（*）式等號(hào)左邊取極限得，（*）式等號(hào)右邊的極限只有當(dāng)時(shí)，才能等于1。此時(shí)等號(hào)左邊是常數(shù)，矛盾。綜上所述，只有當(dāng)為非零常數(shù)列，為恒等于1的常數(shù)列，滿足要求。（3） 設(shè).，. 取 由二項(xiàng)展開(kāi)式可得正整數(shù)m1、m2，使得（4-1）2s+2=4m1+1, 故當(dāng)且僅當(dāng)p=3s,sn時(shí)，命題成立. 2、 點(diǎn)列綜合題例11 設(shè)曲線上的點(diǎn)為過(guò)p0作曲線c的切線與x軸交于q1，過(guò)q1作平行于y軸的直線與曲線c交于，然后再過(guò)p1作曲線c的切線交x軸于q2，過(guò)q2作平行于y軸的直線與曲線c交于，依此類推，作出以下各點(diǎn)：p0，q1，p1，q2，p2，q3，pn，qn+1，已知，設(shè)（1）求出過(guò)點(diǎn)p0的切線方程；（2）設(shè)求的表達(dá)式；（3）設(shè)求解：（1） 過(guò)點(diǎn)p0的切線段為即 （2） 過(guò)點(diǎn)pn的切線方程為 將的坐標(biāo)代入方程得： 故數(shù)列是首項(xiàng)為的等比數(shù)列 （3） 例12 已知點(diǎn)滿足：，且已知 （1）求過(guò)點(diǎn)的直線的方程； （2）判斷點(diǎn)與直線的位置關(guān)系，并證明你的結(jié)論；（3）求點(diǎn)的極限位置。解：（1）由，得： 顯然直線的方程為 （2）由，得： 點(diǎn)，猜想點(diǎn)在直線上，以下用數(shù)學(xué)歸納法證明： 當(dāng)n2時(shí)，點(diǎn) 假設(shè)當(dāng)時(shí)，點(diǎn)，即 當(dāng)時(shí)， 點(diǎn) 綜上，點(diǎn) （3）由，得： 數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為1的等差數(shù)列 即點(diǎn)的極限位置為點(diǎn)p（0，1）例13 如圖，是曲線上的個(gè)點(diǎn)，點(diǎn)在軸的正半軸上，是正三角形(是坐標(biāo)原點(diǎn)) .() 寫出；()求出點(diǎn)的橫坐標(biāo)關(guān)于的表達(dá)式；()設(shè)，若對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍. 解：() .()依題意，則yxoa0p1p2p3a1a2a3， 3分在正三角形中，有 .， ， 同理可得 . -并變形得， ， . 數(shù)列是以為首項(xiàng)，公差為的等差數(shù)列. ， 7分，. ()解法1 ：， .當(dāng)時(shí)，上式恒為負(fù)值，當(dāng)時(shí)，數(shù)列是遞減數(shù)列. 的最大值為. 若對(duì)任意正整數(shù)，當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則不等式在時(shí)恒成立，即不等式在時(shí)恒成立. 設(shè)，則且，解之，得 或，即的取值范圍是.例14 abc中，|ab|=|ac|=1，p1為ab邊上的一點(diǎn)，從p1向bc作垂線，垂足是q1；從q1向ca作垂線，垂足是r1；從r1向ab作垂線，垂足是p2，再由p2開(kāi)始重復(fù)上述作法，依次得q2，r2，p3；q3，r3，p4 （1）令bpn為xn，尋求bpn與（即）之間的關(guān)系。 （2）點(diǎn)列是否一定趨向于某一個(gè)定點(diǎn)p0？說(shuō)明理由； （3）若，則是否存在正整數(shù)m，使點(diǎn)p0與pm之間的距離小于0.001？若存在，求m的最小值。解：（1）由|ab|=|ac|=1， 從而abc為邊長(zhǎng)為1的正三角形 則，于是 同樣 又 即 （2）由（1）可得： 的等比數(shù)列 當(dāng) 點(diǎn)pn趨向點(diǎn)p0，其中p0在ab上，且bp0 （3） 由 當(dāng)?shù)淖钚≈禐? 例15 已知曲線從點(diǎn)向曲線引斜率為的切線，切點(diǎn)為（1）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）證明：.解：（1）設(shè)直線：，聯(lián)立得，則，（舍去） ，即，（2）證明： 由于，可令函數(shù)，則，令，得，給定區(qū)間，則有，則函數(shù)在上單調(diào)遞減，即在恒成立，又，則有，即. 例16 數(shù)軸上有一列點(diǎn)p1，p2，p3，pn，已知當(dāng)時(shí)，點(diǎn)pn是把線段pn 1 pn+1作n等分的分點(diǎn)中最靠近pn+1的點(diǎn)，設(shè)線段p1p2，p2p3，pn pn + 1的長(zhǎng)度分別為a1，a2，a3，an，其中a1 = 1（1）寫出a2，a3和an（，）的表達(dá)式；（2）證明a1 + a2 + a3 +an 2，），在這些點(diǎn)中是否存在兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)的圖像上，如果存在，請(qǐng)求出點(diǎn)的坐標(biāo)；如果不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由.解：(1) 由已知，令n = 2，p1p2 = p2p3，所以a2 = 1，令n = 3，p2p3 = 2p3p4，所以，同理，所以(2) 因?yàn)樗远鴑 = 1時(shí)，易知a1 = 1 2時(shí)，n2 3n + 1 0，所以對(duì)于函數(shù)bn有b2 b3 b4 bn 所以式不能成立，所以，不可能有兩個(gè)點(diǎn)同時(shí)在函數(shù)圖像上例17 在直角坐標(biāo)系中，有一點(diǎn)列p1(a1，b1)，p2(a2，b2)，pn(an，bn)，對(duì)每一個(gè)正整數(shù)n，點(diǎn)pn在給定的函數(shù)ylog3(2x)的圖像上.而在遞增數(shù)列an中，an與an+1是關(guān)于x的方程4x28nx4n210（nn*）的兩個(gè)根（）求點(diǎn)pn的縱坐標(biāo)bn的表達(dá)式；（）記cn3，nn*.證明3；解：（）解方程4x28nx4n210，得x1n，x2n，an是遞增數(shù)列，ann，an+1n，即ann( nn*)，又因?yàn)閜n(an，bn)在函數(shù)ylog3(2x)的圖像上，所以bnlog3(2n1).（）因?yàn)閏n3，nn*，所以cn2n1設(shè)dn，即dn， 所以dn， 由得dn，則所以dn11133，例18 已知點(diǎn)列b1(1,y1)、b2(2,y2)、bn(n,yn)（nn）順次為一次函數(shù)圖像上的點(diǎn)，點(diǎn)列a1(x1,0)、a2(x2,0)、an(xn,0)（nn）順次為x軸正半軸上的點(diǎn)，其中x1=a（0a1），對(duì)于任意nn，點(diǎn)an、bn、an+1構(gòu)成一個(gè)頂角的頂點(diǎn)為bn的等腰三角形。求數(shù)列yn的通項(xiàng)公式，并證明yn是等差數(shù)列；證明xn+2-xn為常數(shù)，并求出數(shù)列xn的通項(xiàng)公式；在上述等腰三角形anbnan+1中，是否存在直角三角形？若有，求出此時(shí)a值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。解：（1）(nn),yn+1-yn=,yn為等差數(shù)列 （2）因?yàn)榕c為等腰三角形.所以，兩式相減得 。注：判斷得2分，證明得1分x1,x3,x5,x2n-1及x2,x4,x6 ，x2n都是公差為2的等差數(shù)列， （3）要使anbnan+1為直角三形，則 |anan+1|=2=2()xn+1-xn=2() 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，xn+1=n+1-a，xn=n+a-1,xn+1-xn=2(1-a). 2(1-a)=2() a=(n為奇數(shù)，0a1) (*) 取n=1，得a=，取n=3，得a=，若n5，則(*)無(wú)解； 當(dāng)偶數(shù)時(shí)，xn+1=n+a，xn=n-a，xn+1-xn=2a. 2a=2()a=(n為偶數(shù)，0a1) (*)，取n=2，得a=,若n4，則(*)無(wú)解. 綜上可知，存在直角三形，此時(shí)a的值為、. 三、數(shù)列與向量交匯的綜合題例19 =, =,（1）求證：為等差數(shù)列； (2) 若,問(wèn)是否存在, 對(duì)于任意（），不等式成立.解（1） 為等差數(shù)列 （2） 例20 在直角坐標(biāo)平面中，已知點(diǎn)，其中n是正整數(shù)，對(duì)平面上任一點(diǎn)a0，記a1為a0關(guān)于點(diǎn)p1的對(duì)稱點(diǎn)，a2為a1關(guān)于點(diǎn)p2的對(duì)稱點(diǎn)，an為an1關(guān)于點(diǎn)pn的對(duì)稱點(diǎn). （1）求向量的坐標(biāo)； （2）對(duì)任意偶數(shù)n，用n表示向量的坐標(biāo).（1）設(shè)對(duì)稱故 （2）同理可得：故 例21 已知數(shù)列的首項(xiàng)，前項(xiàng)和為，且、（n 2）分別是直線上的點(diǎn)a、b、c的橫坐標(biāo)，設(shè)， 判斷數(shù)列是否為等比數(shù)列，并證明你的結(jié)論； 設(shè)，證明：解：由題意得 （n2），又，數(shù)列是以為首項(xiàng)，以2為公比的等比數(shù)列。 則（）由及得， 則 四、數(shù)列與函數(shù)交匯的綜合題例22 已知函數(shù)（）。（）若且，則稱為的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)，求的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)；（ii）在數(shù)列中，（），求數(shù)列的通項(xiàng)公式。解：（）由及得或（舍去），所以或，即的實(shí)不動(dòng)點(diǎn)為或；（ii）由條件得，從而有，由此及知：數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，故有（）。例23 二次函數(shù) （1）求并求的解析式； （2）若求數(shù)列并求 （3）若求符合最小自然數(shù)n.解：（1） 又（2）（3） 例24 已知函數(shù)，點(diǎn)，是函數(shù)圖像上的兩個(gè)點(diǎn)，且線段的中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為求證：點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值；若數(shù)列的通項(xiàng)公式為，求數(shù)列的前m項(xiàng)的和；解：由題可知：，所以，點(diǎn)的縱坐標(biāo)是定值，問(wèn)題得證由可知：對(duì)任意自然數(shù)，恒成立由于，故可考慮利用倒寫求和的方法即由于：所以，所以，例25 設(shè)f1(x)=，定義fn+1 (x)= f1fn(x)，an =（nn*）.(1) 求數(shù)列an的通項(xiàng)公式；(2) 若，qn=（nn*），試比較9t2n與qn的大小，并說(shuō)明理由.解：（1）f1(0)=2，a1=，fn+1(0)= f1fn(0)=, an+1= -= -an. 數(shù)列an是首項(xiàng)為,公比為-的等比數(shù)列，an=()n-1. （2）t2 n = a1+2a 2+3a 3+(2n-1)a 2 n-1+2na 2 n，t2 n= (-a1)+(-)2a 2+(-)3a 3+(-)(2n-1)a2 n1+2na2 n= a 2+2a 3+(2n1)a2 nna2 n.兩式相減，得t2 n= a1+a2+a 3+a2 n+na2 n. t2n =+n(-)2n-1=-(-)2n+(-)2n-1.t2n =-(-)2n+(-)2n-1=(1-). 9t2n=1-.又qn=1-， 當(dāng)n=1時(shí)，22 n= 4,(2n+1)2=9,9t2 nq n； 當(dāng)n=2時(shí)，22 n=16,(2n+1)2=25,9t2 nqn； 當(dāng)n3時(shí)，9t2 nq n. 例26 已知函數(shù)，數(shù)列滿足 （i）求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （ii）設(shè)x軸、直線與函數(shù)的圖象所圍成的封閉圖形的面積為，求； （iii）在集合，且中，是否存在正整數(shù)n，使得不等式對(duì)一切恒成立？若存在，則這樣的正整數(shù)n共有多少個(gè)？并求出滿足條件的最小的正整數(shù)n；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由。 （iv）請(qǐng)構(gòu)造一個(gè)與有關(guān)的數(shù)列，使得存在，并求出這個(gè)極限值。解：（i） 將這n個(gè)式子相加，得 （ii）為一直角梯形（時(shí)為直角三角形）的面積，該梯形的兩底邊的長(zhǎng)分別為，高為1 （iii）設(shè)滿足條件的正整數(shù)n存在，則 又 均滿足條件 它們構(gòu)成首項(xiàng)為2010，公差為2的等差數(shù)列。 設(shè)共有m個(gè)滿足條件的正整數(shù)n，則，解得 中滿足條件的正整數(shù)n存在，共有495個(gè)， （iv）設(shè)，即 則顯然，其極限存在，并且例27 函數(shù)的定義域?yàn)閞，且 （）求證：； （）若上的最小值為，試求f(x)的解析式； （）在（）的條件下記試比較與 的大小并證明你的結(jié)論解：（）f(x)定義域?yàn)閞， （）由（）知f(x)在0，1上為增函數(shù)， （） 例28 已知函數(shù)時(shí)，的值域?yàn)?，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)椋来晤愅?，一般地，?dāng)時(shí)，的值域?yàn)?，其中k、m為常數(shù)，且 （1）若k=1，求數(shù)列的通項(xiàng)公式； （2）項(xiàng)m=2，問(wèn)是否存在常數(shù)，使得數(shù)列滿足若存在，求k的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由；（3）若，設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和分別為sn，tn，求來(lái)源:學(xué)&科&網(wǎng) 。解：（1）因?yàn)樗云渲涤驗(yàn)橛谑怯?（2）因?yàn)樗?分法一：假設(shè)存在常數(shù)，使得數(shù)列，得符合。法二：假設(shè)存在常數(shù)k0，使得數(shù)列滿足當(dāng)k=1不符合。9分當(dāng)，來(lái)源:z+xx+k.com則當(dāng) （3）因?yàn)樗缘闹涤驗(yàn)橛谑莿t又則有來(lái)xxk.com進(jìn)而有18分例29 已知函數(shù)，為函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)（）若數(shù)列滿足：，（），求數(shù)列的通項(xiàng)；（）若數(shù)列滿足：，（）.當(dāng)時(shí)，數(shù)列是否為等差數(shù)列？若是，請(qǐng)求出數(shù)列的通項(xiàng)；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由；.當(dāng)時(shí)， 求證：解：（）， ，即 ， 數(shù)列是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，即 （）（），當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則由數(shù)學(xué)歸納法，得出數(shù)列為常數(shù)數(shù)列，是等差數(shù)列，其通項(xiàng)為 （）， 當(dāng)時(shí)，假設(shè)，則 由數(shù)學(xué)歸納法，得出數(shù)列 又，即 ， 例30 已知,其中,設(shè),.(i) 寫出;(ii) 證明:對(duì)任意的,恒有.【解析】(i)由已知推得,從而有(ii) 證法1:當(dāng)時(shí), 當(dāng)x0時(shí), ,所以在0,1上為增函數(shù)因函數(shù)為偶函數(shù)所以在-1,0上為減函數(shù)所以對(duì)任意的因此結(jié)論成立.證法2: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)x0時(shí), ,所以在0,1上為增函數(shù)因函數(shù)為偶函數(shù)所以在-1,0上為減函數(shù)所以對(duì)任意的又因所以因此結(jié)論成立.證法3: 當(dāng)時(shí), 當(dāng)x0時(shí), ,所以在0,1上為增函數(shù)因函數(shù)為偶函數(shù)所以在-1,0上為減函數(shù)所以對(duì)任意的由對(duì)上式兩邊求導(dǎo)得因此結(jié)論成立.五、數(shù)列與不等式交匯的綜合題例31 已知數(shù)列滿足.(1)若數(shù)列是以常數(shù)首項(xiàng),公差也為的等差數(shù)列,求a1的值;(2)若,求證：對(duì)任意都成立；(3)若,求證：對(duì)任意都成立.解 (1)由得：即，求得（2）由知，兩邊同除以，得（3） ，將代入，得； 而， 由知，命題成立.例32 設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，。（1）求證：數(shù)列為等差數(shù)列，并分別求出、的表達(dá)式；（2）設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為，求證：；（3）是否存在自然數(shù)n,使得？若存在，求出n的值；若不存在,請(qǐng)說(shuō)明理由。又易知單調(diào)遞增，故，得(3)由得=13分由，得n=1005,即存在滿足條件的自然數(shù)n=1005. 例33 已知數(shù)列中，當(dāng)時(shí)，其前項(xiàng)和滿足，（1） 求的表達(dá)式及的值；（2） 求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（3） 設(shè)，求證：當(dāng)且時(shí)，。解：（1）所以是等差數(shù)列。則。（2）當(dāng)時(shí)，綜上，。（3）令，當(dāng)時(shí)，有 等價(jià)于求證。當(dāng)時(shí)，令，則在遞增。又，所以即例34 已知數(shù)列各項(xiàng)均不為0，其前項(xiàng)和為，且對(duì)任意都有（為大于1的常數(shù)），記(1) 求；(2) 試比較與的大小（）；(3) 求證：，（）解：(1) ，得，即在中令，可得是首項(xiàng)為，公比為的等比數(shù)列，(2) 由(1)可得，而，且，（）例35 數(shù)列：滿足() 設(shè)，求證是等比數(shù)列；() 求數(shù)列的通項(xiàng)公式; （）設(shè),數(shù)列的前項(xiàng)和為,求證: 解：()由得，即， 是以為公比的等比數(shù)列 () 又即 ，故（）又例36 給定正整數(shù)和正數(shù)，對(duì)于滿足條件的所有無(wú)窮等差數(shù)列，試求的最大值，并求出取最大值時(shí)的首項(xiàng)和公差解：設(shè)公差為，則又，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，等號(hào)成立當(dāng)數(shù)列首項(xiàng)，公差時(shí)，的最大值為例37 已知數(shù)列an滿足a1=5，a2=5，an+1=an+6an1（n2，nn*），若數(shù)列是等比數(shù)列. （）求數(shù)列an的通項(xiàng)公式； （）求證：當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)，； （）求證： 得=2或=3 當(dāng)=2時(shí)，可得為首項(xiàng)是 ，公比為3的等比數(shù)列，則 當(dāng)=3時(shí)，為首項(xiàng)是，公比為2的等比數(shù)列， 得， （注：也可由利用待定系數(shù)或同除2n+1得通項(xiàng)公式）（）當(dāng)k為奇數(shù)時(shí)， （）由（）知k為奇數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)， 當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，= 例 38 如圖，把正分成有限個(gè)全等的小正三角形，且在每個(gè)小三角形的頂點(diǎn)上都放置一個(gè)非零實(shí)數(shù)，使得任意兩個(gè)相鄰的小三角形組成的菱形的兩組相對(duì)頂點(diǎn)上實(shí)數(shù)的乘積相等設(shè)點(diǎn)a為第一行，bc為第n行，記點(diǎn)a上的數(shù)為，第i行中第j個(gè)數(shù)為若（1）求；（2）試求第n行中第m個(gè)數(shù)的表達(dá)式（用n、m表示）；（3）記，求證：.解：（1）（2） （3）當(dāng)時(shí)，所以當(dāng)時(shí)，則又所以例39 已知，且，數(shù)列的前項(xiàng)和為，它滿足條件.數(shù)列中，.（1）求數(shù)列的前項(xiàng)和；（2）若對(duì)一切都有，求的取值范圍.解：（1） ，當(dāng)時(shí)，.當(dāng)2時(shí)，=， 此時(shí)=，=+設(shè)+，6分（2）由可得當(dāng)時(shí)，由，可得 對(duì)一切都成立，此時(shí)的解為.當(dāng)時(shí)，由 可得對(duì)一切都成立，此時(shí)的解為.由，可知對(duì)一切，都有的的取值范圍是或.例40 已知正項(xiàng)數(shù)列中，點(diǎn)在拋物線上；數(shù)列中，點(diǎn)在過(guò)點(diǎn)，以方向向量為的直線上。（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，問(wèn)是否存在，使成立，若存在，求出值；若不存在，說(shuō)明理由；（）對(duì)任意正整數(shù)，不等式成立，求正數(shù)的取值范圍。解：（）將點(diǎn)代入中得（）（）由例41 已知等比數(shù)列的前項(xiàng)和為（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）設(shè)數(shù)列滿足，為數(shù)列 的前項(xiàng)和，試比較 與 的大小，并證明你的結(jié)論解：（）由得:時(shí)，是等比數(shù)列，得 （）由和得10分當(dāng)或時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有那么同理可得：當(dāng)時(shí)有，所以當(dāng)時(shí)有綜上：當(dāng)時(shí)有；當(dāng)時(shí)有例42 已知數(shù)列中，其前項(xiàng)和滿足.令.（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式；（）若，求證：（）；（）令（），求同時(shí)滿足下列兩個(gè)條件的所有的值：對(duì)于任意正整數(shù)，都有；對(duì)于任意的，均存在，使得時(shí)，.解：（）由題意知即檢驗(yàn)知、時(shí)，結(jié)論也成立，故.（）由于故.（）（）當(dāng)時(shí)，由（）知：，即條件滿足；又，.取等于不超過(guò)的最大整數(shù)，則當(dāng)時(shí)，.9（）當(dāng)時(shí)，.由（）知存在，當(dāng)時(shí)，故存在，當(dāng)時(shí)，不滿足條件. （）當(dāng)時(shí)，.取，若存在，當(dāng)時(shí)，則.矛盾. 故不存在，當(dāng)時(shí)，.不滿足條件.綜上所述：只有時(shí)滿足條件，故.例43 已知數(shù)列滿足（1）求；（2）已知存在實(shí)數(shù)，使為公差為的等差數(shù)列，求的值；（3）記，數(shù)列的前項(xiàng)和為，求證：.解：（1），由數(shù)列的遞推公式得，（2）=數(shù)列為公差是的等差數(shù)列.由題意，令，得（3）由（2）知，所以此時(shí)=， =例44 已知數(shù)列,（）求數(shù)列的通項(xiàng)公式（）當(dāng)時(shí),求證:（）若函數(shù)滿足： 求證：解： (1) ,兩邊加得: , 是以2為公比, 為首項(xiàng)的等比數(shù)列.由兩邊減得: 是以為公比, 為首項(xiàng)的等比數(shù)列.-得: 所以,所求通項(xiàng)為5分(2) 當(dāng)為偶數(shù)時(shí),當(dāng)為奇數(shù)時(shí),又為偶數(shù)由(1)知, （3）證明：又 例45 設(shè)不等式組所表示的平面區(qū)域?yàn)閐n，記dn內(nèi)的格點(diǎn)（格點(diǎn)即橫坐標(biāo)和縱坐標(biāo)均為整數(shù)的點(diǎn)）的個(gè)數(shù)為f(n)(nn*). （1）求f(1)、f(2)的值及f(n)的表達(dá)式； （2）設(shè)bn=2nf(n)，sn為bn的前n項(xiàng)和，求sn； （3）記，若對(duì)于一切正整數(shù)n，總有tnm成立，求實(shí)數(shù)m的取值范圍.解：（1）f(1)=3， f(2)=6 當(dāng)x=1時(shí)，y=2n，可取格點(diǎn)2n個(gè)；當(dāng)x=2時(shí),y=n，可取格點(diǎn)n個(gè) f(n)=3n （2）由題意知:bn=3n2n sn=321+622+923+3(n1)2n1+3n2n 2sn=322+623+3(n1)2n+3n2n+1sn=321+322+323+32n3n2n+1 =3（2+22+2n）3n2n+1 =3 =3(2n+12)3nn+1sn=(33n)2n+16sn=6+(3n3)2n+1 （3） t1t4tn 故tn的最大值是t2=t3= m。例46 (2009陜西卷理) 已知數(shù)列滿足， .猜想數(shù)列的單調(diào)