微積分論文

畢業(yè)論文（設(shè)計(jì)） 阜 陽 師 范 學(xué) 院 數(shù)學(xué) 專業(yè)畢業(yè)論文 題目： 微積分對現(xiàn)代科學(xué)的影響 姓 名： 陳亮 2013年 04月 01日 微積分對現(xiàn)代科學(xué)的影響 摘要 ： 從微積分的發(fā)展歷史及各發(fā)展階段數(shù)學(xué)家對微積分所引起的不同爭論 ,來闡述微積分的發(fā)展對整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展所起的影響。 關(guān)鍵字 ： 微積分 ；牛頓 ；萊布尼茲 ；極限 1. 數(shù)學(xué)是自然科學(xué) 的 基礎(chǔ) 數(shù)學(xué)是自然科學(xué)的基礎(chǔ)學(xué)科 , 自然科學(xué)的發(fā)展離不開數(shù)學(xué)的發(fā)展。尤其是數(shù)學(xué)中的微積分理論 ,對整個(gè)自然科學(xué)的發(fā)展起了極大的推動(dòng)作用 ,為自然科學(xué)中一些現(xiàn)象的解釋提供了堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ) ,使有限和無限、連續(xù)和離散、代數(shù)和幾何形成了有機(jī)的結(jié)合與統(tǒng)一。在數(shù)學(xué)的眾多學(xué)科分支中 ,就嚴(yán)謹(jǐn)性、應(yīng)用性和簡潔性而言 ,微積分應(yīng)是最具代表性的學(xué)科之一。微積分以簡潔、優(yōu)美的形式把運(yùn)動(dòng)學(xué)問題、磁場問題、幾何中曲線的切線問 題、函數(shù)中最值問題、曲線長度及曲面面積和立體體積問題總結(jié)于一個(gè)高度統(tǒng)一的理論體系之中。因而 ,這一理論的 產(chǎn)生被譽(yù)為數(shù)學(xué)史上乃至人類文明史上的偉大創(chuàng)造 ,受到歷代數(shù)學(xué)家、物理學(xué)家、哲學(xué)家的盛贊。如果我們對其歷史和現(xiàn)狀作一番認(rèn)真的考究 ,追溯這 一理論產(chǎn)生的歷史 ,將會(huì)使我們更深刻的認(rèn)識到數(shù)學(xué)對自然科學(xué)發(fā)展所起的深刻影響。于此 ,微積分提出之后 ,遭到了許多人的猛烈抨擊 ,其中也包括一些著名的數(shù)學(xué)家。 牛頓繼承和總結(jié)了先輩們的思想 ,作出了自己獨(dú)到的 建樹。他把自己的發(fā)現(xiàn)稱為“流數(shù)術(shù)” ,稱連續(xù)變化的量為流動(dòng)量 ,無限小的時(shí)間間隔為瞬 ,而流量的速度稱為流動(dòng)率或流數(shù)。牛頓的“流數(shù)術(shù)”就是以流量、流數(shù)和瞬為基本概 念的微分學(xué)主觀唯心論哲學(xué)家貝克萊 G. Berkeley是抨擊微積分理論最強(qiáng)有力的人物。他憤恨牛頓的微積分理論給唯物論以支持 ,于是向流數(shù)術(shù)展 開了猛烈的攻擊。 1734 年 ,貝克萊 出版了一本書 :分析學(xué)家 :或一答致不信神數(shù)學(xué)家的論文 ,其中審查一下近代分析學(xué)的對象、原則及論斷是不是比宗教的神秘 ,教義的主旨有更清晰的陳述 ,或更明確的推理在這本書里 ,他嘲笑無窮小量是已死量的幽靈。他說如果取 x 的一個(gè)增量 i ,這里 i代表某一個(gè)不為零的量 ,則 xn 的增量被 i 除便是 nxn- 1+ n (n - 1) xn - 2i + + in - 1,現(xiàn)令 i = 0 2. 關(guān)于微積分的 思想的建立與發(fā)展 2 1 微積分使極限理論更加成熟 我們 知道微積分的基礎(chǔ)是極限論 ,而牛頓、萊布尼茲的極限觀念是十分模糊的 ,牛頓的瞬和流數(shù) ,萊布尼茲的 dx 和 dy 究竟是什么含義 ? 在他們各自的著述中沒有給出明確和一貫的定義 ,在運(yùn)用時(shí)也顯得前后不一。牛頓和萊布尼茲在使用無限小量時(shí) ,有時(shí)視瞬或 dx 為無限小增量 ,而有 時(shí)視之為一個(gè)有限量加以運(yùn)算 ,甚至把它作為零而忽略不計(jì) ,這就在邏輯上造成明顯的矛盾。牛頓曾用有限差值的 最初比和最終比 一種萌芽狀態(tài)的極限概念來說明流數(shù)的意義。但是當(dāng)差值還未達(dá)到零時(shí) ,其比值不是最終的 ,而 當(dāng)差值達(dá)到零時(shí) ,它們比是 0 。怎樣理解這樣的最終比 ,牛頓也承認(rèn)自己的方法只作出“簡略的說明 ,而不是正確的論證。”而萊布尼茲的微積分論文發(fā)表以后 ,連當(dāng)時(shí)在數(shù)學(xué)上頗有造詣的數(shù)學(xué)家 象 Bernoulli 兄弟 也頗感費(fèi)解 :“與其說有一種說明 ,還不如說是一個(gè)謎。”究竟極限是什么 ? 無窮小是什么 ? 在今天很容易理 解。但在十九世紀(jì)以前還是一個(gè)數(shù)學(xué)上本質(zhì)性的難題?；鶚O限思想在當(dāng)時(shí)也散見于各個(gè)時(shí)代著作中 ,如中國莊子 天下篇中“一尺之棰”、 Zeno 悖論、 Endoxus 的“窮竭法”、劉微的“割圓術(shù)”等和極限思想有直接關(guān)系 ,但這些都 只能說是對極限有些模糊認(rèn)識而已。十八世紀(jì) ,許多數(shù)學(xué)家為維護(hù)微積分的應(yīng)用價(jià)值和美學(xué)價(jià)值 ,在回?fù)魜碜詳?shù)學(xué)界內(nèi)外的攻擊同時(shí) ,竭盡所能使微積分在理論上嚴(yán)密化、邏輯化 ,在形式更趨完美。在十八世紀(jì)前期 ,許多數(shù)學(xué)家 ,尤其是英國數(shù)學(xué)家總是企圖使微積分與歐幾里得幾何結(jié)合起來 ,他們試圖借助于幾何學(xué)中論證之嚴(yán)謹(jǐn)體系去完善微積分。但這一努力是失敗的 ,打破這 一僵局的大數(shù)學(xué)家歐拉 ,他以代數(shù)方式研究微積分 ,力圖用形式演算方式代替累贅的幾何語言 ,使微積分建立在算術(shù) 和代數(shù)基礎(chǔ)上。達(dá)朗貝爾把牛頓的“最終比”發(fā)展為一種極 限概念 ,并試圖用極限加以定義和說明。他認(rèn)為應(yīng)以極限 理論作為微積分的理論基礎(chǔ) ,這一思想在數(shù)學(xué)界產(chǎn)生了極其深遠(yuǎn)的影響。直到 1821 年以后 ,柯西出版他的分析教 程、無窮小計(jì)算講義、無窮小計(jì)算在幾何中應(yīng)用這幾部具劃時(shí)代意義的名著之后 ,微積分一系列基礎(chǔ)概念及理正式明確地確定下來。自此以后 ,連續(xù)、導(dǎo)數(shù)、微分、積分、無窮級數(shù)的和概念也建立較堅(jiān)實(shí)的理論基礎(chǔ)之上 極限理論。我們現(xiàn)在所謂的極限的柯西定義或 年之后半個(gè)世紀(jì)經(jīng)過維爾斯特拉斯的加工才完成的?？挛靼颜麄€(gè)極限過程用不等式來刻畫 ,使無窮的 運(yùn)算化為一系 列不等式的推導(dǎo)。維爾斯特拉斯將柯西的完成了現(xiàn)今的 - 方法 ,形成了微積分的嚴(yán)謹(jǐn)之美。 2 2 微積分 狀態(tài)與過程的統(tǒng)一 微積分是十七世紀(jì)數(shù)學(xué)所達(dá)到的最高成就。微積分出 現(xiàn)以后 ,逐漸顯示出它非凡的威力 ,過去許多數(shù)學(xué)家束手無策的問題 ,至此迎刃而解。恩格斯指出 :“只有微分學(xué)才能使自然科學(xué)有可能用數(shù)學(xué)來不僅表明狀態(tài) ,并且也表明過程 :運(yùn)動(dòng)。” 然而 ,在十九世紀(jì)以前 ,微積分理論歷史發(fā)展始終包含著矛盾 :一方面純粹分析及其應(yīng)用領(lǐng)域中呈現(xiàn)出一個(gè)接一個(gè)的偉大發(fā)現(xiàn)與成就 ；另一方面則是基 礎(chǔ)理論的含糊性。事實(shí)上 ,無論是牛頓還是萊布尼茲 ,他們對微積分所作的論 證都是不很嚴(yán)謹(jǐn)?shù)暮筒磺宄摹?在歐洲大陸方面 ,萊布尼茲的含糊也招致了尼文 Nieuwentijt ,荷蘭哲學(xué)家 的反對。荷蘭的物理學(xué)家和幾何學(xué)家紐文 B.Nieuwentydt 也就一系列問題公開提出質(zhì)問 :無限小量與零怎樣區(qū)別 ? 無限個(gè)無限小量之和為什么能夠是 有限量 ? 在推理過程中為什么能舍棄無限小量 ? 包括一大 批數(shù)學(xué)家也群起而攻之。盡管他們承認(rèn)微積分的效用 ,欣賞微積分的美學(xué)價(jià)值 ,但卻不能容忍這種方法的理論本身如此含糊甚 至令人感到荒謬。法國數(shù)學(xué)家羅爾 M. Rolle微積分為 :“巧妙的謬論的匯集?！狈▏枷爰曳鼱柼﹦t說微積分是一種“精確的計(jì)算和度量其存在無從想象的東西的藝術(shù)”。貝克萊和尼文太對微積分的攻擊純粹是消極的 ,他們不能給微積分以嚴(yán)格的基礎(chǔ) ,但他們的論點(diǎn)都有一定道理 ,在一定程度上它激勵(lì)了微積分進(jìn)一步的建設(shè)性工作。例如突變函數(shù)論、非 線性泛函分析等學(xué)科的建立。因此 ,人們追求數(shù)學(xué)美 ,以達(dá)到精神上的愉悅 ,而這一點(diǎn)正是通過數(shù)學(xué)家經(jīng)由數(shù)學(xué)的“神秘美”、“奇異美”和“朦朧美” ,而最終達(dá)到 完備的“統(tǒng)一美”和“和諧美”。 2.3微積分 分析與幾何的統(tǒng)一 微積分的本原問題是指它同現(xiàn)實(shí)世界的關(guān)系問題，即它是產(chǎn)生于存在還是產(chǎn)生于純思維的問題。唯物主義與唯心主義有著根本不同的看法。唯心主義認(rèn)為純數(shù)學(xué)產(chǎn)生于純思維。它可以先驗(yàn)地，不需利用外部世界給我們提供的經(jīng)驗(yàn)，而從頭腦中創(chuàng)造出來。杜林、康德、貝克萊等唯心主義者就是這種觀點(diǎn)的代表。牛頓、萊布尼茨是微積分的創(chuàng)立者。他們分別在研究質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)和曲線的性質(zhì)中，不自覺地把客觀世界中的運(yùn)動(dòng)問題引進(jìn)了數(shù)學(xué)。各自獨(dú)立地創(chuàng)立了微積分。這個(gè)功勞是應(yīng)該肯定的。但是，他們沒有很好注意到微積分同現(xiàn)實(shí)世界 的親緣關(guān)系。其運(yùn)算出發(fā)點(diǎn)是先驗(yàn)的。所以，馬克思把牛、萊的微積分稱為 “神秘的微分學(xué) ”唯物主義認(rèn)為，微積分同所有的科學(xué)一樣，它起源經(jīng)驗(yàn)，然后又脫離外部世界，具有高度抽象性和相對獨(dú)立性的一門嶄新的科學(xué)恩格斯指出： “數(shù)學(xué)是從人的需要中產(chǎn)生的 ”微積分是從生產(chǎn)斗爭和科學(xué)實(shí)驗(yàn)的需要中產(chǎn)生的。生產(chǎn)實(shí)踐對微積分的創(chuàng)立起著決定的作用。從十五世紀(jì)開始，資本主義在西歐封建社會(huì)內(nèi)部逐漸形成。到十七世紀(jì)，資本主義生產(chǎn)方式有了巨大發(fā)展。隨著生產(chǎn)發(fā)展，自然科學(xué)技術(shù)也雨后春筍般地發(fā)展起來了。它們跑出來向數(shù)學(xué)敲門，提出了大量研究新課題。微積分 的創(chuàng)立就是為了處理十六、十七世紀(jì)在生產(chǎn)實(shí)踐和科學(xué)實(shí)驗(yàn)中所遇到的一系列新問題。這些問題歸納起來大致分為四類：一是已知物體運(yùn)動(dòng)的路程與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求速度和加速度；反過來，已知物體運(yùn)動(dòng)的速度和加速度與時(shí)間的函數(shù)關(guān)系，求路程。二是求曲線的切線。三是求函數(shù)的極大值、極小值。四是求曲線的弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積等求積問題上述四類問題，形式各不相同，但有著共同的本質(zhì)，即都是反映客觀事物的矛盾運(yùn)動(dòng)過程。其中的量都在不斷變化著。因此，研究常量的初等數(shù)學(xué)無法解決這些問題。生產(chǎn)和科研的需要，促使數(shù)學(xué)由研究常 量向研究變量轉(zhuǎn)化。于是微積分在傳統(tǒng)代數(shù)學(xué)的長期孕育中，經(jīng)解釋幾何這個(gè) “助產(chǎn)婆 ”的接生 “而分娩了 ”。所以，恩格斯說： “數(shù)學(xué)的轉(zhuǎn)折點(diǎn)是笛卡爾的變數(shù)。有了變數(shù)，運(yùn)動(dòng)進(jìn)入了數(shù)學(xué)。有了變數(shù)，辯證法進(jìn)入了數(shù)學(xué)。有了變數(shù)，微分學(xué)和積分學(xué)也就立刻成了必要的了 ”。 3.牛頓 萊布尼茨公式 聯(lián)結(jié)微分與積分的橋梁 唯物辯證法是關(guān)于普遍聯(lián)系的科學(xué)。微分與積分是一對矛盾的兩個(gè)方面。它們之間的聯(lián)系集中表現(xiàn)在互逆關(guān)系上。微分是已知原函數(shù)求導(dǎo)數(shù)（微商）；積分則是已知導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)。微分與積分的互逆關(guān)系，揭示了導(dǎo)數(shù)與原函數(shù)的對立統(tǒng)一關(guān) 系。原函數(shù)經(jīng)過微分轉(zhuǎn)化為導(dǎo)數(shù)。導(dǎo)數(shù)在積分過程中又還原為原函數(shù)。微分與積分相互轉(zhuǎn)化的辯證過程普遍存在于自然界中。前面 說過，水分子的蒸發(fā)與凝聚的過程就是微分與積分矛盾轉(zhuǎn)化的過程；在幾何學(xué)中長與寬、面積與體積的相互轉(zhuǎn)化；在物理學(xué)中路程與速度、速度與加速度的相互轉(zhuǎn)化，都可以用微分與積分相互轉(zhuǎn)化來描述。微分與積分這種相互聯(lián)系、相互轉(zhuǎn)化的辯證內(nèi)容盡管在現(xiàn)實(shí)世界早已存在。但在數(shù)學(xué)領(lǐng)域里，這種互逆關(guān)系在 “牛頓 萊布尼茨公式 ”誕生前一直被隱藏，未被人們所認(rèn)識。這是因?yàn)槲⒎峙c積分在發(fā)展歷史上各有淵源。在幾何學(xué)中，前者和計(jì)算切線的斜率有關(guān)。后者則和計(jì)算曲邊形的面積相聯(lián)系。牛頓、萊布尼茨之所被認(rèn)為是微積分的創(chuàng)立者，主要是他們發(fā)現(xiàn)了微分與積分的互逆關(guān)系，找到了根據(jù)導(dǎo)數(shù)求原函數(shù)的一種簡便方法，從而把表面上互不相干的兩種運(yùn)算統(tǒng)一起來了，使微分與積分成為一種普遍意義的強(qiáng)有力的數(shù)學(xué)方法，為數(shù)學(xué)的發(fā)展開發(fā)開辟了一條新的康莊大道。 牛頓 萊布尼茨公式是微積分的基本原理。它表述為設(shè)函數(shù) （ x)在（ ab)上連續(xù)。如果函數(shù) F（ x)是函數(shù) （ x)的一個(gè)原函數(shù)，則有： b （ x)dx F（ b)-F（ a) a 這個(gè)公式左邊是一個(gè)定積分，右邊是原函數(shù)在（ ab）兩端值的差。它把數(shù)軸在一個(gè)區(qū)間的定積分同這個(gè)區(qū)間端點(diǎn)的原函數(shù)聯(lián)系起來了，揭示了微分與積分的對立統(tǒng)一關(guān)系 。為了說明這個(gè)問題，我們從分析具體問題入手，先來考察質(zhì)點(diǎn)在直線上的變速運(yùn)動(dòng)。設(shè)時(shí)刻 t 時(shí)質(zhì)點(diǎn)在直線上的位置是 s（ t)，那么從時(shí)刻 t a 到時(shí)刻 t b 這一區(qū)間，質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的路程為 s（ b)-s（ a)。這是質(zhì)點(diǎn)運(yùn)動(dòng)的一個(gè)方面。 再從另一個(gè)方面看。設(shè)已知質(zhì)點(diǎn)在時(shí)刻 t 內(nèi)的瞬時(shí)速度為 u(t)，我們用另一種方法可從 u（ t)計(jì)算出質(zhì)點(diǎn)所走過的路程為： b u（ t)dta 由于這兩個(gè)表達(dá)式都是表示同一質(zhì)點(diǎn)在同一時(shí)間內(nèi)所走過的路程，因而應(yīng)該是相等的，即 b u（ t)dt S(b)-S（ a) a 從微分角度看，路程函數(shù) S(t)的微商是速度函數(shù) u(t)dS(t) u(t) 或 dS（ t) u（ t)dt dt b 從積分角度看，速度函數(shù) u（ t)的積分值 u（ t)dt a 表達(dá)了路程函數(shù) S(t)的兩點(diǎn)值之差 S（ b)-S(a)。這里的 b 是任意固定的，有一個(gè) b就有一個(gè) S（ b)與之對應(yīng)。這樣當(dāng)我們深入一步，從運(yùn)動(dòng)的角度看公式時(shí)，即把 b 視為變量 t，它給出了用定積分表達(dá)路程函數(shù)的方法： t u(t)dt S（ t)-S（ a) a t 這就用變上限的積分 u(t)dt表達(dá)了路程函數(shù) S（ t)。因而 a dF（ x) (x)dx在區(qū)間（ ab）上的無限積累。微分與積分的同一性與差異性都包函在牛 萊公式之中。其同一性的一面是微分與積分共處于牛 萊公式之中，互相依存，互相貫通，在一定的條件下相互轉(zhuǎn)化。原函數(shù)在微分條件下轉(zhuǎn)化為導(dǎo)函數(shù)；導(dǎo)函數(shù)在積分條件下轉(zhuǎn)化為原函數(shù)。微分把 “有限 ”轉(zhuǎn)化 為 “無限 ”，而積分又把 “無限 ”轉(zhuǎn)化 為 “有限 ”。牛 萊公式就是在這種 “有限 無限 有限 ”的轉(zhuǎn)化 中，把定積分計(jì)算變?yōu)椴欢ǚe分計(jì)算，把繁雜的極限計(jì)算轉(zhuǎn)化為原函數(shù)兩點(diǎn)值之差的運(yùn)算。從而找到了計(jì)算定積分的捷徑。然而，牛 萊公式的兩邊不是絕對 的同一，絕對的統(tǒng)一，絕對的轉(zhuǎn)化，而的有差別的同一，對立的統(tǒng)一，有條件的轉(zhuǎn)化。公式的兩邊僅僅是數(shù)量上的同一，兩邊各自的性質(zhì)、地位與作用并不相同。這個(gè)不同正是微分與積分的差異性，即互逆關(guān)系的表現(xiàn)。歸納起有三個(gè)方面：其一，兩者所反映的事物性質(zhì)不同。在物理學(xué)中微分所描述的是物體運(yùn)動(dòng)的路程向速度轉(zhuǎn)化以及速度向加速度轉(zhuǎn)化的過程；而積分卻反其道而行之，它描寫的是加速度轉(zhuǎn)化為速度，速度轉(zhuǎn)化為路程的過程。在幾何學(xué)中微分就是求曲線的切線；而積分是求弧長，求曲線所圍成的面積，曲面所圍成的體積。一般地講，微分就是已知函數(shù)求函數(shù)的變 化率；而積分是根據(jù)函數(shù)的變化率求函數(shù)。其二、兩者所處的地位不同。在微分與積分這對矛盾中，一般地說微分是矛盾的主要方面，居于支配地位；積分是矛盾的次要方面，居于被支配地位。微分是積分運(yùn)算的前提和基礎(chǔ)。進(jìn)行積分運(yùn)算，首先要 “化整為零 ”，進(jìn)行無限分割，即微分。無微分就不可能進(jìn)行積分。但是積分又不是消極被動(dòng)的。在導(dǎo)函數(shù)向原函數(shù)轉(zhuǎn)化過程中，最后是由積分來完成的。沒有積分就無法完成這一轉(zhuǎn)化。其三、各自的作用不同。微分是把整體分成無限多個(gè)無窮小量，完成以 “直 ”代 “曲 ”的轉(zhuǎn)化；而積分又把無窮多的無限小量累積起來，實(shí)現(xiàn)以 “以 曲代直 ”。微積分的 “曲 ”與 “直 ”、 “有限 ”與 “無限 ”的相互轉(zhuǎn)化 正是在微分與積分的相互作用、相互制約下實(shí)現(xiàn)的。它推動(dòng)微積分的基本矛盾 “直 ”與 “曲 ”， “勻 ”與 “不勻 “的矛盾運(yùn)動(dòng)，解決了初等數(shù)學(xué)無法解決的矛盾。 4 實(shí)際問題思想的具體表現(xiàn) 說明 連續(xù)、可導(dǎo)、可微問題 微積分中對于無窮大與無界、極大 (小 )值與最大 (小 )值以及可導(dǎo)與連續(xù)等容易混淆的概念之間的關(guān)系，可以通過運(yùn)用適當(dāng)?shù)姆蠢M(jìn)行準(zhǔn)確理解把握。同時(shí)也能培養(yǎng)與提高學(xué)生的辯證思維能力。 情形 1 若函數(shù) f（ x）在 a 連續(xù)， 則函數(shù) f（ x）在 a 也連續(xù)， 但其逆命題不成立。 反例：函數(shù) f（ x） =1， x?叟 0-1， x0，總存在 x=n，當(dāng) n時(shí)，有 f（ x） =n cosn =n G 然而，當(dāng) x時(shí)，若取 x=n +此時(shí) f（ x） =n +cosn +=0。即 f（ x）并不趨于。 4 函數(shù)的極大 (小 )值與最大 (小 )值問題 情形 94可導(dǎo)函數(shù)的極值點(diǎn)一定是函數(shù)的駐點(diǎn)，但駐點(diǎn)不一定是函數(shù)的極值點(diǎn)。 反例： x=0 是函數(shù) f（ x） =x3 的駐點(diǎn)，但不是其極值點(diǎn)。 情形 10 函數(shù) f（ x） 的極大 (小 )值不一定就是最大 (小 )值。 反例：函數(shù) f（ x） =x-4x+3x+1， x -1， 3，由于 f（ x） =4x-8x+3=4（ x-1） -1，易見 x=或 x=為 f（ x）的穩(wěn)定點(diǎn)