材料力學(xué)應(yīng)力分析.ppt

應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 單元體 一點應(yīng)力狀態(tài)的描述 1概述 dx dy dz 微小的正六面體 單元體某斜截面上的應(yīng)力就代表了構(gòu)件內(nèi)對應(yīng)點同方位截面上的應(yīng)力 過一點不同方向面上應(yīng)力的集合 稱之為這一點的應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài) 1概述 B C 單向受力 0 A 純剪切 0 D 既有 又有 應(yīng)力狀態(tài) 示例一 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 1 同一點的應(yīng)力狀態(tài)可以有各種各樣的描述方式 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 示例二 橫截面 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 橫截面 2 3 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力 主平面上的正應(yīng)力 主平面 單元體上切應(yīng)力為零的平面 通過任意的受力構(gòu)件中任意一點 總可以找到三個相互垂直的主平面 因此每一點都有三個主應(yīng)力 以 1 2和 3表示 且 s1 s2 s3 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 三個主應(yīng)力 1 2和 3全部不為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為三向 空間 應(yīng)力狀態(tài) 1概述 定義 三個主應(yīng)力 1 2和 3中兩個不為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為二向 平面 應(yīng)力狀態(tài) 三個主應(yīng)力 1 2和 3中一個不為零的應(yīng)力狀態(tài)稱為單向應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力狀態(tài) 單向應(yīng)力狀態(tài) 純剪應(yīng)力狀態(tài) 1概述 應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 解析法 應(yīng)力狀態(tài) 方向角與應(yīng)力分量的正負(fù)號約定 單元體的局部平衡 平面應(yīng)力狀態(tài)中任意方向面上的正應(yīng)力與切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 1 正應(yīng)力正負(fù)號約定 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 使單元體或其局部順時針方向轉(zhuǎn)動為正 反之為負(fù) 切應(yīng)力正負(fù)號約定 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 由x正向逆時針轉(zhuǎn)到n正向者為正 反之為負(fù) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 平衡對象 用ef斜截面截取的單元體局部 2 利用截面法及單元體局部的平衡方程 dA sin 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 參加平衡的量 應(yīng)力乘以其作用的面積 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) dA 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 解得 用斜截面截取 此截面上的應(yīng)力為 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 因此 即單元體兩個相互垂直面上的正應(yīng)力之和是一個常數(shù) 即又一次證明了切應(yīng)力的互等定理 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 切應(yīng)力 x y 0的方向面 稱為主平面 其方向角用 0表示 平面應(yīng)力狀態(tài)的極值與主應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 將上式對 求一次導(dǎo)數(shù) 并令其等于零 有 由此解出的角度 角度與 0具有完全一致的形式 這表明 主應(yīng)力具有極值的性質(zhì) 即當(dāng)坐標(biāo)系繞z軸 垂直于xy坐標(biāo)面 旋轉(zhuǎn)時 主應(yīng)力為所有坐標(biāo)系中正應(yīng)力的極值 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 平面應(yīng)力狀態(tài)的三個主應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 以后將按三個主應(yīng)力代數(shù)值由大到小順序排列 并分別用 表示 即 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 由此得出另一特征角 用 1表示 對 求一次導(dǎo)數(shù) 并令其等于零 得到 與正應(yīng)力相類似 不同方向面上的切應(yīng)力亦隨著坐標(biāo)的旋轉(zhuǎn)而變化 因而剪應(yīng)力亦可能存在極值 為求此極值 將 面內(nèi)最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 得到 x y 的極值 需要特別指出的是 上述切應(yīng)力極值僅對垂直于xy坐標(biāo)面的方向面而言 因而稱為面內(nèi)最大切應(yīng)力與面內(nèi)最小切應(yīng)力 二者不一定是過一點的所有方向面中切應(yīng)力的最大和最小值 面內(nèi)最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 為確定過一點的所有方向面上的最大切應(yīng)力 可以將平面應(yīng)力狀態(tài)視為有三個主應(yīng)力 1 2 3 作用的應(yīng)力狀態(tài)的特殊情形 即三個主應(yīng)力中有一個等于零 考察單元體三對面上分別作用著三個主應(yīng)力 1 2 3 0 的應(yīng)力狀態(tài) 過一點所有方向面中的最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 考察單元體三對面上分別作用著三個主應(yīng)力 1 2 3 0 的應(yīng)力狀態(tài) 過一點所有方向面中的最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) x 3 y 2 xy 0 這就是 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 在平行于主應(yīng)力 1方向的任意方向面 上 正應(yīng)力和切應(yīng)力都與 1無關(guān) 因此 當(dāng)研究平行于 1的這一組方向面上的應(yīng)力時 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 在平行于主應(yīng)力 2方向的任意方向面 上 正應(yīng)力和切應(yīng)力都與 2無關(guān) 因此 當(dāng)研究平行于 2的這一組方向面上的應(yīng)力時 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài) x 1 y 3 xy 0 這就是 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) x 1 y 2 xy 0 在平行于主應(yīng)力 3方向的任意方向面 上 正應(yīng)力和切應(yīng)力都與 3無關(guān) 因此 當(dāng)研究平行于 3的這一組方向面上的應(yīng)力時 所研究的應(yīng)力狀態(tài)可視為一平面應(yīng)力狀態(tài) 這就是 組方向面內(nèi)的最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 一點應(yīng)力狀態(tài)中的最大切應(yīng)力 必然是上述三者中最大的 即 過一點所有方向面中的最大剪應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 圖解法 應(yīng)力狀態(tài) 1 應(yīng)力圓方程 1 2 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 應(yīng)力圓 應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值對應(yīng)著單元體某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 在t s坐標(biāo)系中 標(biāo)定與單元體A D面上應(yīng)力對應(yīng)的點a和d A D 2 應(yīng)力圓的畫法 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 3 幾種對應(yīng)關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 點面對應(yīng) 應(yīng)力圓上某一點的坐標(biāo)值對應(yīng)著單元體某一方向上的正應(yīng)力和切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 轉(zhuǎn)向?qū)?yīng) 應(yīng)力圓上的半徑旋轉(zhuǎn)方向與單元體上方向面法線旋轉(zhuǎn)方向一致 C 二倍角對應(yīng) 應(yīng)力圓上的半徑轉(zhuǎn)過的圓心角是單元體上方向面旋轉(zhuǎn)角度的兩倍 sx txy o 2qp 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 4 應(yīng)力圓的應(yīng)用 信息源 思維分析的工具 而不是計算工具 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 點面對應(yīng) 轉(zhuǎn)向相同 夾角兩倍 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力的確定 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力排序 s1 s2 s3 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) s1 s2 s1 sx txy 主方向的確定 負(fù)號表示從主應(yīng)力的正方向到x軸的正方向為順時轉(zhuǎn)向 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力與主方向的對應(yīng)關(guān)系 小 主應(yīng)力中小的 偏小 x和 y中小的 大 主應(yīng)力中大的 偏大 x和 y中大的 夾角不比450大 假設(shè) x y 則 max與 x的夾角小于450 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) d a c 5 基本變形的應(yīng)力狀態(tài) 單向拉伸 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 單向拉伸 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 可見 45 方向面既有正應(yīng)力又有切應(yīng)力 但正應(yīng)力不是最大值 切應(yīng)力卻最大 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) B E 純剪切 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 純剪切 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 結(jié)果表明 45 方向面只有正應(yīng)力沒有切應(yīng)力 而且正應(yīng)力為最大值 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) A D 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 1 斜面上的應(yīng)力 一 解析法 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 解 應(yīng)力狀態(tài) 2 主應(yīng)力 主平面 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 主平面的方位 哪個主應(yīng)力對應(yīng)于哪一個主方向 可以采用以下方法 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力的方向 主應(yīng)力的方向 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 二 圖解法 f 解 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 主應(yīng)力單元體 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 已知 三向應(yīng)力狀態(tài)如圖所示 圖中應(yīng)力的單位為MPa 例2 2 試求 主應(yīng)力及單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 故單元體上平行于的方向面上的應(yīng)力值與無關(guān) 因此 當(dāng)確定這一組方向面上的應(yīng)力 以及這一組方向面中的主應(yīng)力和時 可以將所給的應(yīng)力狀態(tài)視為平面應(yīng)力狀態(tài) 解 所給的應(yīng)力狀態(tài)中有一個主應(yīng)力是已知的 即 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 本例中 x 20MPa xy 40MPa 據(jù)此 求得 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 根據(jù) 1 2 3的排列順序 可以寫出 單元體內(nèi)的最大切應(yīng)力 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 重要應(yīng)用實例 承受內(nèi)壓薄壁容器任意點的應(yīng)力狀態(tài) 壁厚為 內(nèi)直徑為D D 內(nèi)壓為p 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 承受內(nèi)壓薄壁容器任意點的應(yīng)力狀態(tài) 2平面應(yīng)力狀態(tài)分析 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 空間 三向 應(yīng)力狀態(tài) 三個主應(yīng)力均不為零的應(yīng)力狀態(tài) 特例 三個主應(yīng)力及其主方向均已知 定義 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓 考察單元體三對面上分別作用著三個主應(yīng)力 1 2 3 0 的應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 由s2 s3可作出應(yīng)力圓I 三向應(yīng)力狀態(tài)的應(yīng)力圓 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 由s1 s3可作出應(yīng)力圓II I 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) II I 由s1 s2可作出應(yīng)力圓III 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) s1 II I s3 III s2 單元體任意方向面上的應(yīng)力對應(yīng)著三個應(yīng)力圓之間某一點的坐標(biāo) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) s1 II I s3 III s2 最大切應(yīng)力 tmax 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 tmax 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 例3 1 求圖示應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力和最大切應(yīng)力 應(yīng)力單位為MPa 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 解 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 例3 2試根據(jù)圖a所示單元體各面上的應(yīng)力作出應(yīng)力圓 并求出主應(yīng)力和最大切應(yīng)力的值及它們的作用面方位 a 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 解 1 圖a所示單元體上正應(yīng)力 z 20MPa的作用面 z截面 上無切應(yīng)力 因而該正應(yīng)力為主應(yīng)力 2 與主平面z截面垂直的各截面上的應(yīng)力與主應(yīng)力 z無關(guān) 故可畫出顯示與z截面垂直各截面上應(yīng)力隨截面方位角變化的應(yīng)力圓 a 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 從圓上得出兩個主應(yīng)力46MPa和 26MPa 這樣就得到了包括 z 20MPa在內(nèi)的三個主應(yīng)力 他們按代數(shù)值大小排序為 1 46MPa 2 20MPa 3 26MPa b a 3 依據(jù)三個主應(yīng)力值作出的三個應(yīng)力圓如圖b所示 應(yīng)力狀態(tài) 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 2a0 34 可知為a0 17 且由x截面逆時針轉(zhuǎn)動 如圖c中所示 c b 應(yīng)力狀態(tài) 例3 3 tmax 求 平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力 1 2 3和最大切應(yīng)力tmax 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 例3 4 求 平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力 1 2 3和最大切應(yīng)力tmax 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 例3 5 求 平面應(yīng)力狀態(tài)的主應(yīng)力 1 2 3和最大切應(yīng)力tmax 3空間應(yīng)力狀態(tài)概念 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 1 橫向變形與泊松比 泊松比 廣義胡克定律 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 2 三向應(yīng)力狀態(tài)的廣義胡克定律 疊加法 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 分析 1 即 2 當(dāng)時 即為二向應(yīng)力狀態(tài) 3 當(dāng)時 即為單向應(yīng)力狀態(tài) 即最大與最小主應(yīng)變分別發(fā)生在最大與最小主應(yīng)力方向 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 4 若單元體上作用的不是主應(yīng)力 而是一般的應(yīng)力時 則單元體不僅有線變形 而且有切變形 其應(yīng)力 應(yīng)變關(guān)系為 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 3 三個彈性常數(shù)之間的關(guān)系 這表明 對于各向同性材料 三個彈性常數(shù)中 只有兩個是獨立的 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 例4 1 已知一圓軸承受軸向拉伸及扭轉(zhuǎn)的聯(lián)合作用 為了測定拉力F和力矩m 可沿軸向及與軸向成45 方向測出線應(yīng)變 現(xiàn)測得軸向應(yīng)變 45 方向的應(yīng)變?yōu)?若軸的直徑D 100mm 彈性模量E 200GPa 泊松比 0 3 試求F和m的值 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 解 1 K點處的應(yīng)力狀態(tài)分析 在K點取出單元體 K 其橫截面上的應(yīng)力分量為 2 計算外力F 由廣義胡克定律 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 解得 3 計算外力偶m 已知 式中 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 由 解得 因此 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 例4 2 已知一受力構(gòu)件自由表面上某點處的兩主應(yīng)變值為 1 240 10 6 3 160 10 6 構(gòu)件材料為Q235鋼 彈性模量E 210GPa 泊松比 0 3 試求該點處的主應(yīng)力數(shù)值 并求該點處另一主應(yīng)變 2的數(shù)值和方向 解 由題意可知 點處于平面應(yīng)力狀態(tài)且 由廣義胡克定律 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 可得 是縮短的主應(yīng)變 其方向沿構(gòu)件表面的法線方向 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 例4 3 邊長為0 1m的銅方塊 無間隙地放入變形可略去不計地剛性凹槽中 已知銅的彈性模量E 100GPa 泊松比 0 34 當(dāng)銅塊受到F 300kN的均布壓力作用時 試求銅塊的三個主應(yīng)力的大小 解 銅塊橫截面上的壓應(yīng)力為 應(yīng)力狀態(tài) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 由題意 按主應(yīng)力的代數(shù)值順序排列 得該銅塊的主應(yīng)力為 應(yīng)力狀態(tài) 變形前單元體體積 變形后單元體體積 0 體積應(yīng)變 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 單位體積變形 體積應(yīng)變 利用廣義胡克定律 式中 體積彈性模量 平均正應(yīng)力 體積應(yīng)變胡克定律 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 討論 1 單位體積變形只與三個主應(yīng)力之和有關(guān) 與主應(yīng)力的大小比例無關(guān) 2 因為 因此與取軸方向無關(guān) 且三個相互垂直面上的正應(yīng)變之和不變 例如純剪切應(yīng)力狀態(tài) 3 若或 則 即體積不變 但因此僅當(dāng)時 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 結(jié)論 純剪切應(yīng)力狀態(tài) 具有體積不變性 說明體積改變與切應(yīng)力 無關(guān) 但形狀有改變 即形狀改變與切應(yīng)力有關(guān) 4應(yīng)力應(yīng)變間關(guān)系 應(yīng)力狀態(tài) 5應(yīng)變能密度 應(yīng)力狀態(tài) 1 單元體應(yīng)變能 dy dx dz 力的作用點所產(chǎn)生的位移 5應(yīng)變能密度 應(yīng)力狀態(tài) U dW