在“圓”的世界里領悟數(shù)學思想[文檔資料]

在 “ 圓 ” 的世界里領悟數(shù)學思想 本文檔格式為 WORD,感謝你的閱讀。 古希臘數(shù)學家畢達哥拉斯認為，一切立體圖形最美是球，一切平面圖形最美是圓 . 而圓的學習，不僅要熟練掌握基礎知識，更要重視思想的學習 . 數(shù)學思想方法是數(shù)學的精髓，也是將理論知識轉化為實踐技能的橋梁 . 本文就帶領同學們到 “ 圓 ” 的世界里挖掘蘊含其中的數(shù)學思想，領略它美麗的風采 . 一、 轉化思想 轉化思想是數(shù)學中最基本最重要的思想之一，它的實質是揭示問題的聯(lián)系 . 通常要 同學們把未知轉化成已知，將題目中不確定的關系轉化成確定的關系，將一般情況轉化成特殊情況來處理 . 1. 圓中弧長和弦長的相互轉化 例 1 如圖 1， BC是 O 的直徑， BD與 EC是弦，BD=EC，說明 AB=AC. 【分析】同學們的思路很清晰，會利用等角對等邊，把說明邊相等的問題轉化成說明角相等的問題 . 如圖 2，一部分同學通過說明三角形全等，實現(xiàn) B=C. 這種方法很好，利用了圓的半徑處處相等的隱含條件構造全等三角形實現(xiàn)角度轉化 . 還有一部分同學會利用同圓中弧和這條弧所對的弦的關系，把 弦相等的問題轉化成弧相等 . 即通過 BD=EC 說明= ，進一步說明 = ，從而實現(xiàn) B=C. 比較兩種方法，利用圓中弧和弦的相互轉化是解決圓中線段問題的有效手段 . 練習：如圖 3， CD 是 ABC 外角 MCA 的平分線， CD 與ABC 的外接圓交于點 D. （ 1） 若 BCA=60 ，說明 ABD 是等邊三角形；（ 2） 設點 F 為 上一點，且 = ， DF的延長線交 BA的延長線于點 E，說明 ACAF=DFFE. 【分析】第二小題中要利用 = ，說明CDB=FDA ，進一步得 C DA=FDB ，從而得 FAE=CDA ，為相似創(chuàng)造條件，得到 ACAF=DCFE. 其次利用同弧所對的圓周角相等，對圓周角轉化后得到 DBA=DAB ，進一步轉化為 = ，得到 = ，從而得到 DC=DF. 2. 圓中同弧所對圓周角、圓心角的轉化 例 2 如圖 4， AD是 ABC 外接圓的直徑， AD=6 cm，DAC=ABC ，求 AC的長 . 【分析】連接 DC，如圖 5，利用同弧 ，就可以得到ABC 與 ADC 相等，在 RtACD 中實現(xiàn)求 AC的目標 . 所以同學們在圓中要善于觀察同弧所 對的圓周角 . 必要時構造同弧所對的圓周角轉化已知角度 . 練習：如圖 6，在 O 中， AB是直徑， CD 是弦，ABCD. （ 1） P 是 上一點（不與 C、 D 重合），說明：CPD=COB ； （ 2） 點 P 在劣弧 CD上（不與 C、 D 重合）時，CPD 與 COB 有什么數(shù)量關系？ 【分析】（ 1） 如圖 6，連接 OD，由垂徑定理可知，= ，得到 COB=COD ，由同弧所對的圓周角等于圓心角的一半，可知 CPD=COD ，故 CPD=COB. （ 2） 由于 CPD+ CPD=180 ， CPD=COB ，故CPD+COB=180. 二、 分類討論思想 分類討論在圓中也經(jīng)常運用到，分類時必須遵循三條原則：（ 1） 分類標準必須統(tǒng)一；（ 2） 任何兩種情況不能重復；（ 3） 每一種情況都不能遺漏 . 例 3 A、 B、 C、 D 都在 O 上， ABCD ， AB=24，CD=10， O 半徑為 13，求以 A、 B、 D、 C 為頂點的梯形的面積 . 【分析】由于圓是軸對稱圖形，僅僅已知弦長，在圓中的位置是不確定的，所以要分兩種情況進行討論 . 如圖 7，分 CD在 優(yōu)弧 和劣弧 上 . 利用垂徑定理，我們可以分別求得梯形 ABDC 的高 . 練習：（ 2012 江蘇南京）如圖 8， A、 B 為 O 上的兩個定點， P 是 O 上的動點（ P 不與 A、 B 重合），我們稱APB 為 O 上關于 A、 B 的滑動角 . （ 1） 已知 APB 是 O 上關于點 A、 B 的滑動角 . 若 AB 為 O 的直徑，則 APB=_ ； 若 O 半徑為 1， AB= ，求 APB 的度數(shù) . （ 2） 已知 O2為 O1 外一點，以 O2為圓心作一個圓與 O1 相交于 A、 B 兩點， APB 為 O1 上關 于點 A、 B 的滑動角，直線 PA、 PB分別交 O2 于點 M、 N（點 M 與點 A、點 N與點 B 均不重合），連接 AN，試探索 APB 與 MAN 、 ANB之間的數(shù)量關系 . 【分析】（ 1） AB 為圓 O 的直徑， APB=90. 故答案為： 90. 如圖 9，連接 OA、 OB、 AB， 圓 O 半徑為 1，AB= ， OA2+OB2=AB2 ， AOB=90 ， 若點 P 在優(yōu)弧 AB上，則 AP1B=AOB=45 ； 若點 P 在劣弧 AB上，則 AP2B=180 -AP1B =135. APB 的度數(shù)為 45 或 135. （ 2） 同學們要探究 APB 與 MAN 、 ANB 的關系，就要考慮點 P、 M、 N 在圓中的位置，三個不定點要去研究，分類討論的標準是一個難點 . 如圖 10，要綜合考慮點 P 在優(yōu)弧 或劣弧 上，點 M、 N 在優(yōu)弧 或劣弧 上，從而對APB 、 MAN 、 ANB 進行分類討論 . 所以，我們進行如下討論： 第一種情況：點 P 在 O2 外，且點 A 在點 P 與點 M 之間，點 B 在點 P 與點 N 之間 . 如圖 ， MAN=APB+ANB ， APB=M AN-ANB. 第二種情況：點 P 在 O2 外，且點 M 在點 P 與點 A 之間，點 B 在點 P 與點 N 之間 . 如圖 ， APB+ANB+MAN=180 ，APB=180 -MAN -ANB. 第三種情況：點 P 在 O2 外，且點 A 在點 P 與點 M 之間，點 N 在點 P 與點 B 之間 . 如圖 ， MAN=APB+ANP=APB+ （ 180 -ANB ）， APB=MAN+ANB -180. 第四種情況：點 P 在 O2 內，如圖 ，APB=MAN+ANB. 三、 類比思想 類比思想在探究題中經(jīng)常用到 . 它能夠解決一些看似復雜困難的問題 . 從遷移過程看，有些類比十分明顯、直接，比較簡單，而有些類比需建立在抽象分析的基礎上才能實現(xiàn) . 例 4 如圖 11， O1 與 O2 相交于 A、 B， P 為 O1 優(yōu)弧 上一點， PA、 PB、 PO1 分別交 O2 于 C、 D、 E 三點 . （ 1） 寫出 CD與 PE 位置關系 . （ 2） 點 P 為劣弧 上一點時，（ 1）中結論是否成立？畫出圖形 . 【分析】（ 1） 如圖 12，易得 PBA=ACD ，由同弧所對 圓周角相等得 PBA=PMA ，從而得到 PMA=ACD ，由于PMA+APM=90 ，故 PCD+APM=90 ，也就是CNE=90 ，即 CDPE. 這類題型由于點的位置不同，圖形肯定會發(fā)生變化，但類比問題（ 1），有很多本質沒有變：如圖 13，直線 PA交O2 于點 D，直線 PB 交 O2 于點 C，直線 PO1 交 O2 于點 E. 所以，上一題的結論依然成立 . 一般情況下這種題的說明思路也是一樣的 . （ 2） 如圖 14，由同弧所對圓周角相等得BCD=BAP ， HPB=HAB ，所以又得 C PE=HAB ，由于 HP是直徑，所以 HAB+BAP=90 ，所以 PCD+CPE=90 ，故 CDPE. 深入挖掘