植樹問題的數(shù)學(xué)思想

植樹問題滲透的數(shù)學(xué)思想小學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)體系貫穿著兩條主線：數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)學(xué)知識是一條明線，直接呈現(xiàn)在教材上；而數(shù)學(xué)思想方法則是一條暗線，隱藏在知識的背后?！皵?shù)學(xué)廣角”中的“植樹問題”，承載了基本的數(shù)學(xué)思想方法“化繁為簡”“數(shù)形結(jié)合”“一一對應(yīng)”和“數(shù)學(xué)建?！钡?，使學(xué)生從中發(fā)現(xiàn)規(guī)律，抽取出其中的數(shù)學(xué)模型（點(diǎn)段關(guān)系），然后再用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律來解決生活中的一些簡單實(shí)際問題。 1在困頓中感悟“化歸”的思想 人們在面對數(shù)學(xué)問題時(shí)，如果直接應(yīng)用已有知識不能或不易解決該問題時(shí)，往往將需要解決的問題不斷轉(zhuǎn)化形式，把它歸結(jié)為能夠解決或比較容易解決的問題，最終使原問題得到解決，這種思想方法稱為化歸（轉(zhuǎn)化）思想。 在教學(xué)例1中，教師引導(dǎo)學(xué)生對“20米一共要栽多少棵樹”進(jìn)行驗(yàn)證，在畫圖時(shí)引發(fā)困惑，數(shù)字太大，不可能全部畫下來，或是太麻煩、太浪費(fèi)時(shí)間了。在學(xué)生有所體驗(yàn)的基礎(chǔ)上，就此向?qū)W生滲透復(fù)雜問題簡單化的思想，讓學(xué)生選擇短距離（20米），用畫圖的方式得出結(jié)果。在這個(gè)過程中，學(xué)生通過猜想、實(shí)驗(yàn)、推理、交流等活動，既培養(yǎng)了數(shù)學(xué)思想能力，學(xué)會了一些解決問題的方法，又逐步形成實(shí)事求是的科學(xué)態(tài)度和精神。 2在探究中滲透“數(shù)形結(jié)合”的思想 數(shù)形結(jié)合是小學(xué)數(shù)學(xué)中常用的、重要的一種數(shù)學(xué)思想方法。數(shù)形結(jié)合思想的實(shí)質(zhì)即通過數(shù)形之間的相互轉(zhuǎn)化，把抽象的數(shù)量關(guān)系，通過形象化的方法轉(zhuǎn)化為適當(dāng)?shù)膱D形，從圖形的結(jié)構(gòu)直觀地發(fā)現(xiàn)數(shù)量之間存在的內(nèi)在聯(lián)系，解決數(shù)量關(guān)系的數(shù)學(xué)問題，這是數(shù)形結(jié)合思想。 本冊的“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”把從直觀圖形支持下得到的模型應(yīng)用到現(xiàn)實(shí)生活中，溝通圖形、表格及具體數(shù)量之間的聯(lián)系，強(qiáng)化對題意的理解。 教師可以組織學(xué)生在課堂上“模擬植樹”。用 “_”代表一段路，用“”代表一棵樹，畫“”就表示種了一棵樹。關(guān)于在20米長的路可以栽多少棵樹的問題，讓學(xué)生自己動手畫一畫。學(xué)生根據(jù)圖示，很容易發(fā)現(xiàn)規(guī)律。再從個(gè)別的、簡單的幾個(gè)例子出發(fā)，逐步過渡到復(fù)雜的、更一般的情境中，是數(shù)學(xué)中常用的推理方法。 這個(gè)過程中，學(xué)生借助數(shù)形結(jié)合將文字信息與學(xué)習(xí)基礎(chǔ)結(jié)合起來，使得學(xué)習(xí)得以繼續(xù)，使得學(xué)生思維發(fā)展有了基礎(chǔ)，也使得數(shù)學(xué)學(xué)習(xí)的思想方法真正得以滲透。因此，數(shù)形結(jié)合能不失時(shí)機(jī)地為學(xué)生提供恰當(dāng)?shù)男蜗蟛牧?，可以將抽象的?shù)量關(guān)系具體化，把無形的解題思路形象化。 3在抽象中明晰“一一對應(yīng)”思想 本冊“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)，通常有兩種教學(xué)思路：一種思路是通過教材主題圖中得三組實(shí)例歸納出規(guī)律，利用畫圖、小棒或圓片的排列來驗(yàn)證規(guī)律，進(jìn)而結(jié)合生活實(shí)際應(yīng)用規(guī)律。這種教學(xué)邏輯性強(qiáng)，規(guī)律揭示很順暢，但是從教學(xué)效果看，學(xué)生雖然能夠“熟記”規(guī)律，卻不能靈活解決諸如“封閉、不封閉”“兩端都栽、只栽一端、兩端都不栽”這類問題，更不能用數(shù)學(xué)觀點(diǎn)統(tǒng)領(lǐng)“間隔排列”的現(xiàn)象。另一種思路是在深入鉆研教材的基礎(chǔ)上，真正把握“間隔排列”的實(shí)質(zhì)：兩種物體間隔排列，這兩種物體的排列一一對應(yīng)。對應(yīng)，是間隔排列的本質(zhì)。課堂教學(xué)中，通過“感知對應(yīng)現(xiàn)象激活對應(yīng)思想建構(gòu)對應(yīng)思想升華對應(yīng)思想”層層深入的教學(xué)行為，抓住蘊(yùn)含在教材中得一一對應(yīng)思想，有效統(tǒng)領(lǐng)種種紛繁復(fù)雜的現(xiàn)象，使學(xué)生真正感知了一一間隔排列的特點(diǎn)，掃清了思維上的障礙，層層推進(jìn)認(rèn)識的完善和引申。 4在運(yùn)用中體驗(yàn)“模型思想” 義務(wù)教育數(shù)學(xué)課程標(biāo)準(zhǔn)（2011年版）中提出：在數(shù)學(xué)教學(xué)中應(yīng)當(dāng)引導(dǎo)學(xué)生感悟建模過程，發(fā)展“模型思想”。“數(shù)學(xué)模型”是數(shù)學(xué)符號、數(shù)學(xué)式子以及數(shù)量關(guān)系對現(xiàn)實(shí)原型簡化的本質(zhì)的描述。模型思想的教學(xué)，不是作為像具體數(shù)學(xué)知識點(diǎn)那樣可以單獨(dú)作為一個(gè)數(shù)學(xué)內(nèi)容來進(jìn)行專門教學(xué)，而是融入到具體數(shù)學(xué)知識的教學(xué)過程中，讓學(xué)生在經(jīng)歷“問題情境建立模型解決問題拓展運(yùn)用”的學(xué)習(xí)過程中逐漸領(lǐng)悟的。 在本冊“數(shù)學(xué)廣角植樹問題”的教學(xué)中，教材以“猜想試誤合作探究發(fā)現(xiàn)規(guī)律（建立模型）深化規(guī)律（再次建模）解釋運(yùn)用”為主線，滲透數(shù)形結(jié)合的思想，建立數(shù)學(xué)模型，發(fā)現(xiàn)問題實(shí)質(zhì)，為后面解決問題奠定了堅(jiān)實(shí)的基礎(chǔ)。 在這樣的學(xué)習(xí)活動中，學(xué)生在經(jīng)歷了實(shí)物操作、圖示表達(dá)、抽象概括等程序，逐層提升，拾級而上，一步一步地從生活向數(shù)學(xué)的內(nèi)核逼近。在數(shù)學(xué)抽象時(shí)，引導(dǎo)學(xué)生逐層深入地進(jìn)行推理研究，從“20米、30米、35米、100米”，讓學(xué)生聯(lián)想到“點(diǎn)數(shù)比段數(shù)多1”，從而建立起“點(diǎn)線”間關(guān)系模型。舉一反三，觸類旁通。最后，引導(dǎo)學(xué)生用發(fā)現(xiàn)的規(guī)律去解決更多的實(shí)際問題（兩端都不栽的情況和只栽一端的情況）。這樣的教學(xué)，也正體現(xiàn)了